Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet

Om uendelighedsbegrebet
Henrik Stetkær
19. september 2006
I disse noter vil vi diskutere uendelighedsbegrebet, specielt egenskaber
ved tællelige mængder. Vi g˚ar ud fra, at læseren har et elementært kendskab
til mængdelære, s˚a betydningen af et symbol som for eksempel A ∩ B er
kendt.
For en fuldstændigheds skyld minder vi dog i Afsnit 1 læseren om nogle af
mængdelærens grundbegreber. For yderligere oplysninger om mængdelære
mm henvises til [1], [2], [3] og [4]. Referencerne [1] og [3] er lettilgængelige
fremstillinger af mængdelære og kardinaltal. Referencen [2] er en klassisk
lærebog, der g˚ar i dybden ved at diskutere mængdelærens aksiomer. [4] er
ligeledes en lærebog. Den g˚ar ogs˚a i dybden og indeholder nyere resultater
end de andre.
Mængdelæren skyldes Georg Cantor (1845–1918), der udformede den fra
1870 og de følgende ca. 25 ˚ar. Den mødte megen modstand i sin tid, men
fik ogs˚a mange tilhængere. En af tilhængerne var tidens største matematiker
David Hilbert (1862–1943), der udtalte: ”Ingen skal fordrive os fra det
paradis, som Cantor har skabt.” Nu er teorien almindelig anerkendt.
Vi g˚ar i det følgende ogs˚a ud fra, at de naturlige tal = {1, 2, . . .} og
deres elementære egenskaber som f.eks. induktionsprincippet er kendt.
Symbolet OTL betyder Overladt Til Læseren.
1 Om mængder
1.1 Om begrebet mængde
I overordentlig mange sammenhænge, praktiske s˚avel som tankemæssige,
føres man til at afgrænse samlinger af objekter. Mange af sprogets gloser
udtrykker, at man sammenholder en række objekter og betragter samlingen
af dem. Med ordet ”lærerkollegiet” tænker man sig samlingen af alle
personer, der er ansat som lærere ved en bestemt skole; med ordet ”fl˚aden”
sammenfatter man søværnets skibe, osv.
I matematikken kaldes en vel afgrænset samling af objekter for en mængde
(p˚a engelsk ”set”), og de p˚agældende objekter kaldes mængdens elementer.
Hvert af disse objekter siges at tilhøre mængden eller at være indeholdt
1

i den. For at undg˚a en alt for monotont stammende terminologi (en mængde
af mængder af ...) vil vi dog undertiden erstatte ordet ”mængde” med ord
som ”samling”, ”familie”, ”system” eller lignende. Med ordene ”vel afgrænset”
menes, at det nøje skal være fastlagt, hvilke elementer der tilhører mængden.
N˚ar vi beskriver en mængde, dvs angiver dens elementer, skal det alts˚a af
beskrivelsen helt klart fremg˚a, hvilke elementer der er indeholdt i mængden,
og hvilke der ikke er det.
Eksempler p˚a mængder er en flok duer, samlingen af stater i USA, mængden
af alle primtal. Det er vigtigt at erkende, at en mængde kan være et
element i en anden mængde, for det fænomen vil optræde gang p˚a gang
under jeres matematikstudier. F.eks. er en linje en mængde af punkter; og
mængden af alle linjer i planen er s˚aledes en mængde, hvis elementer selv er
mængder.
Begrebet mængde er en s˚a primitiv begrebsdannelse, at vi ikke vil søge
at definere det ud fra andre begreber, men nøjes med den ovenfor givne
beskrivelse, hvor vi benyttede udtryk som ”samling”, ”objekt”, ”afgrænset”,
for at fremkalde den rigtige forestilling hos læseren.
Lad nu X betegne en mængde. At x betegner et element, der tilhører X,
skriver vi som følger: x ∈ X. Dette læses alts˚a som ”x tilhører X” eller ”x
er indeholdt i X”. At x betegner et element, der ikke tilhører X, skriver vi
som følger: x /∈ X.
Terminologien p˚a engelsk er ”x is an element of X”, ”x is contained in
X” eller ”x belongs to X”.
Bemærkning 1.1. Det er en version af det græske bogstav epsilon, der indg˚ar
i udtrykket ”x ∈ X”. Den benyttes s˚a ofte til at betegne ”indeholdt i”, at de
fleste matematikere kun benytter den i denne mængdeteoretiske sammenhæng.
De benytter ɛ eller ε, n˚ar de i andre sammenhænge har brug for det
femte bogstav i det græske alfabet.
Er X og Y mængder, s˚a betegner X = Y , at X og Y best˚ar af de samme
elementer, alts˚a at x ∈ X ⇔ x ∈ Y .
Bemærkning 1.2. Vi benytter en pil ⇒ i betydningen ”medfører”, og en
dobbeltpil ⇔ i betydningen ”medfører og medføres af”.
En mængde X angives undertiden p˚a følgende m˚ade: X = {. . .}, hvor
man p˚a prikkernes plads tænker sig samtlige mængdens elementer anbragt.
Hvis mængden f.eks. best˚ar af tallene 1, 3, 5, 7 og 9, betegner vi den med
symbolet {1, 3, 5, 7, 9}. Da en mængde er karakteriseret alene ved de elementer,
den indeholder, betegner symbolerne {1, 3, 5, 7, 9} og {9, 5, 3, 7, 1} den
samme mængde. Dvs {1, 3, 5, 7, 9} = {9, 5, 3, 7, 1}, idet et lighedstegn mellem
betegnelserne for to mængder tilkendegiver, at de to mængder best˚ar af
de samme elementer.
Man anvender ogs˚a en skrivem˚ade af følgende art:
X = {x | . . .}, (1.1)
2

hvor man p˚a prikkernes plads tænker sig angivet en egenskab, som x har,
hvis og kun hvis x betegner et element, der tilhører X. Det er klart, at der
for enhver mængde X gælder, at X = {x | x ∈ X}.
Vi vil ogs˚a møde udtryk som {x ∈ X | S(x)}, hvor S(x) er en betingelse,
som elementerne i X kan opfylde eller ikke opfylde.
Som et eksempel p˚a anvendelsen af betegnelsesm˚aden (1.1) anfører vi,
at {x | x helt tal, og x > 0} er mængden af alle naturlige tal.
Definition 1.3. Lad X og X ′ betegne mængder. Vi siger, at X ′ er en
delmængde af X og skriver X ′ ⊆ X eller X ⊇ X ′ , s˚afremt x ∈ X ′ ⇒ x ∈ X.
⊇.
Nogle forfattere benytter notationen ⊂ i stedet for ⊆, og ⊃ i stedet for
Undertiden er det bekvemt at skrive X ⊇ X ′ i stedet for X ′ ⊆ X. De
to udtryk betyder det samme. Den engelske terminologi er ”X includes X ′ ”
eller ”X ′ is a subset of X”.
Det er klart, at det ifølge Definition 1.3 gælder om enhver mængde X,
at X ⊆ X. Det er ligeledes klart, at
og at
X = Y ⇔ [X ⊆ Y og Y ⊆ X],
X ⊆ Y, Y ⊆ Z ⇒ X ⊆ Z.
I mængdelæren har man taget højde for udtryk som X \ X (vi definerer
mængdedifferens senere) ved at indføre den tomme mængde. Formelt benytter
man et af mængdelærens principper, nemlig specifikationsaksiomet
(Engelsk: Axiom of specification; tysk: Aussonderungsaxiom).
Definition 1.4 (Specifikationsaksiomet). Til enhver mængde X og enhver
betingelse S(·) er B = {x ∈ X | S(x) er sand} en mængde.
Mængdelæren g˚ar ud fra, at der findes en mængde (!). Betegnes en s˚adan
med A0, s˚a er den tomme mængde defineret ved ∅ = {x ∈ A0 | x = x}. Ifølge
Specifikationsaksiomet er ∅ en mængde.
Den tomme mængde indeholder ˚abenbart ikke nogen elementer.
Lemma 1.5. Lad X være en mængde. Da er den tomme mængde en delmængde
af X, dvs ∅ ⊆ X.
Bevis. Vi skal vise, at ethvert element i venstre side, alts˚a i ∅, tilhører X.
Men det er jo trivielt opfyldt for ethvert element fra venstre side, da der
ingen er.
Bemærkning 1.6. Selv om ræsonnementet i beviset for Lemma 1.5 er logisk
korrekt, kan det m˚aske forekomme lidt utilfredstillende. Beviset giver et typisk
eksempel p˚a et fænomen, der hyppigt optræder, nemlig at en betingelse
3

