MATRICER LINEÆRE LIGNINGER Usikkerhedsberegning

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN
MATRICER
LINEÆRE LIGNINGER
Usikkerhedsberegning
med inddragelse af lommeregner (TI89)
og programmerne TI-Nspire og Mathcad
⎡ 0 3 − 4 − 1⎤
⎡x
⎢
3 − 2 − 4 − 2
⎥ ⎢
⎢
⎥ ⋅ ⎢
x
⎢ 1 0 − 2 − 2 ⎥ ⎢x
⎢
⎥ ⎢
⎣−
1 3 0 − 3 ⎦ ⎣x
1
2
3
4
⎤ ⎡2
⎤
⎥ ⎢
⎥
2
⎥
= ⎢ ⎥
⎥ ⎢0
⎥
⎥ ⎢ ⎥
⎦ ⎣−
2⎦
1. udgave 2012

FORORD
Dette notat giver en gennemgang af de matrixoperationer, der er nødvendige for at løse lineære
ligningssystemer.
Endvidere gennemgås hvorledes man beregner usikkerheden på et sammensat udtryk
Regnemidler:
I dette notat er der i eksemplerne vist hvorledes beregningerne skal foretages med lommeregneren
“TI89" og PC-programmerne “TI-Nspire” og “Mathcad”.
Disse regnemidler kan foretage de sædvanlige matrixoperationer, hvilket betyder, at der ikke
lægges vægt på at øve, hvorledes man beregner eksempelvis en invers matrix.
Ønskes bevis for en række af sætningerne i notatet kan henvises til lærebogssystemet “B.
Hellesen, M. Oddershede Larsen : Matematik for Ingeniører” Bind 3 kapitlerne 16, 17 og 18, hvor
man også i kapitel 19 kan finde en gennemgang af egenværdier m.m.
Bøgerne kan i pdf-format findes på adressen www.larsen-net.dk
På denne adresse findes også en række bøger, der behandler forskellige emner indenfor såvel
grundlæggende som videregående matematik og statistik.
7. juli 2012 Mogens Oddershede Larsen
i

INDHOLD
1 Indledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Matricer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3 Regneregler for matricer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4 Matrixregning udført på TI89 og Mathcad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
5 Ligningssystem hvor koefficientmatrix er invertibel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
6 Lineære ligningssystemer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
6 Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
8 Lineære ligningssystemer med parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
9 Cramers sætning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10 Overbestemt ligningssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
11 Usikkerhedsberegning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Facitliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Stikord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
ii

1 Indledning
1. Indledning
Ved problemer, hvis løsning kræver, at man opererer med et større antal sammenhørende lineære
ligninger (førstegradsligninger), kan man med fordel anvende matrixregning.
Da det matematiske problem i sådanne tilfælde alene er bestemt af de konstanter, der forekommer
i ligningssystemet, og ikke af de betegnelser vi giver de variable, er det praktisk ved behandlingen
af ligningssystemerne blot at se på “skemaer” (såkaldte matricer ) indeholdende konstanterne.
Eksempelvis vil man ved behandlingen af ligningssystemet
⎧ 3x2 − 4x3 − x4
= 2
⎪
⎪3x1
− 2x2 − 4x3 − 2x4 = 2
⎨
⎪
x1 − 2x3 − 2x4 = 0
⎩
⎪−
x1 + 3x2 − 3x4 = −2
med fordel kunne se på matricerne
⎡ 0 3 − 4 − 1⎤
⎢
− − −
A = ⎢
3 2 4 2
⎥
⎥ (ligningssystemets “koefficientmatrix”)
⎢ 1 0 − 2 − 2 ⎥
⎢
⎥
⎣−
1 3 0 − 3 ⎦
⎡2
⎤
⎢
B = ⎢
2
⎥
⎥
(ligningssystemets “højre side”)
⎢0
⎥
⎢ ⎥
⎣−
2⎦
⎡ 0 3 − 4 − 1 2 ⎤
⎢
− − −
T = ⎢
3 2 4 2 2
⎥
⎥
⎢ 1 0 − 2 − 2 0⎥
⎢
⎥
⎣−
1 3 0 − 3 − 2 ⎦
(ligningssystemets “totalmatrix”).
Større systemer af ligninger forekommer f.eks. ved mange procestekniske beregninger, hvor man
opstiller et system af “balanceligninger” (stofbalancer, energibalancer, økonomiske balancer,
osv.), eller ved beregning af modstande og spændinger i elektriske kredsløb.
Et meget enkel eksempel herpå er følgende elektriske kredsløb:
1

Matricer og lineære ligninger
Ved benyttelse af Kirchoffs strømlov
fås
I punktet P: i1 − i2 + i3
= 0
I punktet Q: − i + i − i =
1 2 3 0
Højre kreds: 10i + 25i = 90
2 3
Venstre kreds: 20i + 10i = 80
1 2
Ligningssystemet der består af 4 ligninger med 3 ubekendte er så simpelt, at man umiddelbart kan
løse det. Lidt større kredsløb vil føre til flere ligninger med mange ubekendte, og her vil den
følgende matrixteori være nødvendig.
2. Matricer.
Ved en matrix forstås et regulært skema bestående af tal eller bogstavsymboler:
De enkelte symboler kaldes matricens elementer, og vil i denne bog være reelle tal.
⎡ 0 3 − 4 − 1⎤
⎢
− − −
Matricen A = ⎢
3 2 4 2
⎥
⎥ har 4 rækker og 4 søjler.
⎢ 1 0 − 2 − 2 ⎥
⎢
⎥
⎣−
1 3 0 − 3 ⎦
Man siger kort, at den er en 4 “gange” 4 matrix (4 x 4) matrix
Matricer, der som A har lige mange rækker og søjler kaldes kvadratiske.
⎡2
⎤
⎢
Matricen B = ⎢
2
⎥
⎥ har 4 rækker og 1 søjle (er en (4 x 1) matrix).
⎢0
⎥
⎢ ⎥
⎣−
2⎦
Matricer, der som B kun har 1 søjle, kaldes også for søjlematricer eller søjlevektorer.
Ombyttes rækker og søjler i en matrix C, (1. række bliver til 1. søjle, 2. række bliver til 2. søjle
osv.) fremkommer C’s transponerede matrix .
⎡1
⎢
Eksempelvis har matricen C = ⎢
5
⎢2
⎢
⎣4
3
6
9
7
0 ⎤
10
⎥
⎥ den transponerede matrix C
8 ⎥
⎥
12⎦
T ⎡1
=
⎢
⎢
3
⎣⎢
0
5
6
10
2
9
8
4 ⎤
7
⎥
⎥
12⎦⎥
T T =
Af definitionen følger: ( A ) A .
2
C T

