Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet
Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet
Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
(d) Vis, at<br />
∁(lim sup An) = lim inf ∁An og ∁(lim inf An) = lim sup ∁An. (1.19)<br />
(e) Vis, at hvis A1 ⊆ A2 ⊆ . . . ⊆ An ⊆ . . ., da er<br />
lim inf An = lim sup An =<br />
(f) Vis, at hvis A1 ⊇ A2 ⊇ . . . ⊇ An ⊇ . . ., da er<br />
lim inf An = lim sup An =<br />
∞<br />
An.<br />
n=1<br />
∞<br />
An.<br />
n=1<br />
Øvelse 1.29. Lad An for n = 1, 2, . . . betegne halvplanen<br />
(a) Vis, at<br />
(b) Vis, at<br />
lim sup An =<br />
lim inf An =<br />
2 Afbildninger<br />
An = {(x1, x2) ∈ 2 | x2 ≥ (−1) n nx1}.<br />
∞<br />
An = ∁{(x1, x2) ∈ 2 | x1 = 0 og x2 < 0}.<br />
n=1<br />
∞<br />
An = {(x1, x2) ∈ 2 | x1 = 0 og x2 ≥ 0}.<br />
n=1<br />
I dette afsnit indfører vi funktionsbegrebet med mængdelæren som grundlag.<br />
Definition 2.1. Lad X og Y være to mængder. X × Y betegner mængden<br />
af ordnede par (x, y), hvor x ∈ X og y ∈ Y .<br />
Rækkefølgen (x p˚a 1. plads, y p˚a 2. pladsen) er væsentlig. Faktisk er<br />
(y, x) slet ikke et element i X × Y , medmindre da tilfældigvis X = Y .<br />
Definition 2.2. Lad X og Y være to mængder. En funktion eller en afbildning<br />
af X ind i Y er en ordnet trippel (X, Y, f), hvor f er en delmængde af<br />
X × Y med følgende egenskab: For ethvert element x ∈ X findes der netop<br />
ét element y ∈ Y , s˚a (x, y) ∈ f.<br />
Det éntydige element y ∈ Y , for hvilket (x, y) ∈ f, betegnes med f(x).<br />
Symbolet f : X → Y benyttes ofte som en forkortelse for ”f er en<br />
afbildning af X ind i Y ”.<br />
X kaldes for funktionens domæne eller definitionsomr˚ade, og Y for dens<br />
codomæne.<br />
11