er tomt opfyldt. Vi skal vise, at et eller andet udsagn, der kan være enten
sandt eller falsk, om den tomme mængde er sandt. Det gør vi ved at vise, at
det ikke kan være falsk. Hvordan kan det eksempelvis være falsk, at ∅ ⊆ X?
Det kan kun være falsk, hvis ∅ har et element, der ikke er indeholdt i X; og
det har ∅ ikke. ∅ har faktisk slet ingen elementer. Da udsagnet ∅ ⊆ X ikke
er falsk, konkluderer vi, at det er korrekt.
Det er klart, at der højst kan være én mængde uden elementer: Hvis ∅1
og ∅2 er to s˚adanne mængder, s˚a giver argumentet i beviset for Lemma 1.5,
at ∅1 ⊆ ∅2 og ∅2 ⊆ ∅1, dvs ∅1 = ∅2. Diskussionen ovenfor er til for at sikre os
eksistensen af en tom mængde, ikke den logisk set ret trivielle éntydighed.
Entydigheden gør imidlertid, at vi meningsfyldt kan bruge udtrykket den
tomme mængde. Ifølge Lemma 1.5 er den tomme mængde en delmængde af
enhver mængde.
Definition 1.7. Lad X være en mængde, og lad x0 være et element i X,
dvs x0 ∈ X. Vi indfører betegnelsen
{x0} = {x ∈ X | x = x0}
for den delmængde af X, der som eneste element har x0.
Bemærkning 1.8. En mængde best˚aende af netop ét element kaldes for en
singleton. Et eksempel p˚a en singleton er delmængden {x0} fra Definition
1.7. ∅ er ikke en singleton, men {∅} er det.
Bemærkning 1.9. Man skal omhyggeligt skelne mellem begreberne elementer
og delmængder, fordi de ikke betyder det samme. De dertil svarende notationer
∈ og ⊆ kan følgelig ikke bruges i flæng. Gør man det, s˚a kommer man
helt sikkert, endda selvforskyldt, i logiske vanskeligheder, og ens resultater
vil sandsynligvis være mageløst sludder. Det er nok ret oplagt at opretholde
distinktionen mellem det at være et element i en mængde X og det at være
en delmængde af X, s˚a længe man betragter delmængder, der indeholder
mere end et enkelt element. Men logikken tilsiger os, at vi skal være konsekvente
i vores diskussion af delmængder: Vi skal opretholde distinktionen
for alle delmængder, ogs˚a for delmængder, der best˚ar af præcis ét element:
Et element x0 i en mængde X er ikke en delmængde af X, det bliver faktisk
slet ikke betragtet som en mængde i denne sammenhæng. Derfor skriver vi
konsekvent x0 ∈ X og {x0} ⊆ X. Det kan tilføjes, at der selvfølgelig er
en sammenhæng mellem de to forskellige begreber, nemlig at x0 ∈ X er
ækvivalent med {x0} ⊆ X.
Begreberne at tilhøre (∈) og at være en delmængde af (⊆) er meget
forskellige. Det kan man bl.a. se af, at de har forskellige egenskaber. Det
gælder f.eks. altid, at X ⊆ X. Men gælder det nogensinde, at x ∈ x? I hvert
fald ikke for elementerne i nogen fornuftigt konstrueret mængde. Som et
andet eksempel kan man observere, at inklusionen ⊆ er transitiv, dvs A ⊆ B
4

og B ⊆ C medfører, at A ⊆ C. Det tilsvarende gælder ikke for begrebet at
tilhøre (tænk p˚a superorganisationer, hvis medlemmer er organisationer).
Lad os se p˚a en samling C = {X1, X2, X3} best˚aende af tre mængder X1,
X2 og X3. S˚a X1, X2 og X3 er alts˚a elementerne i C. Eksempelvis kunne Xk
for k = 1, 2, 3 være den ˚abne cirkelskive i 2 med centrum (0, 0) og radius
k. Godt nok er X1, X2 og X3 mængder, men de er ikke delmængder af C;
de er elementer i C.
Øvelse 1.10. Beskriv systemet af delmængder af den tomme mængde.
Øvelse 1.11. Lad M betegne mængden af alle indskrivelige firkanter i planen,
og lad N betegne mængden af alle firkanter i planen, hvor summen af
er par modst˚aende vinkler er 180 0 . Vis, at M = N.
1.2 Om foreningsmængder
Definition 1.12. Hvis C er en samling (dvs mængde) af mængder, s˚a lader
vi udtrykket
X∈C X betegne en ny mængde, nemlig
X = {x | Der findes et X ∈ C, s˚a x ∈ X},
X∈C
der kaldes for foreningsmængden af samlingen C (engelsk: The union of the
collection C of sets).
Jeg gætter p˚a, at foreningsmængsdetegnet stammer fra U’et i Union.
Hvis C = {X1, X2, . . . , Xn}, alts˚a hvis C best˚ar af de endelig mange
mængder X1, X2, . . . , Xn, s˚a benytter man som regel notationen
X1 ∪ X2 ∪ · · · ∪ Xn eller
i stedet for
X∈C X.
Hvis C = {X1, X2, . . . , Xn, . . .}, alts˚a hvis C best˚ar af de uendelig mange
mængder X1, X2, . . . , Xn, . . . , eller med andre ord at man har nummereret
mængderne i C, s˚a benytter man som regel notationen
X1 ∪ X2 ∪ · · · ∪ Xn ∪ · · · eller
i stedet for
X∈C X.
Hvis mængderne i C er indiceret af en indeksmængde I, dvs C = {Xi |
i ∈ I}, s˚a skriver man
i∈I
5
Xi
n
j=1
Xj
∞
n=1
Xn

i stedet for
X∈C X. Tilfældene ovenfor svarer til indeksmængderne I =
{1, 2, . . . , n} og I = , henholdsvis.
Lad os betragte det vigtige specialtilfælde, hvor C = {A, B} blot best˚ar
af de to mængder A og B. Her benytter man betegnelsen
A ∪ B i stedet for
X,
s˚a A ∪ B = {x | x er element i mindst én af mængderne A og B}. A ∪ B
kaldes foreningsmængden af A og B.
X∈C
Sætning 1.13. Lad A, B og C være mængder. Da gælder
(a) A ∪ ∅ = A.
(b) A ∪ B = B ∪ A (kommutativitet).
(c) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C (associativitet).
(d) A ∪ A = A.
(e) A ⊆ B hvis og kun hvis A ∪ B = B.
Bevis. OTL.
Øvelse 1.14. Lad a, b ∈ X være to forskellige elementer i en mængde X.
Vis, at {a} ∪ {b} = {a, b}.
1.3 Om fællesmængde (= gennemsnit)
Definition 1.15. Hvis C er en ikke-tom samling (dvs mængde) af mængder,
s˚a lader vi udtrykket
X∈C X betegne mængden
X = {x | x ∈ X for ethvert X ∈ C},
X∈C
der kaldes for fællessmængden eller sommetider gennemsnittet (intersection
p˚a engelsk) af samlingen C.
Hvis C = {X1, X2, . . . , Xn}, alts˚a hvis C best˚ar af de endelig mange
mængder X1, X2, . . . , Xn, s˚a benytter man som regel notationen
i stedet for
X∈C X.
X1 ∩ X2 ∩ · · · ∩ Xn eller
6
n
j=1
Xj

Hvis C = {X1, X2, . . . , Xn, . . .}, alts˚a hvis C best˚ar af de uendelig mange
mængder X1, X2, . . . , Xn, . . . , eller med andre ord at man har nummereret
mængderne i C, s˚a benytter man som regel notationen
X1 ∩ X2 ∩ · · · ∩ Xn ∩ · · · eller
i stedet for
X∈C X.
Hvis mængderne i C er indiceret af en indeksmængde I, dvs C = {Xi |
i ∈ I}, s˚a skriver man
i∈I
i stedet for
X∈C X. Tilfældene ovenfor svarer til indeksmængderne I =
{1, 2, . . . , n} og I = , henholdsvis.
Lad os betragte det vigtige specialtilfælde, hvor C = {A, B} blot best˚ar
af de to mængder A og B. Her benytter man betegnelsen
A ∩ B i stedet for
X,
s˚a A ∩ B = {x | x er element i b˚ade A og B}. A ∩ B kaldes gennemsnittet
af A og B.
Xi
X∈C
∞
n=1
Xn
Sætning 1.16. Lad A, B og C være mængder. Da gælder
(a) A ∩ ∅ = ∅.
(b) A ∩ B = B ∩ A (kommutativitet).
(c) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (associativitet).
(d) A ∩ A = A.
(e) A ⊆ B hvis og kun hvis A ∩ B = A.
Bevis. OTL.
Definition 1.17. To mængder X1 og X2 siges at være disjunkte, s˚afremt
X1 ∩ X2 = ∅.
Øvelse 1.18. I denne opgave vil vi betragte en speciel familie af delmængder
af 2 , nemlig de lukkede mængder.
Definition 1.19. En delmængde F af 2 siges at være lukket eller afsluttet,
s˚afremt den har følgende egenskab:
For enhver konvergent følge x1, x2, . . . , xn, . . . → x0, hvor xn ∈ F for ethvert
n ∈ , vil ogs˚a grænsepunktet x0 ∈ F .
7

At følgen x1, x2, . . . , xn, . . . konvergerer mod x0 betyder følgende: Lad
r > 0 være vilk˚arlig. Fra et vist trin N at regne (dvs for n ≥ N) vil alle
xn’erne ligge i cirkelskiven omkring x0 med radius r. Dette skal gælde for
ethvert fastholdt r > 0. Selvfølgelig afhænger N af r: Hvis cirkelskiven
vælges mindre, skal vi normalt g˚a længere ud i følgen, før xn’erne ligger i
cirkelskiven.
(a) Gør rede for, at kvadratet [0, 1] × [0, 1] og enhedsintervallet [0, 1] × {0}
begge er lukkede mængder.
(b) Vis, at den ˚abne enhedscirkel {(x, y) ∈ 2 | x 2 + y 2 < 1} ikke er lukket.
(c) Lad F1 og F2 være lukkede. Vis, at F1 ∩ F2 og F1 ∪ F2 er lukkede.
(d) Lad {Fi | i ∈ I} være en mængde af lukkede mængder. Vis, at
i∈I Fi
er lukket.
(e) Lad F1, F2, . . . være en følge af lukkede mængder. Er foreningsmængden
F1 ∪ F2 ∪ · · · = ∞
n=1 Fn altid lukket?
(f) Gør rede for, at ∅ er lukket.
(g) Gør rede for, at 2 er lukket.
Idet Definition 1.19 ovenfor p˚a lukkede mængder kopieres til , ved at
vi erstatter 2 med , skal man vise, at punkterne (c) - (g) ogs˚a holder for
(i punkt (g) skal der s˚a selvfølgelig st˚a i stedet for 2 ).
Øvelse 1.20. Vis følgende to s˚akaldt distributive love, der knytter kompositionsreglerne
∪ og ∩ sammen:
Øvelse 1.21. Angiv mængderne
(X ∪ Y ) ∩ Z = (X ∩ Z) ∪ (Y ∩ Z), (1.2)
(X ∩ Y ) ∪ Z = (X ∪ Z) ∩ (Y ∪ Z). (1.3)
∞
{x ∈ | 0 ≤ x < 1
} og
n
n=1
∞
{x ∈ | 0 < x < 1
n }.
Øvelse 1.22. En delmængde K af 2 siges at være konveks, s˚afremt den
har følgende egenskab: For ethvert par af punkter x ∈ K, y ∈ K gælder, at
ethvert punkt p˚a liniestykket [x, y], der forbinder x og y, tilhører K.
Vis, at hvis A og B er to konvekse mængder, s˚a er A ∩ B ligeledes en
konveks mængde.
Vis, at gennemsnittet af en vilk˚arlig mængde af konvekse mængder er
konveks.
8
n=1

