Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet

funktioners definitionsomr˚ader er forskellige, nemlig henholdsvis X ′ og X.
Definition 2.4. Lad X, Y og Z være mængder, lad f : X → Y være en
afbildning af X ind i Y , og g : Y → Z være en afbildning af Y ind i Z.
Sammensætningen g ◦ f er den afbildning af X ind i Z som er givet ved
(g ◦ f)(x) = g(f(x)), x ∈ X. Med andre ord er sammensætningen triplen
(X, Z, g ◦ f), hvor g ◦ f = {(x, z) ∈ X × Z | z = g(f(x))}.
Det engelske ord for sammensætning er ”composition”.
En meget vigtig egenskab ved operationen sammensætning af funktioner
er dens associativitet:
Sætning 2.5. Lad X, Y , Z og W være mængder, lad f : X → Y være en
afbildning af X ind i Y , g : Y → Z en afbildning af Y ind i Z, og h : Z → W
en afbildning af Z ind i W . Da er h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f.
Definition 2.6. Lad X og Y være to mængder, og lad f : X → Y være en
afbildning af X ind i Y .
(a) For A ⊆ X er f(A) = {f(a) | a ∈ A}. Det er en delmængde af Y .
(b) f’s billedmængde (”image” p˚a engelsk) er en vis delmængde af Y , nemlig
f(X) = {f(x) | x ∈ X}.
(c) Hvis f(X) = Y , siges f at være en surjektion eller at være surjektiv.
Man siger ogs˚a kort, at f er p˚a. At en afbildning er surjektiv vil sige, at
der til ethvert y ∈ Y findes mindst ét x ∈ X s˚a f(x) = y.
Eksempel 2.7. (a) Funktionen f : → givet ved f(x) = x 3 , x ∈ , er
en surjektion.
(b) Funktionen f : → givet ved f(x) = sin x, x ∈ , er ikke surjektiv.
Dens billedmængde er nemlig [−1, 1], som er en ægte delmængde af .
(c) Funktionen f : → givet ved f(x) = x 2 , x ∈ , har billedmængden
[0, ∞[. Den er heller ikke p˚a.
Man skal skelne mellem en funktion og dens billedmængde; det sted, der
nok mest frister til sammenblanding, er i omgangen med kurver. En kurve
er pr definition en kontinuert afbildning γ : I → n af et interval I ind i
n , men ofte tænker man p˚a kurven som punktmængden γ(I).
Definition 2.8. Lad X og Y være to mængder, og lad f : X → Y være en
afbildning af X ind i Y . Lad Y0 være en delmængde af Y . Urbilledet af Y0
ved f er en vis delmængde af X, nemlig
f −1 (Y0) = {x ∈ X | f(x) ∈ Y0}. (2.1)
P˚a engelsk hedder det ”the pre-image of Y0 under f”.
13