Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet

Proposition 1.25. Lad X, Y og Z være delmængder af U. Da gælder:
X \ Y = X ∩ ∁Y (1.10)
X ⊆ Y hvis og kun hvis X \ Y = ∅ (1.11)
X \ (X \ Y ) = X ∩ Y (1.12)
X ∩ (Y \ Z) = (X ∩ Y ) \ (X ∩ Z) (1.13)
X ∩ Y ⊆ (X ∩ Z) ∪ (Y ∩ ∁Z) (1.14)
(X ∪ Z) ∩ (Y ∪ ∁Z) ⊆ X ∪ Y (1.15)
Øvelse 1.26. For to vilk˚arlige mængder X og Y definerer man deres symmetriske
differens (ogs˚a kaldet deres Booleske sum) X + Y som mængden
X + Y = (X \ Y ) ∪ (Y \ X)
Lad X, Y og Z betegne mængder. Vis, at
(a) X + Y = Y + X (kommutativitet).
(b) X + (Y + Z) = (X + Y ) + Z (associativitet).
(c) X + ∅ = X.
(d) X + X = ∅.
Øvelse 1.27. Lad {Xi | i ∈ I} være en samling af mængder, indiceret af en
ikke-tom mængde I. Vis følgende generalisation af den første af De Morgans
love:
∁(
Xi) =
∁Xi.
i∈I
Øvelse 1.28. Lad A1, A2, . . . , An, . . . være delmængder af en grundmængde
U. Definer
∞ ∞
lim sup An = ( Ai), (1.16)
lim inf An =
i∈I
m=1 i=m
∞ ∞
( Ai). (1.17)
m=1 i=m
(a) Gør rede for, at lim sup An = {x ∈ U | x ∈ Ai for uendelig mange i}.
(b) Gør rede for, at lim inf An = {x ∈ U | x ∈ Ai for alle i fra et vist trin }.
(c) Vis, at
∞
An ⊆ lim inf An ⊆ lim sup An ⊆
n=1
10
∞
An. (1.18)
n=1