T
Er A = A kaldes A symmetrisk.
En symmetrisk matrix må nødvendigvis være kvadratisk.
⎡a
a .. . a
⎢
a a
Mere generelt skrives en matrix A = ⎢
⎢....
⎢
⎣a
1 a
.... a
2 ... a
11 12 1n
21 22 2n
m m mn
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
3. Regneregler for matricer
De enkelte symboler kaldes matricens elementer, og vil i dette notat være reelle tal.
I skemaets m (vandrette) rækker og n (lodrette) søjler indgår m⋅ n tal, nummererede med dobbelte
indices, således at første index angiver rækkenummer, og andet index angiver søjlenummer.
Elementet ars står således i den r`te række og den s`te søjle. Man siger kort, at A er en m gange
n matrix (skrives m x n)
Elementerne a11, a22 , a33
......., osv. (dvs. elementerne hvor rækkenummeret = søjlenummeret)
siges at udgøre matricens diagonal.
⎡1
⎢
I C = ⎢
5
⎢2
⎢
⎣4
3
6
9
7
0 ⎤
10
⎥
⎥ er c23 = 10 og diagonalen er1, 6 , 8
8 ⎥
⎥
12⎦
⎡ 1
D =
⎢
⎢
− 2
⎣⎢
3
− 2
5
6
3⎤
6
⎥
⎥
er symmetrisk, da matricen er symmetrisk om diagonalen.
7⎦⎥
3. Regneregler for matricer
Lighed
To m x n matricer A og B kaldes ens (skrives A = B ), hvis tilsvarende elementer i de to matricer
er ens.
Eksempelvis er A = og ens.
⎡2
3⎤
⎢ ⎥ B =
⎣5
4⎦
⎡2
3⎤
⎢ ⎥
⎣5
4⎦
Multiplikation af matrix med tal (skalar).
For et vilkårligt reelt tal k og en vilkårlig matrix A defineres k A som en ny matrix, fremkommet
ved at alle A`s elementer er multipliceret med k.
⎡2
− 1⎤
⎡6
− 3⎤
Eksempelvis gælder 3
⎢
1 3
⎥
=
⎢
3 9
⎥
.
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣⎢
0 4 ⎦⎥
⎣⎢
0 12⎦⎥
3

Matricer og lineære ligninger
Addition af matricer.
Ved summen af to m x n matricer A og B forstås den m x n matrix, der fremkommer ved at
tilsvarende elementer i A og B adderes.
⎡2
3⎤
⎡ 1 1⎤
⎡3
4 ⎤
⎢
Eksempelvis 1 2
⎥
+
⎢
− 1 1
⎥
=
⎢
0 3
⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢0
− 1⎥
⎢ 2 0⎥
⎢2
− 1⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
Det ses umiddelbart, at A + B = B + A (den kommutative lov gælder)
og A + (B + C) = (A + B) + C (den associative lov gælder)
Bemærk: Både A og B skal være m x n matricer.
⎦
Multiplikation af matricer
Lad der være givet to matricer A og B, hvor antallet af søjler i A er lig antallet af rækker i B.
Elementerne i matricen C = A ⋅ B beregnes ved en “række-søjle multiplikation, dvs. hvis
rækkerne i A opfattes som vektorer, og søjlerne i B ligeledes som vektorer, så fremkommer et
element i C ved at rækkerne i A multipliceres skalært med søjlerne i B. Følgende eksempel
illustrerer dette.
Eksempel 3.1. Multiplikation af matricer.
⎡5
Lad A = ⎢
⎣3
Løsning:
⎡−
1 0 − 1⎤
1 − 2 ⎤
⎥ og B =
⎢
1 2 2
⎥
. Beregn A ⋅ B og B ⋅ A, hvis det er muligt.
1 7⎦
⎢ ⎥
⎣⎢
2 1 − 2⎦⎥
⎡5⋅
( − 1) + 1⋅ 1+ ( −2) ⋅2 AB = ⎢
⎣3⋅
( − 1) + 1⋅ 1+ 7⋅ 2
5⋅ 0 + 1⋅ 2 + ( −2) ⋅1 3⋅ 0 + 1⋅ 2 + 7⋅1 5⋅ ( − 1) + 1⋅ 2 + ( −2) ⋅( −2)
⎤
3 ( − 1) + 1⋅ 2 + 7⋅ ( −2)
⎥
⎦
= − ⎡ 8 0
⎢
⎣12
9
1 ⎤
− 15
⎥
⎦
B ⋅ A ikke er defineret.
Den nedenfor viste opstilling af matricerne kan gøre regningerne mere overskuelige:
5 1 -2
3 1 7
-1 0 -1
1 2 2
2 1 -2
-8 0 1
12 9 -15
Første faktor Produkt
Anden faktor
Det ses ved udregning, at der gælder A ⋅ (B+C) = A ⋅ B+A ⋅ C (den distributive lov)
De fleste af disse regneregler er ganske som regnereglerne for de reelle tal. Bemærk dog, at der
ikke gælder nogen kommutativ lov for multiplikation, dvs. vi må normalt forvente, at A⋅ B ≠ B ⋅ A
4