1.4 Om komplementærmængde
N˚ar X og Y er mængder, kan vi betragte mængden af de x, der er elementer
i X, men ikke i Y . Denne mængde kalder vi for mængdedifferensen mellem
X og Y eller det relative komplement til Y i X, og vi betegner den med
X \ Y . S˚a
X \ Y = {x ∈ X | x /∈ Y }. (1.4)
Den engelske betegnelse er ”The difference between X and Y ” eller ”The
relative complement of Y in X”.
Bemærk, at det i denne definition ikke er nødvendigt at antage, at Y ⊆
X.
Ofte er det i en given sammenhæng naturligt udelukkende at betragte
mængder, der er delmængder af en vis fast mængde (kaldet grundmængden
eller universalmængden). N˚ar vi f.eks. arbejder med mængder af reelle tal,
er grundmængden . For at skrive de fundamentale egenskaber ved komplementærdannelse
op vil vi dette afsnit (og kun her) antage, at samtlige
mængder, som omtales, er delmængder af en og samme grundmængde U,
og at alle komplementer dannes relativt til U (U for universalmængde). I
s˚adanne situationer er det lettere at underforst˚a grundmængden U end at
skrive den op igen og igen; det har den yderligere fordel, at det simplificerer
notationen og dermed gør formlerne mere overskuelige.
Definition 1.23. N˚ar X er en delmængde af U, best˚ar U \X af de elementer
i U, der ikke ligger i X. Denne mængde kalder vi X’s komplementærmængde,
og vi betegner den med symbolet ∁X. Alts˚a ∁X = U \ X.
De grundlæggende kendsgerninger om komplementærdannelse kan nu
formuleres som følger:
∁(∁X) = X, (1.5)
∁∅ = U, ∁U = ∅, (1.6)
X ∪ ∁X = U, X ∩ ∁X = ∅ (1.7)
X ⊆ Y hvis og kun hvis ∁Y ⊆ ∁X. (1.8)
De vigtigste resultater om komplementærdannelse er
Sætning 1.24 (De Morgans love). Idet X og Y er delmængder af U, har
vi, at
∁(X ∪ Y ) = ∁X ∩ ∁Y og ∁(X ∩ Y ) = ∁X ∪ ∁Y. (1.9)
Andre nyttige formler er indeholdt i den næste proposition.
9

Proposition 1.25. Lad X, Y og Z være delmængder af U. Da gælder:
X \ Y = X ∩ ∁Y (1.10)
X ⊆ Y hvis og kun hvis X \ Y = ∅ (1.11)
X \ (X \ Y ) = X ∩ Y (1.12)
X ∩ (Y \ Z) = (X ∩ Y ) \ (X ∩ Z) (1.13)
X ∩ Y ⊆ (X ∩ Z) ∪ (Y ∩ ∁Z) (1.14)
(X ∪ Z) ∩ (Y ∪ ∁Z) ⊆ X ∪ Y (1.15)
Øvelse 1.26. For to vilk˚arlige mængder X og Y definerer man deres symmetriske
differens (ogs˚a kaldet deres Booleske sum) X + Y som mængden
X + Y = (X \ Y ) ∪ (Y \ X)
Lad X, Y og Z betegne mængder. Vis, at
(a) X + Y = Y + X (kommutativitet).
(b) X + (Y + Z) = (X + Y ) + Z (associativitet).
(c) X + ∅ = X.
(d) X + X = ∅.
Øvelse 1.27. Lad {Xi | i ∈ I} være en samling af mængder, indiceret af en
ikke-tom mængde I. Vis følgende generalisation af den første af De Morgans
love:
∁(
Xi) =
∁Xi.
i∈I
Øvelse 1.28. Lad A1, A2, . . . , An, . . . være delmængder af en grundmængde
U. Definer
∞ ∞
lim sup An = ( Ai), (1.16)
lim inf An =
i∈I
m=1 i=m
∞ ∞
( Ai). (1.17)
m=1 i=m
(a) Gør rede for, at lim sup An = {x ∈ U | x ∈ Ai for uendelig mange i}.
(b) Gør rede for, at lim inf An = {x ∈ U | x ∈ Ai for alle i fra et vist trin }.
(c) Vis, at
∞
An ⊆ lim inf An ⊆ lim sup An ⊆
n=1
10
∞
An. (1.18)
n=1

(d) Vis, at
∁(lim sup An) = lim inf ∁An og ∁(lim inf An) = lim sup ∁An. (1.19)
(e) Vis, at hvis A1 ⊆ A2 ⊆ . . . ⊆ An ⊆ . . ., da er
lim inf An = lim sup An =
(f) Vis, at hvis A1 ⊇ A2 ⊇ . . . ⊇ An ⊇ . . ., da er
lim inf An = lim sup An =
∞
An.
n=1
∞
An.
n=1
Øvelse 1.29. Lad An for n = 1, 2, . . . betegne halvplanen
(a) Vis, at
(b) Vis, at
lim sup An =
lim inf An =
2 Afbildninger
An = {(x1, x2) ∈ 2 | x2 ≥ (−1) n nx1}.
∞
An = ∁{(x1, x2) ∈ 2 | x1 = 0 og x2 < 0}.
n=1
∞
An = {(x1, x2) ∈ 2 | x1 = 0 og x2 ≥ 0}.
n=1
I dette afsnit indfører vi funktionsbegrebet med mængdelæren som grundlag.
Definition 2.1. Lad X og Y være to mængder. X × Y betegner mængden
af ordnede par (x, y), hvor x ∈ X og y ∈ Y .
Rækkefølgen (x p˚a 1. plads, y p˚a 2. pladsen) er væsentlig. Faktisk er
(y, x) slet ikke et element i X × Y , medmindre da tilfældigvis X = Y .
Definition 2.2. Lad X og Y være to mængder. En funktion eller en afbildning
af X ind i Y er en ordnet trippel (X, Y, f), hvor f er en delmængde af
X × Y med følgende egenskab: For ethvert element x ∈ X findes der netop
ét element y ∈ Y , s˚a (x, y) ∈ f.
Det éntydige element y ∈ Y , for hvilket (x, y) ∈ f, betegnes med f(x).
Symbolet f : X → Y benyttes ofte som en forkortelse for ”f er en
afbildning af X ind i Y ”.
X kaldes for funktionens domæne eller definitionsomr˚ade, og Y for dens
codomæne.
11

P˚a engelsk kaldes en funktion/afbildning for ”function”/”mapping” eller
bare ”map”.
N˚ar man taler om en funktion, s˚a er dens domæne X og dens codomæne
Y indbygget i funktionen i kraft af Definition 2.2, der jo specificerer b˚ade X
og Y . Ofte underforst˚as X og Y , s˚a man i stedet for at tale om funktionen
(X, Y, f) blot taler om funktionen f. En reel funktion f : X → kan
selvfølgelig anskues som en funktion, der tager komplekse værdier, idet ⊆
, men vi skelner alts˚a mellem den reelle og den komplekse funktion, fordi
de har forskellige codomæner.
Oftest bruges ordet funktion om en afbildning af en mængde X ind de
reelle eller komplekse tal, medens ordet afbildning bruges for et vilk˚arligt
codomæne.
Delmængden f af X × Y er f = {(x, f(x)) ∈ X × Y | x ∈ X}, s˚a en
funktion f : X → Y kan defineres ved, at vi til ethvert x ∈ X angiver
værdien f(x) ∈ Y . Ofte møder man vendingen ”funktionen f defineret ved
f(x) = . . ., x ∈ X”, hvor . . . er et eller andet udtryk i x, der giver et
element i Y . Med vendingen menes funktionen f = {(x, y) ∈ X × Y | y =
f(x)} (principielt dog triplen (X, Y, f)). F.eks. mener man med ”funktionen
f defineret ved f(x) = x 3 , x ∈ ”, funktionen {(x, y) ∈ 2 | y = x 3 }.
Undertiden skriver man funktionen f som x ↦→ f(x), x ∈ X. F.eks. betyder
x ↦→ x 3 , x ∈ , funktionen f defineret ved f(x) = x 3 , x ∈ .
I visse sammenhænge bruges der andre ord for afbildninger. F.eks. n˚ar
man, givet en mængde X, betragter en følge {x1, x2, . . .} i X. Følgen tilordner
til ethvert n ∈ elementet xn i X, s˚a der er dermed faktisk tale
om funktionen f : → X givet ved f(n) = xn, n ∈ . En følge er alts˚a
en funktion med de naturlige tal som definitionsomr˚ade. For en afbildning
mellem vektorrum benytter man ofte glosen ”operator” i stedet for glosen
”funktion”.
En ofte mødt definition p˚a funktion er, at en funktion f : X → Y er en
regel eller forskrift, der til ethvert element i X tilordner netop ét element i
Y . I indeværende fremstilling er vi imidlertid utilfredse med ordene ”regel”
og ”forskrift”, idet de er vage og ikke defineret mængdeteoretisk. Begrebet
funktion som defineret i Definition 2.2 giver mening til disse vage termer.
Men vi definerer alts˚a funktionsbegrebet, før vi benytter disse ord for en
funktion. Vi kan og vil imidlertid benytte dem fra nu af.
Lad f1 : X1 → Y1 og f2 : X2 → Y2 være to funktioner. Vi bemærker, at
f1 = f2, hvis og kun hvis X1 = X2, Y1 = Y2 og f1(x) = f2(x) for ethvert
x ∈ X1 = X2.
Definition 2.3. Lad f : X → Y være en afbildning af X ind i Y , og lad X ′
være en delmængde af X. Ved restriktionen af funktionen f til X ′ forst˚as
funktionen (X ′ × Y ) ∩ f = {(x ′ , f(x ′ )) ∈ f | x ′ ∈ X ′ } med definitionsomr˚ade
X ′ og codomæne Y . Den betegnes f |X ′.
Restriktionen f |X ′ er principielt en anden funktion end f, idet de to
12

