43 opgaver i sandsynlighedsregning - Aarhus Universitet

14
2 ◦ Vis, at sandsynlighedsfunktionen for A er
A −1 1
P (A = ·)
og beregn middelværdi og varians af A.
4
10
3 ◦ Beregn de betingede sandsynligheder af B givet A.
4 ◦ Beregn Cov (A, B).
6
10
Opgave 39 (Eksamen i Biostatistik Sommeren 1995, Opgave 1)
Lad X være en stokastisk variabel med fordelingsfunktion
1 ◦ Vis, at
⎧
⎪⎨
FX(x) =
⎪⎩
samt at tæthedsfunktionen for X er
⎧
⎨
fX(x) =
⎩
0 hvis x < 1
1
4 (2 + 3x − x3 ) hvis − 1 ≤ x ≤ 1
1 hvis x > 1.
P (X ∈] − 1, 0.5 ]) = 27
32 ,
3
4 (1 − x2 ) hvis − 1 ≤ x ≤ 1
0 ellers.
2 ◦ Vis, at middelværdien og variansen for X er henholdsvis
Lad
E X = 0 og V ar X = 1
5 .
Y = 1
(Z + 1),
2
hvor Z er en stokastisk variabel, der er uafhængig af X og har samme fordeling som X.
3 ◦ Beregn middelværdien og variansen af X − 2Y.
4◦ Vis, at tæthedsfunktionen for Y er
6y(1 − y) hvis y ∈ [0, 1]
fY (y) =
0 ellers.
Opgave 40 (Eksamen i Geostatistik Vinteren 1995/96, Opgave 1)
Lad (X, Y ) være en kontinuert to-dimensional vektor med simultan tæthedsfunktion
⎧
⎨
f(X,Y )(x, y) =
⎩
3
4 x2 hvis (x, y) ∈ [−1, 1] × [−1, 1]
0 ellers.