4. Matrixregning udført på TI89 og Mathcad
4. Matrixregning udført på TI89, TI-Nspire og Mathcad.
Skal man eksempelvis løse 10 sammenhørende ligninger med 10 ubekendte, bliver matricerne
meget store, og så er det nødvendigt at benytte et matrixprogram.
Selv om TI89 sagtens kan regnemæssigt kan behandle 10 ligninger, så er displayet så lille, at det
bliver lidt besværligt at overskue løsningen. Her kan det være en fordel at benytte PCprogrammerne
TI-Nspire eller Mathcad med en stor skærm.
Eksempel 4.1. Regning med matricer ved benyttelse af TI89 og Mathcad.
⎡−
1 0 − 1⎤
⎡5
1 − 2⎤
Lad A = ⎢ ⎥ og B =
⎢
1 2 2
⎥
. Beregn A ⋅ B og .
⎣3
1 7 ⎢ ⎥
A
⎦
⎣⎢
2 1 − 2⎦⎥
T
Løsning:
TI89
Matricerne A og B indtastes:
APPS, Data/Matrix editor, New, Udfyld Type = Matrix, Variable = A, antal rækker=2 og søjler
= 3, ENTER, ENTER. Udfyld skemaet med matricen A, Home
Nu er matricen A indtastet.
Tilsvarende oprettes matricen B.
Beregn A ⋅ B: VAR-Link, A , ENTER, ,* ,VAR-Link, B, ENTER, ENTER Resultat A ⋅ B
A T
Beregn . VAR-Link, A , ENTER ,CATALOG ,t T , ENTER: Resultat
(Facit: se eksempel 3.1).
Bemærk:
a) Ofte er matricerne så store, at man i “Historik” feltet ikke kan se alle resultater. Så må man
flytte feltet nedad ved at holde tasten”pil opad” (se øverste tastrække) nede samtidig med at
man bruger piletasten nedad.
b) Hvis man i næste opgave ønsker igen at kalde en Matrix A, så må man i VAR-Link først slette
den tidligere definerede matrix A.
TI-Nspire
Matricerne A og B indtastes:
Vælg Beregninger,Skriv a:=,
Vælg Matricer og Vektorer,Opret,Matrix, antal rækker=2, antal kolonner = 3,OK
Udfyld skemaet med matricen A, ENTER
Tilsvarende oprettes matricen B
Beregn A ⋅ B: Skriv a*b. Resultat som i eksempel 3.1
Beregn A : Skriv a, Vælg Transponerer i menu
T
Mathcad
Matricerne A og B indtastes:
Skriv A, : , Vælg fra Matrix-paletten, matrix, “Rows” = 2, “Column” = 3, ENTER ,indsæt tal.
Tilsvarende oprettes matricen B.
Beregn A ⋅ B: Skriv på ny linie A*B= Resultat A ⋅ B
A T
Beregn : Skriv A vælg på Matrix-paletten MT, ENTER, Skriv =, Resultat
Bemærk: Skal man anvende eksempelvis matricen A i et udtryk, skal udtrykket stå under A.
Et elememt i matricen A, der står i 1-række, 2 søjle benævnes , da første række og søjle har
< >
numrene 0. A angiver første søjle i A.
0
5
A0, 1
A T
A T

Matricer og lineære ligninger
5. Ligningssystem hvor koefficientmatrix er invertibel.
Vi vil i dette afsnit betragte lineære ligningssystemer, hvor der er lige mange ligninger og
ubekendte, og som har netop én løsning. Et eksempel på et sådant ligningssystem er
⎧ 3x2 − 4x3 − x4
= 2
⎪
⎪3x1
− 2x2 − 4x3 − 2x4 = 2
⎨
⎪
x1 − 2x3 − 2x4 = 0
⎩
⎪−
x1 + 3x2 − 3x4 = −2
Dette ligningssystem kan nu skrives
⎡ 0 3 − 4 − 1⎤
⎡x1
⎤ ⎡2
⎤
⎢
3 − 2 − 4 − 2
⎥ ⎢
x
⎥ ⎢
2 2
⎥
⎢
⎥ ⋅ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥
⎢ 1 0 − 2 − 2 ⎥ ⎢x
3 ⎥ ⎢0
⎥
⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣−
1 3 0 − 3 ⎦ ⎣x
4 ⎦ ⎣−
2⎦
eller kort K X = H, hvor
⎡ 0 3 − 4 −1⎤
⎢
− − −
K = ⎢
3 2 4 2
⎥
⎥ er ligningssystemets koefficientmatrix
⎢ 1 0 − 2 − 2⎥
⎢
⎥
⎣−
1 3 0 − 3⎦
⎡x1
⎤ ⎡2
⎤
⎢
x
⎥ ⎢
X = ⎢ 2 ⎥ og H = ⎢
2
⎥
⎥ er ligningssystemets højreside.
⎢x
3 ⎥ ⎢0
⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣x
4 ⎦ ⎣−
2⎦
K er kvadratisk, da den har lige mange rækker og søjler
For at kunne løse en sådan ligning, ville det være godt, hvis der eksisterede en “invers” matrix
A så
−1
−1
A ⋅ X = B ⇔ X = A ⋅ B
Ligesom 0 ikke har noget inverst element i de reelle tal, findes der matricer, der ikke har en invers
matrix.
Ved en invertibel matrix forstås en matrix, der har en invers matrix
Ved en singulær matrix, forstås en matrix, der ikke har en invers matrix.
Vi vil i dette kapitel kun betragte ligningssystemer, hvor den kvadratiske koefficientmatrix er
invertibel.
−1
Sammenlignes med en sædvanlig førstegradsligning ax = 1⇔ x = a , a ≠ 0
ses, at man må indføre en matrix, som svarer til tallet 1.
6

5. Ligningssystem hvor koefficientmatrix er invertibel
DEFINITION af enhedsmatrix. Ved en enhedsmatrix (skrives E eller En ) forstås en kvadratisk
n x n matrix, hvor alle elementer i diagonalen er 1 og alle elementer udenfor diagonalen er 0.
⎡1
0 0 0⎤
⎢
0 1 0 0
⎥
Eksempelvis er E4 = ⎢ ⎥ en 4 × 4enhedsmatrix.
⎢0
0 1 0⎥
⎢ ⎥
⎣0
0 0 1⎦
Ved direkte udregning ses, at for en vilkårlig n x n matrix A gælder A ⋅ E = E ⋅ A = A , dvs.
E n
n n
enhedsmatricen spiller samme rolle i mængden af kvadratiske n x n matricer, som 1 gør i de
reelle tal.
DEFINITION af invers (reciprok) matrix. Matricen kaldes invers matrix til matricen
−1 −1
A, hvis A ⋅ A = A ⋅ A = E
Man ser, at spiller samme rolle i forhold til A som f. eks. tallet gør i forhold til tallet 2.
1
2
( ⋅ 2 = 2⋅ = 1 ).
A −1
A −1 1
2
1
2
Man kunne forestille sig, at en matrix kunne have flere forskellige inverse matricer. Dette er
imidlertid ikke tilfældet:
Bevis: Antag, at B og C begge er inverse matricer til A. Vi ville da få
B = B ⋅ E = B ⋅ ( A ⋅ C) = ( B ⋅ A) ⋅ C = E ⋅ C = C dvs. B = C .
Ved håndregning at beregne en invers matrix A er så tidskrævende, at man altid vil bruge et
−1
program (TI89/Mathcad).
(Håndregningsmetoden kan ses i “Matematik for Ingeniører “ bind 3,kapitel 17 side 82 eksempel
17.3, hvis man vil vide hvordan).
Eksempel 5.1. Invers matrix.
⎡ 0
⎢
Find den inverse matrix til A = ⎢
3
⎢ 1
⎢
⎣−
1
Løsning
3 − 4 − 1⎤
− 2 − 4 − 2
⎥
⎥
0 − 2 − 2 ⎥
⎥
3 0 − 3 ⎦
TI89 Matricen A indtastes som angivet i eksempel 4.1.
⎡ 0
⎢
A, ^-1, ENTER Resultat: ⎢
1/ 6
⎢−
1/ 6
⎢
⎣ 1/ 6
3
3/ 3
1
1/ 2
− 6
−10
/ 6
−13
/ 6
− 4 / 3
2 ⎤
7 / 6
⎥
⎥
5/ 6⎥
⎥
1/ 6⎦
Vælg gul tast + ENTER hvis resultat ønskes som decimalbrøk
TI-Nspire Matricen A indtastes som angivet i eksempel 4.1
A, ^-1 , ENTER Resultet som ovenfor.
Hvis du ønsker decimaltal, så tryk CTRL, ENTER (eller skriv et tal i A som decimaltal).
Ønskes eksempelvis kun med 2 decimaler vælg Filer, Indstillinger, Dokumentindstillinger
7