funktioners definitionsomr˚ader er forskellige, nemlig henholdsvis X ′ og X.
Definition 2.4. Lad X, Y og Z være mængder, lad f : X → Y være en
afbildning af X ind i Y , og g : Y → Z være en afbildning af Y ind i Z.
Sammensætningen g ◦ f er den afbildning af X ind i Z som er givet ved
(g ◦ f)(x) = g(f(x)), x ∈ X. Med andre ord er sammensætningen triplen
(X, Z, g ◦ f), hvor g ◦ f = {(x, z) ∈ X × Z | z = g(f(x))}.
Det engelske ord for sammensætning er ”composition”.
En meget vigtig egenskab ved operationen sammensætning af funktioner
er dens associativitet:
Sætning 2.5. Lad X, Y , Z og W være mængder, lad f : X → Y være en
afbildning af X ind i Y , g : Y → Z en afbildning af Y ind i Z, og h : Z → W
en afbildning af Z ind i W . Da er h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f.
Definition 2.6. Lad X og Y være to mængder, og lad f : X → Y være en
afbildning af X ind i Y .
(a) For A ⊆ X er f(A) = {f(a) | a ∈ A}. Det er en delmængde af Y .
(b) f’s billedmængde (”image” p˚a engelsk) er en vis delmængde af Y , nemlig
f(X) = {f(x) | x ∈ X}.
(c) Hvis f(X) = Y , siges f at være en surjektion eller at være surjektiv.
Man siger ogs˚a kort, at f er p˚a. At en afbildning er surjektiv vil sige, at
der til ethvert y ∈ Y findes mindst ét x ∈ X s˚a f(x) = y.
Eksempel 2.7. (a) Funktionen f : → givet ved f(x) = x 3 , x ∈ , er
en surjektion.
(b) Funktionen f : → givet ved f(x) = sin x, x ∈ , er ikke surjektiv.
Dens billedmængde er nemlig [−1, 1], som er en ægte delmængde af .
(c) Funktionen f : → givet ved f(x) = x 2 , x ∈ , har billedmængden
[0, ∞[. Den er heller ikke p˚a.
Man skal skelne mellem en funktion og dens billedmængde; det sted, der
nok mest frister til sammenblanding, er i omgangen med kurver. En kurve
er pr definition en kontinuert afbildning γ : I → n af et interval I ind i
n , men ofte tænker man p˚a kurven som punktmængden γ(I).
Definition 2.8. Lad X og Y være to mængder, og lad f : X → Y være en
afbildning af X ind i Y . Lad Y0 være en delmængde af Y . Urbilledet af Y0
ved f er en vis delmængde af X, nemlig
f −1 (Y0) = {x ∈ X | f(x) ∈ Y0}. (2.1)
P˚a engelsk hedder det ”the pre-image of Y0 under f”.
13

Eksempel 2.9. Betragt funktionen f : → givet ved f(x) = x 2 , x ∈ .
Her er f −1 ([1, 4]) = [1, 2]∪[−2, −1], f −1 ({1}) = {±1}, og f −1 (]−∞, −1[) =
∅.
Definition 2.10. Ved potensmængden P(X) for mængden X forst˚ar man
mængden af alle delmængder af X.
P˚a engelsk: ”The power set of X”.
Hvis eksempelvis X = {a, b}, s˚a er P(X) en mængde med 4 elementer,
idet P(X) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}.
Det fremg˚ar af definitionen p˚a urbillede, at n˚ar f : X → Y , s˚a er f −1 en
afbildning af P(Y ) ind i P(X).
Vi pointerer, at f −1 (Y0) er en delmængde af X, ikke et element i X,
og at f −1 (Y0) er defineret for enhver delmængde Y0 af Y . Vi skal i Afsnit 3
møde en anden betydning af symbolet f −1 , nemlig som den inverse funktion,
uden disse egenskaber. Principielt burde man selvfølgelig benytte forskellig
notation for forskellige begreber, men det gør man i dette tilfælde alts˚a ikke.
Det overlades dermed læseren til ud fra sammenhængen at afgøre, hvilken
af de to betydninger f −1 har.
Betragt for eksempel den reelle funktion h, der til ethvert punkt i Danmark
tilordner dets højde over havoverfladen. Et topografisk kort over Danmark
viser punkterne med samme højde som en niveaukurve (eventuelt med
flere forskellige komponenter). Niveaukurven svarende til højden y over havoverfladen
er mængden h −1 ({y}). Pointen er, at h −1 ({y}) er en mængde.
Det er nok værd at overveje, hvilke sammenhænge der er mellem billedmængder
og urbilleder. Den næste sætning angiver nogle af dem.
Sætning 2.11. Lad f : X → Y være en afbildning af X ind i Y .
(a) Hvis B ⊆ Y , s˚a vil f −1 (∁B) = ∁(f −1 (B)), hvor komplementærmængderne
tages relativt til Y og X henholdsvis.
(b) Hvis B ⊆ Y , s˚a vil f(f −1 (B)) ⊆ B.
(c) Hvis f er surjektiv og B ⊆ Y , s˚a vil f(f −1 (B)) = B.
(d) Hvis A ⊆ X, s˚a er A ⊆ f −1 (f(A)).
(e) Hvis f er injektiv [defineres nedenfor] og A ⊆ X, s˚a er A = f −1 (f(A)).
Bevis. OTL.
Definition 2.12. Lad X og Y være to mængder, og lad f : X → Y være en
afbildning af X ind i Y . Afbildningen f siges at være en injektion, at være
injektiv eller kort skrevet 1 − 1, s˚afremt der for ethvert y ∈ Y er højst ét
x ∈ X, s˚a f(x) = y.
14

I Lemma 2.13 angiver vi nogle betingelser, der kan være nyttige, n˚ar man
skal afgøre, om en given afbildning er injektiv.
Lemma 2.13. Lad X og Y være to mængder, og lad f : X → Y være en
afbildning af X ind i Y . Da er følgende fire udsagn ækvivalente:
(a) f er en injektion.
(b) For alle x1, x2 ∈ X gælder, at hvis f(x1) = f(x2), s˚a er x1 = x2.
(c) For alle x1, x2 ∈ X gælder, at hvis x1 = x2, s˚a er f(x1) = f(x2).
(d) For ethvert y ∈ Y best˚ar urbilledet f −1 ({y}) af højst ét element.
Bevis. OTL.
Eksempel 2.14. (a) Funktionen f : → givet ved f(x) = x 3 , x ∈ ,
er b˚ade surjektiv og 1 − 1.
(b) Funktionen f : → givet ved f(x) = x 2 , x ∈ , er hverken surjektiv
eller 1 − 1.
(c) Funktionen f : → givet ved f(x) = arctan x, x ∈ , er 1 − 1, men
ikke p˚a.
(d) Funktionen f : → givet ved f(x) = x sin x, x ∈ , er p˚a, men ikke
1 − 1.
Eksempel 2.15. Lad I være et interval. Lad f : I → være strengt
voksende, dvs
Da er f injektiv.
[ x, y ∈ I og x < y ] ⇒ f(x) < f(y).
Definition 2.16. Lad X0 være en delmængde af X. Ved inklusionsafbildningen
af X0 ind i X forst˚as afbildningen i : X0 → X givet ved i(x) = x for
x ∈ X0.
En inklusionsafbildning er injektiv.
Definition 2.17. Lad X og Y være to mængder, og lad f : X → Y være en
afbildning af X ind i Y . Afbildningen f siges at være bijektiv, s˚afremt den
er b˚ade surjektiv og injektiv. En bijektiv afbildning kaldes for en bijektion.
Definition 2.18. To mængder X og Y siges at have samme kardinalitet,
s˚afremt der findes en bijektion f : X → Y af X p˚a Y .
15

Øvelse 2.19. Vis, at afbildningen
f(x) =
er en bijektion af intervallet ]0, 1[ p˚a .
2x − 1
, x ∈ ]0, 1[,
2x(1 − x)
Øvelse 2.20. Forklar hvorfor multiplikation med 2 ikke definerer en bijektion
af p˚a , n˚ar multiplikationen dog definerer en bijektion af p˚a
.
Øvelse 2.21. Vis, at afbildningen (m, n) ↦→ 2 m−1 (2n − 1) er en bijektion af
× p˚a .
Øvelse 2.22. Bevis de følgende p˚astande om sammensætning af funktioner:
(a) Sammensætningen af to injektioner er en injektion.
(b) Sammensætningen af to surjektioner er en surjektion.
(c) Sammensætningen af to bijektioner er en bijektion.
Øvelse 2.23. Lad X, Y og Z være mængder, lad f : X → Y være en
afbildning af X ind i Y , og lad g : Y → Z være en afbildning af Y ind i Z.
Lad h = g ◦ f.
Afgør, hvilke af de følgende 4 p˚astande, der er sande. Giv beviser for de
sande p˚astande og modeksempler for de falske.
(a) Hvis h er injektiv, s˚a er f injektiv.
(b) Hvis h er injektiv, s˚a er g injektiv.
(c) Hvis h er surjektiv, s˚a er f surjektiv.
(d) Hvis h er surjektiv, s˚a er g surjektiv.
Øvelse 2.24. Lad f : X → Y være en afbildning af X ind i Y . Lad X1 og
X2 være delmængder af X, og lad Y1 og Y2 være delmængder af Y .
Afgør, hvilke af de følgende 4 p˚astande, der er sande. Giv beviser for de
sande p˚astande og modeksempler for de falske.
f(X1 ∪ X2) = f(X1) ∪ f(X2) (2.2)
f(X1 ∩ X2) = f(X1) ∩ f(X2) (2.3)
f −1 (Y1 ∪ Y2) = f −1 (Y1) ∪ f −1 (Y2) (2.4)
f −1 (Y1 ∩ Y2) = f −1 (Y1) ∩ f −1 (Y2) (2.5)
Øvelse 2.25. Idet f : X → Y skal man vise følgende:
(a) Hvis g : Y → X og g ◦ f er identiteten p˚a X, dvs (g ◦ f)(x) = x for
ethvert x ∈ X, s˚a er f injektiv og g er surjektiv.
16

