Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet
Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet
Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
funktioners definitionsomr˚ader er forskellige, nemlig henholdsvis X ′ og X.<br />
Definition 2.4. Lad X, Y og Z være mængder, lad f : X → Y være en<br />
afbildning af X ind i Y , og g : Y → Z være en afbildning af Y ind i Z.<br />
Sammensætningen g ◦ f er den afbildning af X ind i Z som er givet ved<br />
(g ◦ f)(x) = g(f(x)), x ∈ X. Med andre ord er sammensætningen triplen<br />
(X, Z, g ◦ f), hvor g ◦ f = {(x, z) ∈ X × Z | z = g(f(x))}.<br />
Det engelske ord for sammensætning er ”composition”.<br />
En meget vigtig egenskab ved operationen sammensætning af funktioner<br />
er dens associativitet:<br />
Sætning 2.5. Lad X, Y , Z og W være mængder, lad f : X → Y være en<br />
afbildning af X ind i Y , g : Y → Z en afbildning af Y ind i Z, og h : Z → W<br />
en afbildning af Z ind i W . Da er h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f.<br />
Definition 2.6. Lad X og Y være to mængder, og lad f : X → Y være en<br />
afbildning af X ind i Y .<br />
(a) For A ⊆ X er f(A) = {f(a) | a ∈ A}. Det er en delmængde af Y .<br />
(b) f’s billedmængde (”image” p˚a engelsk) er en vis delmængde af Y , nemlig<br />
f(X) = {f(x) | x ∈ X}.<br />
(c) Hvis f(X) = Y , siges f at være en surjektion eller at være surjektiv.<br />
Man siger ogs˚a kort, at f er p˚a. At en afbildning er surjektiv vil sige, at<br />
der til ethvert y ∈ Y findes mindst ét x ∈ X s˚a f(x) = y.<br />
Eksempel 2.7. (a) Funktionen f : → givet ved f(x) = x 3 , x ∈ , er<br />
en surjektion.<br />
(b) Funktionen f : → givet ved f(x) = sin x, x ∈ , er ikke surjektiv.<br />
Dens billedmængde er nemlig [−1, 1], som er en ægte delmængde af .<br />
(c) Funktionen f : → givet ved f(x) = x 2 , x ∈ , har billedmængden<br />
[0, ∞[. Den er heller ikke p˚a.<br />
Man skal skelne mellem en funktion og dens billedmængde; det sted, der<br />
nok mest frister til sammenblanding, er i omgangen med kurver. En kurve<br />
er pr definition en kontinuert afbildning γ : I → n af et interval I ind i<br />
n , men ofte tænker man p˚a kurven som punktmængden γ(I).<br />
Definition 2.8. Lad X og Y være to mængder, og lad f : X → Y være en<br />
afbildning af X ind i Y . Lad Y0 være en delmængde af Y . Urbilledet af Y0<br />
ved f er en vis delmængde af X, nemlig<br />
f −1 (Y0) = {x ∈ X | f(x) ∈ Y0}. (2.1)<br />
P˚a engelsk hedder det ”the pre-image of Y0 under f”.<br />
13