Matricer og lineære ligninger
Mathcad Matricen A indtastes som angivet i eksempel 4.1.
Skriv A, vælg på Matrix-paletten X -1 ENTER
Skriv = hvis du ønsker resultatet som decimalbrøk.
Vælg fra “evaluation-paletten → hvis du ønsker brøker.
A −1
Har man først fundet er det hurtigt at finde løsningen til ligningssystemet A X = B, da
−1 −1 −1 −1
AX = B ⇔ A ⋅ AX = A ⋅ B ⇔ EX = A ⋅ B ⇔ X = A ⋅ B
Eksempel 5.2. Løsning af ligningssystem
⎧ 3x2 − 4x3 − x4
= 2
⎪
⎪3x1
− 2x2 − 4x3 − 2x4 = 2
Løs ligningssystemet ⎨
⎪
x1 − 2x3 − 2x4 = 0
⎩
⎪−
x1 + 3x2 − 3x4 = −2
Løsning:
Vi har A X = B, hvor
⎡ 0 3 − 4 − 1⎤
⎡x1
⎤ ⎡2
⎤
⎢
− − −
⎥
A = ⎢
3 2 4 2
⎢
⎥
x
⎥ ⎢
X = ⎢ 2 ⎥ og B = ⎢
2
⎥
⎥ .
⎢ 1 0 − 2 − 2 ⎥ ⎢x
3 ⎥ ⎢0
⎥
⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣−
1 3 0 − 3 ⎦ ⎣x
4 ⎦ ⎣−
2⎦
Matricerne A og B indtastes som angivet i eksempel 4.1
TI89: X findes ved indtastning af A ^-1 * B X fremkommer i displayet.
⎡2⎤
⎢
Vi får X = ⎢
1
⎥
⎥ . dvs. x1 = 2, ⎢0⎥
⎢ ⎥
⎣1⎦
x2 = 1, x3 = 0, x4
= 1
TI-Nspire: X findes ved indtastning af A ^-1 * B
Mathcad:
−1
X:= A ⋅ B ( A kan ses i eksempel 5.1 )
−1
8

6. Lineære ligningssystemer
6. Lineære ligningssystemer
At et ligningssystem er lineært betyder, at de ubekendte alle er af første grad. Et ligningssystem
hvori der forekommer x er således ikke lineært.
2
I kapitel 5 har vi løst ligningssystemer hvor koefficientmatrix var invertibel.
Vi vil nu benytte en mere generel metode, som ved såkaldt Gauss-elimination kan løse alle typer
af lineære ligningssystemer uanset antallet af ligninger og ubekendte
Et eksempel på et sådant ligningssystem er
⎧x1
+ 3x2 − 2x 3
= 0
⎪
⎪2x1
+ 6x2 − 5x3 − 2x 4 − 3x5 = −1
⎨
⎪
5x3 + 10x4 + 15x5 = 5
⎩
⎪2x1
+ 6x2 + 8x4 + 18x5 = 6
som har n = 4 ligninger med m = 5 ubekendte.
Man starter nu med at opskrive ligningssystemets “totalmatrix” T
⎡1
3 − 2 0 0 0 ⎤
⎢
− − − −
⎥
T = ⎢
2 6 5 2 3 1
⎥
⎢0
0 5 10 15 5⎥
⎢
⎥
⎣2
6 0 8 18 6 ⎦
Løsningsmetoden er, at man ved passende såkaldte rækkeækvivalente operationer simplificerer
ligningssystemet til et system, hvoraf man let kan finde de ubekendte.
Rækkeækvivalente operationer.
Et lineært ligningssystems løsningsmængde ændrer sig ikke, hvis
a) to ligninger ombyttes - svarende til rækkeombytning i totalmatricen T,
b) en ligning multipliceres med en konstant k ≠ 0 - svarende til at en række i T multipliceres med
k ≠ 0.
c) en ligning Lp erstattes af ligningen Lp + k ⋅ Lq - svarende til at den q`te række i T multipliceres
med k og adderes til den p`te række ( p ≠ q ). Dette kaldes en rækkeoperation i T og skrives
kort rp + k ⋅ rq. To matricer A og B er rækkeækvivalente (skrives A ≈ B ), hvis de overføres i hinanden ved èn
eller flere af de i punkterne a), b) og c) nævnte ændringer.
Echelon - matrix
Ideen i den såkaldte Gauss’ elimination er, at man ved rækkeækvivalente operationer omdanner
ligningssystemets totalmatrix til en såkaldt “echelon-matrix”, hvorefter ligningssystemets løsning
er nem at finde.
9