(b) En nødvendig og tilstrækkelig betingelse for, at f(A∩B) = f(A)∩f(B)
for alle delmængder A og B af X, er, at f er 1 − 1.
(c) En nødvendig og tilstrækkelig betingelse for, at f(X \ A) ⊆ Y \ f(A) for
alle delmængder A af X, er, at f er 1 − 1.
(d) En nødvendig og tilstrækkelig betingelse for, at Y \ f(A) ⊆ f(X \ A) for
alle delmængder A af X er, at f er surjektiv.
Øvelse 2.26. I Øvelse 1.18 indførte vi begrebet lukkede mængder i 2 og
. Lad F være en lukket delmængde af , og lad f : 2 → være en
kontinuert funktion. Vis, at f −1 (F ) er en lukket delmængde af 2 .
Øvelse 2.27. Lad f : X → Y . Idet {Yi}i∈I er en mængde af delmængder
af Y , skal man vise, at f −1 : P(Y ) → P(X) opfører sig eksemplarisk med
hensyn til foreningsdannelse og fællesmængdedannelse, dvs vise, at
f −1 (
Yi) =
f −1 (Yi), og (2.6)
i∈I
i∈I
f −1 (
Yi) =
f −1 (Yi) (2.7)
i∈I
i∈I
I Øvelse 2.24 har vi mødt disse formler i det specialtilfælde, hvor mængden
{Yi}i∈I kun har to elementer (kaldet Y1 og Y2 i Øvelse 2.24).
3 Om inverse funktioner
Lad f : X → Y være injektiv. Givet y ∈ f(X) findes der pr. definition af
billedmængden f(X) et element x ∈ X, s˚a f(x) = y. Injektiviteten sikrer
os, at der højst findes ét, s˚a alt i alt findes der netop ét x ∈ X, s˚a f(x) = y.
Dette fører os frem til definitionen af den inverse funktion til f.
Definition 3.1. N˚ar f : X → Y er injektiv, definerer vi en funktion f −1 :
f(X) → X ved, at f −1 (f(x)) = x for ethvert x ∈ X. Funktionen f −1 kaldes
for den inverse funktion til f.
En bijektion f : X → Y er injektiv, og f −1 : Y → X er en bijektion af
Y p˚a X.
Definition 3.2. Hvis X er en mængde, lader vi iX : X → X betegne den
identiske funktion p˚a X. Den er defineret ved, at iX(x) = x for ethvert
x ∈ X.
Lemma 3.3. Lad f : X → Y være injektiv. Da gælder:
(a) f er en bijektion af X p˚a f(X), n˚ar vi opfatter f som en funktion fra
X p˚a f(X).
17

(b) f −1 er en bijektion af f(X) p˚a X, og (f −1 ) −1 (x) = f(x) for ethvert
x ∈ X.
(c) f −1 ◦ f = iX. Her opfatter vi f som en funktion fra X p˚a f(X).
(d) f ◦ f −1 = i f(X).
Bevis. OTL.
Øvelse 3.4. Lad f : X → Y .
(a) Lad g : Y → X opfylde, at g ◦ f = iX. Vis, at f er injektiv. Angiv f −1
udtrykt ved f og g.
(b) Lad h : Y → X opfylde, at f ◦ h = iY . Vis, at f er surjektiv.
Lad f : X → Y . I princippet er det misbrug af notationen, at vi skriver
f −1 for den inverse funktion. Vi har nemlig allerede indført en anden
betydning af f −1 , nemlig i forbindelse med begrebet urbillede. Læseren m˚a
derfor selv af sammenhængen tyde, hvilken mening symbolet f −1 har. Der
er selvfølgelig væsentlige forskelle p˚a de to betydninger, blandt andet kan
vi danne urbilleder for enhver funktion f, medens vi kun kan tale om den
inverse funktion, n˚ar f er injektiv. Derudover er urbillederne delmængder af
X, medens værdierne af den inverse funktion er elementer i X. Der er dog en
sammenhæng mellem de to betydninger for en injektiv funktion f : X → Y ,
idet
f −1 ({y}) = {f −1 (y)} for ethvert y ∈ f(X).
Vi overlader det til læseren at tyde, hvorn˚ar symbolet f −1 i ovenst˚aende
formel benyttes i forbindelse med begrebet urbillede, og hvorn˚ar det refererer
til den inverse funktion.
Af hensyn til en senere anvendelse (beviset for Bernsteins ækvivalenssætning
6.1) noterer vi følgende resultat om sammenhængen mellem de to
betydninger af f −1 :
Lemma 3.5. Lad g : Y → X være en injektiv afbildning af mængden Y ind i
mængden X. Lad B ⊆ g(Y ). Da er urbilledet g −1 (B) lig med billedmængden
{g −1 (b) | b ∈ B}, hvor g −1 ses som en afbildning fra g(Y ) ind i Y . Alts˚a
g −1 (B) = {g −1 (b) | b ∈ B}, (3.1)
hvor venstre side af (3.1) er urbilledet af B under g og højre side er billedet
af B ved funktionen g −1 .
Bevis. OTL.
18

4 Om endelige mængder
Først lidt notation: For ethvert n ∈ lader vi [1, n] = {k ∈ | 1 ≤ k ≤ n}.
Definition 4.1. En mængde X siges at være endelig, hvis den er tom eller
hvis der findes en bijektion af X p˚a [1, n] for et eller andet n ∈ . En
mængde siges at være uendelig, hvis den ikke er endelig.
Proposition 4.2. Lad X være en endelig mængde, og lad m, n ∈ . Hvis
der findes bijektioner af X p˚a [1, m] og p˚a [1, n], s˚a er m = n.
Bevis. Vi kan antage, at X = [1, m]. Herefter benytter vi induktion efter
m.
Vi benytter Proposition 4.2 til at definere, hvad vi forst˚ar ved størrelsen
af en endelig mængde:
Definition 4.3. Lad X være en endelig mængde. Antal elementer i X er
0, hvis X = ∅, og ellers det éntydig bestemte n ∈ , for hvilket der findes
en bijektion af X p˚a [1, n]. Antal elementer i X betegnes med |X|.
Lemma 4.4. Hvis X er en endelig mængde og a /∈ X, s˚a er X ∪ {a} ogs˚a
endelig, og |X ∪ {a}| = |X| + 1.
Bevis. Induktion efter |X|.
Proposition 4.5. Lad A være en delmængde af en endelig mængde X. Da
er A selv endelig, og |A| ≤ |X|. Hvis A X (dvs A ⊆ X og A = X), s˚a er
|A| < |X|.
Bevis. Ang˚aende den første del af propositionen s˚a kan og vil vi antage, at
X har formen X = [1, n]. Den første del bevises herefter ved induktion, hvor
induktionsantagelsen er ”Hvis A ⊆ [1, n], s˚a er A endelig og |A| ≤ n”. Den
anden del er s˚a et korollar af Lemma 4.4.
Eksempel 4.6. Mængden N er en uendelig mængde. Det samme gælder
enhver mængde, der har som en delmængde.
Vi bemærker, at afbildningen n ↦→ n + 1 er en bijektion af p˚a \ {1},
s˚a og \ {1} har samme kardinalitet. Hvis er endelig, f˚ar vi af Lemma
4.4, at || = |\{1}|+1 = ||+1, hvilket giver modstriden 0 = 1. Dermed
har vi set, at er uendelig.
Den sidste p˚astand i Eksempel 4.6 følger af Proposition 4.5, kombineret
med, at N er uendelig, hvilket jo netop er vist.
Øvelse 4.7. (a) Lad A1 og A2 være endelige mængder. Vis, at A1∪A2 ogs˚a
er endelig.
(b) Lad A1, A2, . . . , An, hvor n ∈ , være (endelig mange) endelige mængder.
Vis, at A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An ogs˚a er endelig.
19

Øvelse 4.8. Lad A og B være to disjunkte, endelige mængder. Vis, at A∪B
er en endelig mængde, og at |A ∪ B| = |A| + |B|.
Øvelse 4.9. Lad x0 ∈ X, hvor X er en uendelig mængde. Vis, at X \ {x0}
er en uendelig mængde.
Øvelse 4.10. Lad f : X → Y , hvor X og Y er to endelige mængder med det
samme antal elementer. Vis, at f er injektiv, hvis og kun hvis f er surjektiv.
5 Om numerable mængder
Definition 5.1. Lad X være en mængde.
(a) X siges at være numerabel, s˚afremt X og har samme kardinalitet, dvs
at der findes en bijektion af X p˚a .
(b) X siges at være tællelig eller højst numerabel, s˚afremt X er endelig eller
numerabel.
(c) X siges at være overtællelig, s˚afremt X ikke er tællelig.
Numerabel oversættes til countably infinite eller countable p˚a engelsk.
Visse forfattere bruger ordet countable i betydningen tællelig, s˚a det er en
god idé at checke forfatterens definition af countable.
At en mængde X er tællelig, betyder billedligt, at dens elementer kan
stilles som en liste: Lad f : [1, n] → X eller f : → X være en bijektion,
alt efter om X er endelig eller uendelig. P˚a elementet f(1) klasker vi et
mærkat, hvorp˚a der st˚ar Nr. 1, p˚a f(2) klasker vi et mærkat, hvorp˚a der
st˚ar Nr. 2, osv. Ethvert element f˚ar et mærkat, da f er p˚a; og det f˚ar ikke
to forskellige, da f er 1 − 1. Hvis mængden er endelig, dvs vi har med
bijektionen f : [1, n] → X at gøre, bruger vi blot n mærkater. Hvis den er
uendelig, s˚a f˚ar vi brug for alle numrene 1, 2, . . .. Vi har hermed f˚aet sat
numre p˚a elementerne, s˚a vi kan stille dem op efter nummerorden p˚a en
liste.
Som et eksempel p˚a en numerabel mængde fremhæver vi
Eksempel 5.2. Mængden er numerabel.
Eksempel 5.3. × er numerabel. Dette blev vist i Øvelse 2.21, hvor der
endda blev angivet en eksplicit bijektion af × p˚a .
Eksempel 5.4. er numerabel. Idet vi definerer f : ∪ {0} → ved, at
f(0) = 0, og
f(2n − 1) = n og f(2n) = −n for n = 1, 2, . . . ,
f˚ar vi en bijektion af ∪{0} p˚a . Det overlades nu til læseren at konstruere
en bijektion af p˚a .
20

