Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet

P˚a engelsk kaldes en funktion/afbildning for ”function”/”mapping” eller
bare ”map”.
N˚ar man taler om en funktion, s˚a er dens domæne X og dens codomæne
Y indbygget i funktionen i kraft af Definition 2.2, der jo specificerer b˚ade X
og Y . Ofte underforst˚as X og Y , s˚a man i stedet for at tale om funktionen
(X, Y, f) blot taler om funktionen f. En reel funktion f : X → kan
selvfølgelig anskues som en funktion, der tager komplekse værdier, idet ⊆
, men vi skelner alts˚a mellem den reelle og den komplekse funktion, fordi
de har forskellige codomæner.
Oftest bruges ordet funktion om en afbildning af en mængde X ind de
reelle eller komplekse tal, medens ordet afbildning bruges for et vilk˚arligt
codomæne.
Delmængden f af X × Y er f = {(x, f(x)) ∈ X × Y | x ∈ X}, s˚a en
funktion f : X → Y kan defineres ved, at vi til ethvert x ∈ X angiver
værdien f(x) ∈ Y . Ofte møder man vendingen ”funktionen f defineret ved
f(x) = . . ., x ∈ X”, hvor . . . er et eller andet udtryk i x, der giver et
element i Y . Med vendingen menes funktionen f = {(x, y) ∈ X × Y | y =
f(x)} (principielt dog triplen (X, Y, f)). F.eks. mener man med ”funktionen
f defineret ved f(x) = x 3 , x ∈ ”, funktionen {(x, y) ∈ 2 | y = x 3 }.
Undertiden skriver man funktionen f som x ↦→ f(x), x ∈ X. F.eks. betyder
x ↦→ x 3 , x ∈ , funktionen f defineret ved f(x) = x 3 , x ∈ .
I visse sammenhænge bruges der andre ord for afbildninger. F.eks. n˚ar
man, givet en mængde X, betragter en følge {x1, x2, . . .} i X. Følgen tilordner
til ethvert n ∈ elementet xn i X, s˚a der er dermed faktisk tale
om funktionen f : → X givet ved f(n) = xn, n ∈ . En følge er alts˚a
en funktion med de naturlige tal som definitionsomr˚ade. For en afbildning
mellem vektorrum benytter man ofte glosen ”operator” i stedet for glosen
”funktion”.
En ofte mødt definition p˚a funktion er, at en funktion f : X → Y er en
regel eller forskrift, der til ethvert element i X tilordner netop ét element i
Y . I indeværende fremstilling er vi imidlertid utilfredse med ordene ”regel”
og ”forskrift”, idet de er vage og ikke defineret mængdeteoretisk. Begrebet
funktion som defineret i Definition 2.2 giver mening til disse vage termer.
Men vi definerer alts˚a funktionsbegrebet, før vi benytter disse ord for en
funktion. Vi kan og vil imidlertid benytte dem fra nu af.
Lad f1 : X1 → Y1 og f2 : X2 → Y2 være to funktioner. Vi bemærker, at
f1 = f2, hvis og kun hvis X1 = X2, Y1 = Y2 og f1(x) = f2(x) for ethvert
x ∈ X1 = X2.
Definition 2.3. Lad f : X → Y være en afbildning af X ind i Y , og lad X ′
være en delmængde af X. Ved restriktionen af funktionen f til X ′ forst˚as
funktionen (X ′ × Y ) ∩ f = {(x ′ , f(x ′ )) ∈ f | x ′ ∈ X ′ } med definitionsomr˚ade
X ′ og codomæne Y . Den betegnes f |X ′.
Restriktionen f |X ′ er principielt en anden funktion end f, idet de to
12