Matricer og lineære ligninger
⎡1
3 4 2 5⎤
⎢
0 0 1 7 2
⎥
En matrix af typen ⎢ ⎥ kaldes en echelon-matrix
⎢0
0 0 1 3⎥
⎢ ⎥
⎣0
0 0 0 0⎦
(echelon = trinvis opstilling med skrå front). En sådan matrix er karakteriseret ved
1) at rækker, som består af lutter 0`er placeret nederst i matricen.
og for de øvrige rækker gælder
2) at i en række er det første fra 0 forskellige tal i rækken et 1-tal. Tallet kaldes for rækkens pivotelement,
eller “ledende” 1-tal.
3) at for to på hinanden følgende rækker vil pivotelementet i den nederste af de to rækker stå
længere til højre end pivotelementet i den øverste af de to rækker.
Andre eksempler på “echelon-matricer” er
⎡1
4 3 6⎤
⎡1
5 6 2 ⎤ ⎡1
6 6 4⎤
⎢
0 1 1 3
⎥ ⎢
, 0 1 2 7
⎥ ⎢
, 0 0 1 5
⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣⎢
0 0 1 3⎦⎥
⎣⎢
0 0 0 0⎦⎥
⎣⎢
0 0 0 1⎦⎥
Bemærk: Ethvert pivotelement har lutter 0`er under sig.
Gauss’ elimination
Det følgende eksempel viser Gauss eliminationsmetode på et mindre ligningssystem:
Eksempel 6.1. Gauss elimination
Løs ligningssystemet
⎧2x1
− 6x2 + 4x 3 = 10
⎪
⎨3x1
+ 2x2 − 3x3 = 1
⎪7x
− 10x + 5x = 21
⎩
1 2 3
Da der er lige mange ligninger og ubekendte kunne man umiddelbart fristes til at finde den inverse
matrix. Forsøges dette fås udskriften ERR: SINGULAR MAT
(Dette skyldes, at L3 = 2⋅
L1 + L2
, så reelt er der kun 2 ligninger med 3 ubekendte)
Vi reducerer nu totalmatrix til echelon-form.
⎡2
⎢
⎢
3
⎣⎢
7
− 6
2
−10
4
− 3
5
10⎤
⎡1
1
⎥
⎥
⎯ 1⎯
→
⎢
3
r ⎢ 1
2
21⎦⎥
⎣⎢
7
− 3
2
−10
2
− 3
5
5 ⎤ ⎡1
1
⎥
⎥
⎯⎯⎯→ ⎢
0 r2 −3r1
⎢
r3 −7
r1
21⎦⎥
⎣⎢
0
− 3
11
11
2
− 9
− 9
5 ⎤
−14
⎥
⎥
−14⎦⎥
⎡1
− 3 2 5 ⎤ ⎡1
− 3 2 5
⎢
⎥ ⎢
⎯⎯⎯⎯ → 0 11 9 14 0 1 9
r3 −2r2
⎢
− −
⎥
⎯⎯⎯ →
1 ⎢
− −
11
r2
⎣
⎢0
0 0 0 ⎦
⎥ 11 ⎣
⎢0
0 0 0
10
14
11
⎤
⎥
⎥
⎦
⎥

6. Lineære ligningssystemer
⎧2x1
− 6x2 + 4x 3 = 10
⎪
⎧⎪
x1 − 3x2 + 2x3 = 5
Vi har: ⎨3x1
+ 2x 2 − 3x3 = 1 ⇔ ⎨ 9 14
⎪
x2 − x 11 3 = − 11
⎩7x1
− 10x2 + 5x3 = 21 ⎩⎪
Der er følgelig uendelig mange løsninger, idet en af de variable kan vælges frit.
x 14 9
14 9
3 2 11 11 3 1 ( 11 11 3) 3
Vælges som fri variabel fås x = − + x , x = 5 + 3 − + x − 2x
eller
x = + x , x = − + x , x fri
1
13
11
5
11 3 2
14
11
9
11 3 3
For større ligningssystemer er det meget tidsbesparende at benytte et program der kan omdanne
en matrix til en echelon matrix. Imidlertid er det her arbejdsbesparende at reducere matricen
yderligere ved at skaffe 0'er også over pivotelementerne.
Metoden forkortes til “rref” ( reduced row echelon matrix)
Vi viser dette på samme ligningssystemet som i eksempel 6.1
Eksempel 6.2. Gauss elimination ved TI89 og Mathcad.
Løs ligningssystemet
⎧2x1
− 6x2 + 4x 3 = 10
⎪
⎨3x1
+ 2x2 − 3x3 = 1
⎪7x
− 10x + 5x = 21
⎩
1 2 3
Løsning:
Totalmatricen indtastes Lad matricens navn være T.
TI89:
MATH, 4:MATRIX, ENTER, 4:rref , VAR-Link, T, ENTER, ), ENTER
⎡1
0 − 5/ 11 13/ 11 ⎤
Der fremkommer følgende rref echelon matrix:
⎢
⎢
0 1 − 9 / 11 −14
/ 11
⎥
⎥
⎣⎢
0 0 0 0 ⎦⎥
14 9 13 5
1. eraf fås x = − + x , x x , fri altså samme facit som i eksempel 6.1.
2 3
11
11
1 = + 3 x3 TI-Nspire:
Skriv rref(t) eller benyt
Matrix og Vektorer, Reduceret række echelon form, t . Facit som ovenfor
11
11
Mathcad:
Skriv rref (T ) → hvis man ønsker brøker eller rref (T )= hvis decimaltal.
Anden mulighed er i værktøjslinien at vælge f(x) og i den fremkomne menu vælge “Vector and
Matrix” og derefter “rref”
Et lineært ligningssystem kan have netop 1 løsning, uendelig mange løsninger, eller ingen
løsninger.
Hvis koefficientmatrix K er invertibel (dvs. K, der har en invers matrix ) så er der netop én løsning
(jævnfør eksempel 5.2)
Hvis K er singulær, så har ligningssystemet uendelig mange løsninger, eller ingen løsninger.
11

