Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet

(d) Vis, at
∁(lim sup An) = lim inf ∁An og ∁(lim inf An) = lim sup ∁An. (1.19)
(e) Vis, at hvis A1 ⊆ A2 ⊆ . . . ⊆ An ⊆ . . ., da er
lim inf An = lim sup An =
(f) Vis, at hvis A1 ⊇ A2 ⊇ . . . ⊇ An ⊇ . . ., da er
lim inf An = lim sup An =
∞
An.
n=1
∞
An.
n=1
Øvelse 1.29. Lad An for n = 1, 2, . . . betegne halvplanen
(a) Vis, at
(b) Vis, at
lim sup An =
lim inf An =
2 Afbildninger
An = {(x1, x2) ∈ 2 | x2 ≥ (−1) n nx1}.
∞
An = ∁{(x1, x2) ∈ 2 | x1 = 0 og x2 < 0}.
n=1
∞
An = {(x1, x2) ∈ 2 | x1 = 0 og x2 ≥ 0}.
n=1
I dette afsnit indfører vi funktionsbegrebet med mængdelæren som grundlag.
Definition 2.1. Lad X og Y være to mængder. X × Y betegner mængden
af ordnede par (x, y), hvor x ∈ X og y ∈ Y .
Rækkefølgen (x p˚a 1. plads, y p˚a 2. pladsen) er væsentlig. Faktisk er
(y, x) slet ikke et element i X × Y , medmindre da tilfældigvis X = Y .
Definition 2.2. Lad X og Y være to mængder. En funktion eller en afbildning
af X ind i Y er en ordnet trippel (X, Y, f), hvor f er en delmængde af
X × Y med følgende egenskab: For ethvert element x ∈ X findes der netop
ét element y ∈ Y , s˚a (x, y) ∈ f.
Det éntydige element y ∈ Y , for hvilket (x, y) ∈ f, betegnes med f(x).
Symbolet f : X → Y benyttes ofte som en forkortelse for ”f er en
afbildning af X ind i Y ”.
X kaldes for funktionens domæne eller definitionsomr˚ade, og Y for dens
codomæne.
11