Sætning 5.5. Enhver delmængde af en tællelig mængde er selv tællelig.
Bevis. Lad M ⊆ N, hvor N er tællelig, dvs endelig eller numerabel. Idet
enhver delmængde af en endelig mængde selv er endelig (Proposition 4.5),
har vi det ønskede, n˚ar N er endelig. Tilbage er blot det tilfælde, hvor N er
numerabel.
Her ser vi først p˚a det specialtilfælde, hvor N = , s˚a M er en delmængde
af . Vi er færdige, hvis M er endelig, s˚a vi antager, at M ikke er
endelig. I s˚a fald definerer vi en afbildning f : → M p˚a følgende vis:
f(1) = det mindste element i M, alts˚a min M.
f(2) = min[M \ {f(1)}].
.
f(n + 1) = min[M \ ({f(1)} ∪ {f(2)} ∪ · · · ∪ {f(n)})]
.
Det er klart, at f(1) < f(2) < . . .. Processen kan ikke stoppe, for i s˚a fald
ville det for et eller andet n ∈ gælde, at M = {f(1)}∪{f(2)}∪· · ·∪{f(n)},
s˚a M var endelig.
Da f(1) < f(2) < . . ., er f injektiv. Det er ogs˚a klart, at vi f˚ar alle
elementer i M med. Det betyder, at f er en bijektion af p˚a M, dvs M er
numerabel. Vi har alts˚a vist sætningen, n˚ar M er en delmængde af .
Lad os herefter betragte det generelle tilfælde, hvor M er en delmængde
af en numerabel mængde N, der ikke nødvendigvis er . Lad φ : N →
være en bijektion; en s˚adan findes, ford i N er numerabel. Nu er φ(M) ⊆
φ(N) = . Ifølge det netop viste, er φ(M) tællelig, dvs enten endelig eller
numerabel.
Hvis φ(M) er tom, s˚a er M det ogs˚a, og dermed er M endelig. Hvis
φ(M) er endelig, men ikke tom, s˚a findes der en bijektion ψ : φ(M) → [1, n]
for et eller andet n ∈ . Som en sammensætning af bijektioner er ψ ◦ φ|M :
M → [1, n] selv en bijektion. Dermed er M endelig. Tilfældet, hvor φ(M) er
numerabel, behandles p˚a samme m˚ade som det endelige tilfælde; blot skal
[1, n] erstattes med .
Eksempelvis er mængden af primtal numerabel; der er jo uendelig mange
primtal.
Sætning 5.6. Lad f : X → Y . Hvis X er tællelig, s˚a er billedmængden
f(X) ogs˚a tællelig.
Bevis. Vi kan antage, at X = (Overvej dette!), s˚a det gør vi. Vi definerer
en afbildning g : f() → ved, at
g(y) = min{n ∈ | f(n) = y}, y ∈ f().
21

Bemærk, at mængden {n ∈ | f(n) = y} ikke er tom, n˚ar y ∈ f(), s˚a vi
ikke i definitionen af g tager minimum over den tomme mængde. Bemærk
dernæst, at g : f() → er injektiv, idet mængderne {n ∈ | f(n) = y1}
og {n ∈ | f(n) = y2} er disjunkte, n˚ar y1 = y2. Det følger (overvej
dette!), at g er en bijektion af f(X) p˚a sit billede g(f(X)) ⊆ . Dette
billede er en tællelig mængde (Sætning 5.5), dvs der findes en bijektion
φ : g(f(X)) → I, hvor I enten er et interval [1, n] eller . Den sammensatte
afbildning φ ◦ g : f(X) → I er en bijektion (som en sammensætning af
bijektioner) af f(X) p˚a I. Heraf følger sætningen.
Sætning 5.7. Enver endelig foreningsmængde af tællelige mængder er selv
tællelig.
Bevis. Vi nøjes med at bevise det tilfælde, hvor der er tale om to mængder X
og Y . Det generelle tilfælde følger nemlig derefter umiddelbart ved induktion
efter antallet af mængder (OTL).
Vi overlader det til læseren at diskutere de tilfælde, hvor en eller begge
mængder X og Y er endelige (det sidste er klaret i Øvelse 4.7), s˚a vi vil her
alts˚a fra nu af antage, at b˚ade X og Y er numerable. Der findes derfor en
bijektion f : → X af p˚a X og en bijektion g : → Y af p˚a Y . Vi
definerer nu en afbildning F af \ {0} p˚a X ∪ Y ved
f(n) for n > 0
F (n) =
g(−n) for n < 0
Da \ {0} er tællelig (Sætning 5.5), er billedmængden F ( \ {0}) = X ∪ Y
ogs˚a tællelig ifølge Sætning 5.6.
Eksempel 5.8. Mængden af rationale tal er numerabel. Hermed et bevis
for denne p˚astand:
Vi minder først om, at de rationale tal er alle brøker m/n, hvor m og n
er hele tal on n = 0. Mængden af rationale tal er ikke endelig, idet den
numerable mængde er en delmængde af .
Vi har i Eksempel 5.3 set, at × er numerabel. Idet afbildningen
(p, q) ↦→ p/q er en surjektiv afbildning af × p˚a de positive rationale tal,
er disse en tællelig mængde (Sætning 5.6). Det samme gælder s˚a mængden
{r ∈ | r > 0} ∪ {0} (ifølge Sætning 5.7). Afbildningen r ↦→ −r er en
bijektion af {r ∈ | r > 0} p˚a {r ∈ | r < 0}, s˚a de negative rationale tal
er ogs˚a en tællelig mængde. Det ses s˚a fra Sætning 5.7, at foreningsmængden
= {r ∈ | r > 0} ∪ {0} ∪ {r ∈ | r < 0} er tællelig. Da ikke er
endelig, er dermed numerabel.
En sidebemærkning: At de rationale tal er en tællelig mængde, kan give
resultater, der i første omgang strider mod ens intuition. Betragt de rationale
tal i enhedsintervallet ]0, 1[. Det er ifølge Sætning 5.5 en tællelig mængde, s˚a
lad ]0, 1[ ∩ = {r1, r2, . . .}. Læg for ethvert n ∈ et interval In af længde
22

2 −n 10 −6 omkring rn. S˚a vil ]0, 1[ ∩ ⊆ ∞
n=1 In. Disse intervallers samlede
længde er (ulighedstegn, idet der kan være overlap) ≤ ∞
n=1 2−n 10 −6 =
10 −6 . Det kan være svært at se, hvordan det kan være, at vi ikke f˚ar hele
enhedsintervallet ]0, 1[ med, idet der jo i ethvert, selv nok s˚a lille, delinterval
af ]0, 1[ ligger rationale tal.
Eksempel 5.9. De reelle tal er ikke en tællelig mængde.
Hermed et bevis for denne p˚astand. Det er indirekte, s˚a vi antager, at
er tællelig, og fører denne antagelse til en modstrid. Ifølge Sætning 5.5
er enhver delmængde af tællelig under vores antagelse, s˚a det er nok at
fremvise en delmængde, der ikke er tællelig. Som den p˚agældende delmængde
tager vi de reelle tal, der kan skrives som uendelige decimalbrøker p˚a formen
0, c1c2 . . ., hvor det for ethvert n ∈ gælder, at cn = 3 eller cn = 4. Da det
er en tællelig mængde, kan den skrives op p˚a en liste
r (1) = 0, c (1)
1 c(1)
2 . . . c (1)
n . . .
r (2) = 0, c (2)
1 c(2)
2 . . . c (2)
n . . .
r (3) = 0, c (3)
1 c(3)
2 . . . c (3)
n . . .
.
r (n) = 0, c (n)
1 c(n)
2 . . . c (n)
n . . .
.
Ethvert element i vores delmængde optræder alts˚a p˚a listen ovenfor. Vi f˚ar
den ønskede modstrid ved at finde et element r fra delmængden, der ikke
optræder p˚a listen. Vi definerer
ved, at
cn =
r = 0, c1c2 . . . cn . . .
4 hvis c (n)
n = 3
3 hvis c (n)
n = 4.
(5.1)
Lad nu n ∈ være vilk˚arlig. Vi ser, at r = r (n) , da de to tal r og r (n) jo er
forskellige i hvert fald p˚a plads nr. n, idet den ene i kraft af konstruktionen
(5.1) af r der har cifferet 3 og den anden cifferet 4. Da n ∈ er vilk˚arlig,
gælder det for ethvert n ∈ , at r = r (n) . Dermed optræder r ikke p˚a listen.
Bemærkning 5.10. Resultatet i Eksempel 5.9 blev først bevist af Cantor
(7. december 1873). Det meget snedige argument i Eksempel 5.9 for overtælleligheden
skyldes ogs˚a ham og kaldes derfor Cantors diagonalfølge-argument.
Det er dog meget senere (1890). Cantors diagonalfølge-argument bruges ogs˚a
i andre sammenhænge.
23

Bemærkning 5.11. Eksempel 5.9 viser, at der er flere reelle tal end rationale.
Vi kan endda konkludere, at der findes overtælleligt mange irrationale tal
(hvordan det?). Men vi f˚ar ikke noget at vide om individuelle tal, s˚a vi er
nødt til at søge tilflugt til andre metoder for at f˚a vist, at tal som √ 2, e
og π er irrationale. At √ 2 er irrational, blev vist allerede ca. 500 f. Kr. af
pythagoræikeren Hippasus fra Metapontum. Dermed modsagde han den pythagoræiske
doktrin om, at alt kan beskrives ved hele tal. Overleveringen
beretter, at han gjorde opdagelsen ombord p˚a et skib, og at de andre pythagoræere
smed ham overbord for hans kætteri. At π er irrational, blev først
vist af J. H. Lambert i 1761.
Sætning 5.12. Lad X1, X2, . . . være en følge af tællelige mængder. Da er
deres foreningsmængde ∞
n=1 Xn ogs˚a en tællelig mængde.
Bevis. Vi nøjes med at skitsere et bevis. Lad
X1 = {x (1)
1 , x(1) 2
X2 = {x (2)
1 , x(2) 2
, . . .},
, . . .},
. (5.2)
Xn = {x (n)
1
.
, x(n) 2
, . . .},
Vi skal opstille foreningsmængden ∞
n=1 Xn i en følge. Det gør vi efter skemaet
1 3 6 10 . . .
↗ ↗ ↗ ↗
2 5 9 · . . .
↗ ↗ ↗ ↗
4 8 · · . . .
↗ ↗ ↗ ↗
7 · · · . . .
↗ ↗ ↗ ↗
· · · · . . .
(5.3)
Med denne ordning bliver de første otte elementer i foreningsmængden
x (1)
1 , x(2) 1 , x(1) 2 , x(3) 1 , x(2) 2 , x(1) 3 , x(4) 1 , x(3) 2 .
Hvis et element i foreningsmængden optræder flere gange i (5.2), skal vi
kun medtage det første gang, vi møder det. Endvidere skal vi overspringe de
pladser i (5.3), hvortil der ikke svarer noget element, enten det nu skyldes,
at der st˚ar en endelig mængde i den p˚agældende række, eller at følgen af
mængder er endelig.
24