Matricer og lineære ligninger
Hvis koefficienterne er konkrete tal som i eksempel 6.2 er det simpleste at omdanne totalmatrix
til en rref-echelonmatrix, og på det grundlag løse ligningssystemet.
Det vil så umiddelbart fremgå hvad løsningsmængden er.
Indgår der i ligningssystemet en parameter kan man imidlertid komme til at overse et
specialtilfælde. Et eksempel herpå vises i eksempel 8.2.
Eksempel 6.3 Ligningssystemers løsninger
Lad der være fundet følgende echelonmatricer
⎡1
4 3 6⎤
⎡1
5 6 2 ⎤ ⎡1
6 6 4⎤
⎢
A= 0 1 1 3
⎥ ⎢
, B = 0 1 2 7
⎥ ⎢
, C = 0 0 1 5
⎥
,
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣⎢
0 0 1 3⎦⎥
⎣⎢
0 0 0 0⎦⎥
⎣⎢
0 0 0 1⎦⎥
⎡1
5 4 3 8 ⎤
⎢
⎥
D = ⎢
0 1 2 4 0
⎥
⎢0
0 0 0 0⎥
⎢
⎥
⎣0
0 0 0 0⎦
Angiv om det tilsvarende ligningssystem har 1 løsning, ingen løsning eller uendelig mange
løsninger. Hvis der er uendelig mange løsninger skal angives antallet af frie variable (variable der
kan angives frit)
Løsning:
A: Netop én løsning, da der er et pivotelement i alle tre rækker i koefficientmatricen.
B: Uendelig mange løsninger, da antallet af ubekendte m = 3 er større end antallet af ligninger
n =2.
Antal parametre er m - n =1 (jævnfør eksempel 6.2)
C: Ingen løsning, da en række har lutter 0 -er i koefficientmatricen, men et tal forskelligt fra nul
på højre side ( 0 x = 1).
D: Uendelig mange løsninger, da antallet af ubekendte m = 4 er større end antallet af ligninger
n =2. Antal frie variable er m - n =2
Rang af matrix
Rangen af en matrix er lig med antallet af “uafhængige” rækker i matricen.
Rangen er derfor lig med antallet af ikke-nul rækker i en tilsvarende echelon-matrix.
Rangen af A skrives kort ρ( A)
eller rang(A).
Eksempel 6.3 (fortsat)
ρ( A)
=3 rang( koefficientmatrix) = 3, antal ubekendte=3 så netop 1 løsning
ρ( B ) = 2 rang(koefficientmatrix)=2 , antal ubekendte =3 . 3 -2 = 1 fri variabel
ρ( C ) = 3 rang( koefficientmatrix) =2 : antal ubekendte =3. Da 2 < 3 så L=Ø
ρ( D ) = 2 rang( koefficientmatrix) =2: antal ubekendte = 4. 4-2 = 2 fri variable.
Vi vil illustrere de forskellige løsningsmuligheder ved yderligere to eksempler.
12

Eksempel 6.4. Netop en løsning (= eksempel 5.2)
⎧ 3x2 − 4x3 − x4
= 2
⎪
⎪3x1
− 2x2 − 4x3 − 2x 4 = 2
Løs ligningssystemet ⎨
⎪
x1 − 2x 3 − 2x4 = 0
⎩
⎪−
x1 + 3x2 − 3x4 = −2
Løsning:
Totalmatrix T indtastes
⎡ 0 3 − 4 −1
2 ⎤
⎢
− − −
A = ⎢
3 2 4 2 2
⎥
⎥
⎢ 1 0 − 2 − 2 0 ⎥
⎢
⎥
⎣−
1 3 0 − 3 − 2⎦
⎡1
⎢
rref(T) = ⎢
0
⎢0
⎢
⎣0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
2⎤
1
⎥
⎥
0⎥
⎥
1⎦
Heraf ses, at x = 2, x = 1, x = 0, x = 1
1 2 3 4
Eksempel 6.5. Uendelig mange løsninger
Løs ligningssystemet
⎧ x1 + 3x2 − 2x 3
= 0
⎪
⎪2x1
+ 6x2 − 5x3 − 2x 4 − 3x5 = −1
⎨
⎪
5x3 + 10x4 + 15x5 = 5
⎩
⎪2x1
+ 6x2 + 8x4 + 18x5 = 6
Løsning:
Totalmatricen er
⎡1
3 − 2 0 0 0 ⎤
⎢
− − − −
⎥
T = ⎢
2 6 5 2 3 1
⎥
⎢0
0 5 10 15 5 ⎥
⎢
⎥
⎣2
6 0 8 18 6 ⎦
⎡1
3 0 4 0 0 ⎤
⎢
0 0 1 2 0 0
⎥
Totalmatricen indtastes . rref(T) = ⎢
⎥
⎢0
0 0 0 1 1/ 3⎥
⎢
⎥
⎣0
0 0 0 0 0 ⎦
Da rang(K) = rang(T) = 3 og antal ubekendte er 5, er der 5 - 3 =2 fri variable
Vi får: 1 = , x + 2x = 0 ⇔ x = −2x
,
x 5
3
3 4 3 4
x + 3x + 4x = 0 ⇔ x = −3x − 4x
1 2 4 1 2 4
( x , x , x , x , x ) = ( −3x − 4x , x , −2x
, x , )
1 2 3 4 5 2 4 2 4 4
1
3
13
6. Lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligninger
Eksempel 6.6. Ingen løsning
Løs ligningssystemet
⎧2x1
+ 2x2 − x3
= 1
⎪
⎪2x1
+ 3x2 − 3x3 = 4
⎨
⎪
− x1 − x3
= 2
⎩
⎪ x1 − x2 − 2x3 = 2
Løsning:
Totalmatricen er
⎡ 2 2 −1
1⎤
⎢
−
T = ⎢
2 3 3 4
⎥
⎥
⎢−
1 0 −1
2⎥
⎢
⎥
⎣ 1 −1 − 2 2⎦
rref(T) =
⎡1
⎢
⎢
0
⎢0
⎢
⎣0
0
1
0
0
0
0
1
0
0⎤
0
⎥
⎥
0⎥
⎥
1⎦
Da rang(K) = 3 < rang(T) = 4 har ligningssystemet ingen løsning.
(nederste ligning giver 0⋅ x = 1 )
7. Determinant
3
Til enhver kvadratisk n × n matrix A hører et tal kaldet determinanten for A.
Determinanten skrives kort det(A) eller A
Vi kender allerede for en 2 × 2 matrix determinanten, idet
a a
11 12
a a
21 22
= a ⋅a − a ⋅a
11 22 21 12
Vi kender også dens geometriske betydning, idet determinanten numeriske værdi er arealet af det
r a11
parallelogram der udspændes af de to rækkevektorer a1
= og
a12
⎛ ⎞ r a21
⎜ ⎟ a2
=
⎝ ⎠ a22
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
r r
Hvis determinanten er 0, vil de to vektorer være parallelle, dvs. a1 = k ⋅a
2 .
Det er overkommeligt på tilsvarende måde at udregne determinanten for en 3 × 3 determinant,
hvis numeriske værdi er rumfanget af det parallelepipedum, der udspændes af de tre
rækkevektorer.
Er determinanten 0 vil rumfanget være 0, dvs. vektorerne ligger i samme plan, hvilket igen vil
r r r
sige, at den ene vektor kan udtrykkes ved de to andre a1 = k1a 2 + k2 a3
Man siger, at de 3 vektorer er lineært afhængige.
Generelt gælder, at hvis determinanten 0 er søjlevektorerne (og rækkevektorerne) lineært
afhængige.
14

7. Determinant
Beregningen af en determinant for en vilkårlig kvadratisk matrix kan principielt udføres på
nedenfor beskrevne måde,(se eventuelt “Matematik for Ingeniører “bind 3, kapitel 18 for nærmere
begrundelser), men er antal rækker stort, bliver regningerne så tidskrævende, at man må bruge et
program .
Værdien af en determinant.
Værdien beregnes efter følgende forskrift:
1) Man udvælger en bestemt række r eller en bestemt søjle s
2) For hvert element ars i den valgte række eller søjle dannes et produkt af følgende 3 faktorer
a) Elementet ars selv.
b) Elementets “underdeterminant” Drs , dvs. den determinant der fremkommer ved at slette både den række og
søjle, hvori elementet indgår.
r + s
c) Tallet ( −1)
3) det(A)
r+
1
r + 2
r + 1
( −1) ⋅ ar1 ⋅ Dr1 + ( −1) ⋅ ar2 ⋅ Dr2 + ... + ( −1) ⋅ arn ⋅ Drn
4) De fremkomne underdeterminanter opløses på tilsvarende måde, og sådan fortsættes til man når ned på 2 × 2
determinanter ,som kan udregnes direkte.
Eksempel 7.1 Beregning af determinant “ved håndregning”
0 3 − 4 − 1
Beregn ved håndregning determinanten D =
3 − 2 − 4 − 2
1 0 − 2 0
− 1 3 0 − 3
Løsning:
Man finder en række eller søjle med mange 0-er. Her vælges 3 række.
3 − 4 − 1
0 3 − 1
3+ 1
Vi har D = ( −1) ⋅1 ⋅ − 2 − 4
3+ 3
− 2 + 0 + ( −1) ⋅ ( −2) ⋅ 3 − 2 − 2 + 0
3 0 − 3
− 1 3 − 3
De 2 underdeterminanter efter henholdsvis 3 række og 1 række (fordi der er et 0 i disse rækker).
3+ 1 − 4
D = ( −1) ⋅ 3⋅
− 4
− 1 3+ 3 3
+ 0 + ( −1) ⋅ ( −3) ⋅
− 2
− 2
− 4 ⎛
+ ( − ) ⋅ ⎜
1+ 2 3
2 + ( − ) ⋅ ⋅
− ⎜0
1 3
4 ⎝
− 1
− 2 1+ 3 3
+ 0 + ( −1) ⋅ ( −1) ⋅
− 3
− 1
− 2 ⎞
⎟
3 ⎟
⎠
Vi kan nu udregne de 4 determinanter
3⋅ ( 8 − 4) − 3⋅ ( −12 − 8) − 2 ⋅ ( − 3) ⋅ ( −9 − 2) − ( 9 − 2) = 12 + 60 − 2 ⋅ ( 33 − 7) = 20
D = ( )
Eksempel 7.2. Beregning af determinant med TI89 og Mathcad.
0 3 − 4 − 1
Beregn determinanten D =
3 − 2 − 4 − 2
1 0 − 2 0
− 1 3 0 − 3
Løsning:
Matricen indtastes. Lad matricens navn være B.
TI89: MATH, 4:MATRIX, ENTER, 2: det( B, ) ENTER Resultat: 20
TI-Nspire: Skriv det(B)
Mathcad: Vælg på Matrix-paletten X Indsæt D
Det kan vises
Sætning 7.1. Invertibel matrix
A er invertibel ⇔ det( A) ≠ 0
Denne sætning er nyttig til at afgøre om en kvadratisk matrix er invertibel ( benyttes i næste
afsnit).
15

Matricer og lineære ligninger
8. Lineære ligningssystemer med parameter.
Benytter man eksempelvis Laplacetransformation til løsning af et differentialligningssystem,
fremkommer et lineært ligningssystem, hvor koefficienterne sædvanligvis vil indeholde
parameteren s, altså ikke alle være reelle tal.
Ligningssystemer som indeholder én eller flere parametre vil ofte give anledning til, at der for
visse værdier af parametrene vil være specielle løsninger, f.eks. at der ingen løsninger er, eller der
er uendelig mange. Regner men “i hånden” skal man derfor i forbindelse med reduktion til en
echelon-matrix være opmærksom på, om man for visse værdier af parameteren dividerer med 0,
da det så giver anledning til en undtagelse.
Benyttes et program, og er der lige mange ligninger og ubekendte, vil det sikreste være først at
finde de værdier af parametrene, hvor determinanten af koefficientmatrix K er nul, da det viser,
hvor ligningssystemet er singulært (ikke regulært).
Hvis man kun anvender rref-echelon-metoden, kan man risikere at overse en værdi af parameteren
a, der gør K singulær.
Eksempelvis vil echelon-metoden reducere ( a −1) ⋅ x4 = 5( a −1) ⇒ x4
= 5 og derved vil man
overse, at a = 1 gør K singulær.
Dette illustreres i eksempel 8.2
Eksempel 8.1 Ligningssystem med parameter
Find for enhver værdi af parameteren a løsningen til ligningssystemet
⎧ x1 + 2x 2 + ax3
= 1
⎪
⎨−
x1 + ax3
= −2
⎪
⎩2x1
+ 6x2 + 4x3 = 3
Løsning:
Da koefficientmatrix er kvadratisk, beregnes først determinanten for koefficientmatrix, for at finde
de værdier af parameteren a for hvilke ligningssystemet er “singulært”.
⎡ 1 2 a⎤
⎢
Koefficientmatrix K = −1
0 a
⎥
⎢ ⎥
indtastes på sædvanlig måde.
⎣⎢
2 6 4⎦⎥
Determinanten af K beregnes (som i eksempel 7.2):
Resultat: K = −8( a −1)
.
Heraf ses, at K = 0 ⇔ a = 1 .
Vi må derfor dele op i 2 tilfælde a ≠ 1 og a = 1.
Højre side B af ligningssystemet indtastes på sædvanlig måde.
Totalmatricen kan nu fås ved ordren augment (K,B)
16