Bevis. Hermed et andet bevis: Lad
X1 = {x (1)
1 , x(1) 2
X2 = {x (2)
1 , x(2) 2
, . . .},
, . . .},
. (5.4)
Xn = {x (n)
1
.
, x(n) 2
, . . .},
Vi kan antage, at følgen X1, X2, . . . er numerabel, idet Sætning 5.7 klarer
det endelige tilfælde.
Hvis Xn er endelig, lader vi s(n) betegne nummeret p˚a det sidste element
i Xn.
Vi betragter delmængden X af × , defineret ved, at (n, m) ∈ ×
er et element i X, hvis og kun hvis m ≤ s(n) i det tilfælde, hvor Xn er
endelig (hvis Xn er uendelig, er der ingen betingelser p˚a m). Mængden X
er tællelig (Eksempel 5.3 kombineret med Sætning 5.5). Afbildningen f :
X → ∞ n=1 Xn givet ved f(n, m) = x (n)
m er surjektiv, s˚a tilbage st˚ar blot at
henvise til Sætning 5.6.
Eksempel 5.13. Hilberts Hotel (se internettet).
Eksempel 5.14. Et komplekst tal siges at være et algebraisk tal, s˚afremt
det er rod i en ligning
anx n + an−1x n−1 + · · · + a1x + a0 = 0, (5.5)
hvor n ∈ ∪ {0}, an, an−1, . . . , a1, a0 ∈ og an = 0.
Ethvert rationalt tal er algebraisk. Som irrationale tal, der er algebraiske,
kan nævnes √ 2, 2 + √ 3 og 5 3 + 3√ 2 (Vis, at disse tal er algebraiske!).
Sætning 5.15. Mængden af algebraiske tal er tællelig.
Bevis. En bestemt ligning (5.5) har endelig mange rødder, nemlig højst n
indbyrdes forskellige rødder. Heraf følger, at mængden Aq best˚aende af alle
rødder i alle ligninger (5.5), for hvilke
|an| + |an−1| + . . . + |a1| + |a0| = q, (5.6)
q = 1, 2, 3, . . ., er endelig; der er jo kun endelig mange ligninger (5.5), der
opfylder betingelsen (5.6). Da
A =
∞
Aq,
q=1
er A en tællelig mængde (Sætning 5.12).
25

Heraf følger, at der er flere end tælleligt mange tal, der ikke er algebraiske.
S˚adanne tal kaldes transcendente tal. Som eksempler p˚a transcendente
tal kan nævnes π, grundtallet e for den naturlige logaritme og 2 √ 2 . Beviser
for, at π og e er transcendentale, blev først givet af henholdsvis Hermite
(1873) og Lindemann (1882); senere har man fundet simplere beviser. At
2 √ 2 er transcendent, blev vist i 1934 af Gelfond. I 1966 viste A. Baker følgende:
Lad a være et algebraisk tal med a = 0 og a = 1, og lad b være et
irrationalt algebraisk tal. S˚a er a b et transcendent tal.
Øvelse 5.16. Lad X være endelig og lad Y være numerabel. Vis, at X ∪ Y
er numerabel.
Øvelse 5.17. Lad X og Y være tællelige mængder. Vis, at X × Y ogs˚a er
tællelig.
Øvelse 5.18. Vis, at mængden {(q1, q2) ∈ 2 | q1, q2 ∈ } er numerabel.
Øvelse 5.19. Lad X betegne en mængde af parvis disjunkte intervaller i
. Vis, at X er tællelig, dvs X blot indeholder tælleligt mange intervaller,
ikke overtælleligt mange.
Øvelse 5.20. Lad f : [0, 1] → være en voksende funktion, dvs s ≤ t
medfører f(s) ≤ f(t). Vis, at mængden af f’s diskontinuitetspunkter er
tællelig.
6 Generelle resultater om mængder
Vi har i foreg˚aende afsnit udledt en række resultater om tællelige mængder.
Endvidere har vi i Eksempel 5.9 set, at de reelle tal er en overtællelig
mængde, s˚a ikke bare eksisterer overtællelige mængder, men nogle af dem er
vigtige. Det spørgsm˚al melder sig nu, om vi i al almindelighed kan sige noget
fornuftigt om mængder, der ikke nødvendigvis er tællelige. Er de m˚aske
for store, komplicerede og forskelligartede til, at vi udlede nogen generelle
resultater om dem? Vi skal i indeværende afsnit se, at vi faktisk kan sige
noget fornuftigt og interessant om mængder i al almindelighed, ogs˚a selv om
vi ikke indskrænker os til de tællelige mængder.
Lad os for to mængder X og Y skrive |X| ≤ |Y |, s˚afremt der findes
en injektiv afbildning af X ind i Y . I givet fald siger vi, at X har mindre
kardinalitet end Y . Det er en udvidelse af, hvad vi har skrevet for endelige
mængder. Hvis X og Y har samme kardinalitet, skriver vi |X| = |Y |. Vi
skriver |X| < |Y |, s˚afremt der b˚ade gælder, at |X| ≤ |Y | og at |X| = |Y |.
Det er klart, at |X| ≤ |X|. Det er ogs˚a oplagt, at hvis |X| ≤ |Y | og |Y | ≤ |Z|,
s˚a er |X| ≤ |Z|, idet en sammensætning af to injektioner selv er en injektion.
Hvad der bestemt ikke er helt klart, er følgende sætning.
26

Sætning 6.1 (Felix Bernsteins ækvivalenssætning, 1897). Lad X og Y være
to mængder. Hvis |X| ≤ |Y | og |Y | ≤ |X|, s˚a er |X| = |Y |, dvs X og Y har
samme kardinalitet.
Bemærkning 6.2. Ækvivalenssætningen kaldes ogs˚a Cantor-Bernsteins ækvivalenssætning,
fordi Cantor var den første til at formulere den, og Felix
Bernstein (1878-1956) den første til at bevise den. Den kaldes ogs˚a undertiden
Bernstein-Schröders ækvivalenssætning, fordi logikeren Ernst Schröder
(1841-1902) mente at have bevist den.
Lidt standard notation, før vi g˚ar i gang med beviset for Bernsteins
ækvivalenssætning:
Hvis X er en mængde og φ : X → X er en afbildning af mængden ind i
sig selv, s˚a sætter vi
φ 0 = iX, φ 1 = φ og induktivt φ n = φ ◦ φ n−1 for n = 2, 3 . . . . (6.1)
Bevis for Bernsteins ækvivalenssætning. At |X| ≤ |Y | betyder, at der findes
en injektiv afbildning f : X → Y . Der er ikke givet noget om, at den skulle
være surjektiv; det behøver den faktisk ikke at være. Tilsvarende findes der
en injektiv afbildning g : Y → X, da |Y | ≤ |X|.
Nedenfor regnes komplementærmængder i forhold til X og Y henholdsvis.
Vi f˚ar brug for en vis delmængde A af X, nemlig
A =
∞
(g ◦ f) n (X \ g(Y ))
n=0
= (X \ g(Y )) ∪ (g ◦ f)(X \ g(Y )) ∪ (g ◦ f) 2 (X \ g(Y )) ∪ · · · . (6.2)
Vi noterer tre egenskaber ved A:
(i) ∁A ⊆ g(Y ).
(ii) A = (g ◦ f)(A) ∪ (X \ g(Y )).
(iii) f(A) = g −1 (A) og ∁f(A) = g −1 (∁A). Bemærk, at højre side g −1 (∁A)
er billedet af ∁A ved afbildningen g −1 : g(Y ) → Y (Lemma 3.5).
Ad (i): Af (6.2) fremg˚ar det, at A ⊇ X \ g(Y ). Heraf følger (i), f.eks. ved at
man tager komplementærmængder med hensyn til X.
Ad (ii): Af definitionen (6.2) p˚a A f˚ar vi, at
(g ◦ f)(A) = (g ◦ f)(X \ g(Y )) ∪ (g ◦ f) 2 (X \ g(Y )) ∪ · · · ,
hvilket er A p˚anær det første led p˚a højresiden af (6.2). Tilføjes X \ g(Y )
p˚a begge sider, f˚as (ii).
27

Ad (iii): Den sidste del af (iii) følger af den første ved komplementærmængdedannelse
(cf. Sætning 2.11(a)), s˚a vi kan koncentrere os om den første
del.
⊆) Lad f(a), hvor a ∈ A, være et vilk˚arligt element i venstre side f(A).
Vi skal vise, at f(a) ∈ g −1 (A), dvs at g(f(a)) ∈ A. Men g(f(a)) = (g◦f)(a) ∈
(g ◦ f)(A), s˚a det er klart fra (ii).
⊇) Lad omvendt y ∈ g −1 (A) være et vilk˚arligt element i venstre side.
At y ∈ g −1 (A) betyder, at g(y) ∈ A. Af (ii) ser vi, at g(y) ∈ (g ◦ f)(A),
idet g(y) ikke ligger i nr. 2 led p˚a højre side af (ii). Der findes s˚a et a ∈ A,
s˚a g(y) = (g ◦ f)(a) = g(f(a)). Da g er injektiv, er y = f(a). Dermed er
y ∈ f(A), og (iii) er eftervist.
Vi betragter herefter afbildningen h : X → Y givet ved
h(x) =
f(x) for x ∈ A
g −1 (x) for x ∈ ∁A.
(6.3)
Det bør bemærkes, at ∁A ⊆ g(Y ), s˚a den nederste linje i udtrykket for h
er meningsfyldt. Det blev imidlertid allerede bemærket i punkt (i) ovenfor.
Vi hævder, at h er en bijektion af X p˚a Y , dvs h er b˚ade injektiv og
surjektiv.
Da s˚avel f som g −1 er injektive, kan injektiviteten af h kun g˚a galt, hvis
der findes a ∈ A og b ∈ ∁A, s˚a f(a) = g −1 (b). Men det kan ikke lade sig gøre,
for f(a) ∈ f(A) og g −1 (b) ∈ ∁f(A) (det sidste ifølge den anden p˚astand i
(iii)).
Hvad surjektiviteten ang˚ar, s˚a ser vi umiddelbart fra de to tilfælde i
definitionen (6.3) af h, at h(X) ⊇ f(A) og h(X) ⊇ g −1 (∁A), s˚a
h(X) ⊇ f(A) ∪ g −1 (∁A).
N˚ar vi heri indsætter, at g −1 (∁A) = ∁f(A) (punkt (iii) ovenfor), f˚ar vi, at
h(X) ⊇ f(A) ∪ ∁f(A) = Y , dvs h er surjektiv.
Korollar 6.3. Lad X, Y og Z være tre mængder, som opfylder, at X ⊆
Y ⊆ Z og at |X| = |Z|. Da er |X| = |Y | og |Y | = |Z|.
Bevis. Idet inklusionsafbildningen X → Y er injektiv, er |X| ≤ |Y |. Da
|X| = |Z|, findes der en bijektion φ : Z → X af Z p˚a X. Lad i : Y → Z
betegne inklusionsafbildningen. Sammensætningen φ ◦ i : Y → X er en
injektiv afbildning (en sammensætning af to injektive afbildninger), s˚a |Y | ≤
|X|. Korollaret følger nu af Bernsteins ækvivalenssætning.
Sætning 6.4 (Cantors sætning). Lad X være en mængde. Da er |X| <
|P(X)|.
28

Bevis. Det er klart, at |X| ≤ |P(X)|: Afbildningen x ↦→ {x} af X ind i P(X)
er nemlig 1 − 1.
At |X| = |P(X)| giver vi et indirekte bevis for. Vi antager, at der gælder
lighedstegn, og fører denne antagelse til en modstrid. At der gælder
lighedstegn, betyder, at der findes en bijektion f af X p˚a P(X). Betragt
nu delmængden A = {x ∈ X | x /∈ f(x)}. Da f er surjektiv, findes der et
a ∈ X, s˚a f(a) = A. Der er nu to muligheder
(i) a ∈ A. I dette tilfælde har vi pr definition af A, at a /∈ f(a); og da
f(a) = A, at a /∈ A. Men det strider mod tilfældets overskrift, der er
a ∈ A. Dermed optræder dette tilfælde alts˚a ikke, og vi har
(ii) a /∈ A tilbage. Da f(a) = A, har vi i dette tilfælde, at a /∈ f(a). Pr
definition af A har vi dermed, at a ∈ A. Men det strider mod tilfældets
overskrift, der er a /∈ A.
Vi f˚ar alts˚a en modstrid.
Cantors sætning har som konsekvens, at der ikke er nogen største mængde
i den forstand, at alle andre kan indlejres i den via en injektion. Hvis X
er en s˚adan største mængde, s˚a er P(X) jo endnu større.
Den næste sætning (Sætning 6.5) giver os, at har mindst kardinalitet
blandt alle uendelige mængder i den forstand, at || ≤ |X| for enhver
uendelig mængde X.
Sætning 6.5. Enhver uendelig mængde indeholder en numerabel delmængde.
Bevis. Kald den uendelige mængde X. Lad x1 være et vilk˚arligt valgt element
i X. Restmængden X1 = X \{x1} er ikke tom; lad x2 være et vilk˚arligt
valgt element i X1. Restmængden X2 = X1 \ {x2} er ikke tom; lad x3 være
et vilk˚arligt valgt element i X2. Restmængden X3 = X2 \ {x3} er ikke tom;
lad x4 være et vilk˚arligt valgt element i X3. Osv.
Da X er uendelig, er restmængden Xn = X \ {x1, x2, . . . , xn} ikke tom
for noget n, s˚a udvælgelsesprocessen kan fortsættes ubegrænset. Mængden
{x1, x2, . . .} er en numerabel delmængde af X.
Sætning 6.6. Hvis N er en tællelig mængde og U en uendelig mængde, s˚a
har U og U ∪ N samme kardinalitet.
Bevis. Ifølge Sætning 6.5 har U en numerabel delmængde. Vi lader D =
{u1, u2, . . . , un, . . .} betegne en s˚adan.
Da U ∪ N = U ∪ (N \ U), kan vi i kraft af Sætning 5.5 antage, at U og
N er disjunkte.
Lad os først antage, at N er endelig. Hvis N er tom, s˚a er resultatet
trivielt, s˚a lad os antage, at N ikke er tom og dermed kan skrives p˚a formen
29

N = {a1, a2, . . . , aM}, hvor M ∈ . Vi definerer afbildningen f : U ∪N → U
ved forskriften
⎧
⎪⎨ u for u ∈ U \ D
f(u) = un+M for u = un, hvor n = 1, 2, . . .
⎪⎩
for u = ai, i = 1, 2, . . . , M.
ui
Vi overlader det til læseren at eftervise, at f er en bijektion af U ∪ N p˚a U.
Det næste og sidste tilfælde er det, hvor N er numerabel, dvs N har
formen N = {a1, a2, . . . , an, . . .}. Her definerer vi en afbildning f : U ∪ N →
U ved forskriften
⎧
⎪⎨ u for u ∈ U \ D
f(u) = u2n for u = un, hvor n = 1, 2, . . .
⎪⎩
u2n−1 for u = an, n = 1, 2, . . . .
Vi overlader det til læseren at eftervise, at f er en bijektion af U ∪ N p˚a U.
Øvelse 6.7. I denne opgave skal vi indse, at 2 og har samme kardinalitet.
Det blev bevist af Cantor i 1877, og det forbløffede ham ˚abenbart.
I hvert fald skrev han i et brev til kollegaen Dedekind følgende om dette
overraskende resultat: ”Je le vois, mais je ne le crois pas.”
Vi vil først vise, at enhedskvadratet ]0, 1] 2 og enhedsintervallet ]0, 1] har
samme kardinalitet, dvs at der findes en bijektion af ]0, 1] 2 p˚a ]0, 1[.
(a) Gør rede for, at ethvert tal i ]0, 1] p˚a netop én m˚ade kan skrives som en
uendelig decimalbrøk, som ikke ender med lutter nuller.
(b) Lad x ∈ ]0, 1]. Med udgangspunkt i skrivem˚aden fra punkt (a) skriver vi
x p˚a formen x = 0, x1x2 . . ., hvor x1, x2, . . . dog ikke altid er decimalerne,
men er fastlagt som følger:
x1 = de første cifre efter kommaet til og med det første ciffer = 0,
x2 = de følgende cifre til og med det næste, der er = 0,
osv.
Eksempelvis har vi for tallet x = 0, 021800045 . . ., at x1 = 02, x2 = 1,
x3 = 8, x4 = 0004 og x5 = 5.
Vi definerer nu en afbildning Φ : ]0, 1] 2 → ]0, 1] som følger: Idet x ∈ ]0, 1]
og y ∈ ]0, 1] skrives som ovenfor, alts˚a x = 0, x1x2 . . . og y = 0, y1y2 . . .,
sætter vi Φ(x, y) = 0, x1y1x2y2 . . ., hvor grupperne anføres skiftevis.
Vis, at Φ : ]0, 1] 2 → ]0, 1] er en bijektion.
(c) Hvad g˚ar galt med argumentet, hvis x1, x2, . . . og y1, y2, . . . betegner
decimalerne?
30

(d) Vis, at 2 og har samme kardinalitet.
Bemærkning 6.8. Hermed et par bemærkninger til Øvelse 6.7.
• Det kan bevises, at der ikke findes nogen kontinuert bijektion af ]0, 1] 2
p˚a ]0, 1], s˚a afbildningen Φ : ]0, 1] 2 → ]0, 1] ovenfor er alts˚a ikke kontinuert.
Det følger af en avanceret sætning, der g˚ar under navnet Brouwer’s
Theorem on Invariance of Domain. Se [1, Side B 77] for et elementært
bevis for, at Φ : ]0, 1] 2 → ]0, 1] ikke kan være kontinuert.
• Den italienske matematiker Guiseppe Peano (1858–1932) fandt i 1890
en kontinuert afbildning af [0, 1] ind i [0, 1] 2 (dvs en kurve i [0, 1] 2 ),
der er p˚a. Den er ikke 1 − 1.
Øvelse 6.9. Vis, at mængden af alle irrationale tal har samme kardinalitet
som .
Litteratur
[1] Bundgaard, S.: ”Nogle Grundlæggende Begrebsdannelser inden for Matematikken,
Kapitel I–VI. Definitioner og Sætninger.” Elementærafdelingen
nr. 5A. Matematisk Institut. Aarhus Universitet. 1959/60.
”Nogle Grundlæggende Begrebsdannelser inden for Matematikken, Kapitel
I–VI. Eksempler og Opgaver.” Elementærafdelingen nr. 5B. Matematisk
Institut. Aarhus Universitet. 1959/60.
[2] Halmos, Paul R.: ”Naive Set Theory.” Van Nostrand Company, Inc.
Princeton, New Jersey. Toronto. London. 1960.
[3] Heiede, T. og Helms, H.J., Mængdelære og transfinite kardinaltal I–III.
Nordisk Matematisk Tidsskrift 10 (1962), 11–51, 108–136, 169–190.
[4] Hrbacek, K. and Jech, T.: ”Introduction to Set Theory.” Marcel Dekker,
Inc. New York and Basel. 1978.
31