TI 89:
rref(augment(K,B) ) augment findes under MATH, Matrix
Resultat:
x
⎡
1 ⎤
⎢1
0 0 3/ 2 −
⎢
2( a −1)
⎥
⎥
⎢
1
0 1 0
⎥
⎢
2( a −1)
⎥
⎢
−1
⎥
⎢0
0 1
⎥
⎣⎢
2( a −1)
⎦⎥
3 1
= −
2 2( a −1)
,
x
1
=
2( a −1)
,
1 2 3
x
−1
=
2( 1−
a)
8. Lineære ligningssystemer med parameter
for a ≠ 1
Sættes a = 1 ind i totalmatricen (augmenr(K,B), fås analogt echelon-matricen
⎡1
⎢
⎢
0
⎣⎢
0
0
1
0
−1
1
0
0⎤
0
⎥
⎥
1⎦⎥
Af nederste ligning 0⋅ x = 1 ses, at ligningssystemet ingen løsning har.
3
TI-Nspire
Skriv rref(augment(k,b) resultat som ovenfor
Mathcad:
rref af en matrix, der indeholder en parameter kan jeg ikke få til at virke.
Derfor må vi benytte
X:=K -1 ⋅ B, hvilket giver ovennævnte løsning, dog skrevet noget mere kompliceret.
Vi kan nu sætte a= 1 ind i K og benytte rref(augment(K,B))
(augment kan findes i værktøjslinien at vælge f(x) og i den fremkomne menu vælge “Vector and
Matrix” og derefter “augment” )
At det virkeligt er nødvendigt først at se på diskriminanten ses af følgende eksempel.
Eksempel 8.2 Ligningssystem med parameter
Til beregning af 4 størrelser x1, x2 , x3
og x4 er opstillet følgende ligningssystem:
⎧ − x1 − x2 + ( a − 3) ⋅ x3 + ( a + 1) ⋅ x4
= 3
⎪ 2⋅ x1 + x2 + ( 2a −1) ⋅ x3 = a
⎨
⎪(
a −1) ⋅ x1 + a ⋅ x2 + ( 2a − 3) ⋅ x4 = −a −1
⎩
⎪3⋅
x1 + 2x2 + ( a + 2) ⋅ x3 − x4 = a − 2
Løs ligningssystemet for alle værdier af a.
Løsning:
⎛ −1 ⎜
Først beregnes determinanten til koefficientmatrix K =
⎜ 2
⎜a
−1 ⎜
⎝ 3
−1 1
a
2
a − 3
2a −1
0
a + 2
a + 1 ⎞
⎟
0 ⎟
2a − 3⎟
⎟
−1
⎠
Koefficientmatrix K og højre side B indtastes på sædvanlig måde.
Man får det(K) = a ⋅( a − 2) ⋅ ( a + 2)
Heraf ses, at K er singulær for a = 0, a= 2 og a = -2.
17

Matricer og lineære ligninger
TI 89+TI-Nspire: Vi får nu totalmatricen T ved T:=augment(K,B)
Vi får for a ≠ 0 ∧ a ≠ 2 ∧ a ≠ −2
13a + 6
− 10( 2a + 1)
2( a + 1)
x = + a − 4,
x = − ( a + 4) + 8,
x = x
a( a + 2)
a( a + 2)
a( a + 2)
,
1 2 3 4
Som det ses ville vi her ikke opdage, at der er en singularitet for a = 2.
−1
Mathcad: Her skrives X:= K ⋅ B og man finder i princippet ovennævnte løsning, men dog reduceret lidt
anderledes
Vi indsætter nu a= 0 analogt som i eksempel 8.1 og finder :Ingen løsninger
Derefter indsættes a = - 2 og man finder igen Ingen løsninger
1
7
Endelig indsættes a=2 og man finder uendelig mange løsninger x = , x = t, x = − 5+ t, x = − 2t
4
1
=
a
2 3 2 1
9. Cramers sætning (determinantmetoden).
I kapitel 4 løste vi et ligningssystem med lige mange ligninger og ubekendte hvor
koefficientmatrix var invertibel.
Dette er den hurtigste metode, hvis man ønsker at finde alle de ubekendte. Hvis man kun ønsker
at finde en enkelt variabels værdi f.eks. kan denne determinantmetode (Cramers metode) dog
x 5
være velegnet. Endvidere har den stor teoretisk interesse.
Cramers sætning.
Lad der være givet et ligningssystem A X = B, hvis det( A) ≠ 0 .
Den ubekendte xk findes som forholdet mellem 2 determinanter. Nævneren er determinanten af
A og tælleren er determinanten af den matrix, som er A bortset fra, at den k’te søjle er erstattet
af ligningssystemets højre side.
Det følgende eksempel illustrerer metoden.
Eksempel 9.1. Determinantmetoden eller Cramers metode.
Find x2 af ligningssystemet
⎧ 2x1 + 2x 2 − x3 + x4
= 1
⎪ 2x1 + 3x2 − 3x3 = 4
⎨
⎪
− x1 − x3 + x4
= 2
⎩
⎪ x1 + 2x 2 + 3x4 = −1
Løsning:
2 1 − 1 1
x 2
=
2 4 − 3 0
− 1 2 − 1 1
1 − 1 0 3
2 2 − 1 1
2 3 − 3 0
− 1 0 − 1 1
1 2 0 3
De to matricer svarende til tæller og nævner indtastes benævnes A og B.
Man beregner nu det(A)/det(B) Resultat = −1
x 2
18
2

11. Usikkerhedsberegning
10. Overbestemt ligningssystem
I de foregående afsnit har vi antaget, at ligningssystemets konstanter er eksakte tal. I tekniske
anvendelser er tallene ofte behæftet med måleusikkerhed og lignende, og så vil løsningen
naturligvis heller ikke blive eksakt. For at mindske fejlen, benytter man ofte ekstra ligninger, som
vist i følgende eksempel (og løser dem ved “mindste kvadraters metode”).
Eksempel 10.1. Overbestemt ligningssystem.
På et laboratorium analyseres en blanding af tre organiske stoffer kvantitativt ved måling af et
ultraviolet spektrum. Heraf fås følgende ligningssystem for koncentrationerne c c og .
1, 2 c3 ⎧100
. c1 + 100 . c2 + 4. 00c3 = 6. 00
⎪
⎨100
. c1 + 300 . c2 + 100 . c3
= 8. 00
⎪
⎩100
. c1 + 100 . c2 + 0. 00c3 = 4. 00
(for overblikkets skyld er her valgt nemme tal).
Ligningssystemet har netop én løsning, men da konstanterne er behæftet med uundgåelige småfejl
(målefejl m.m.) , ønsker man at forbedre nøjagtigheden af løsningen ved at foretage nogle ekstra
målinger.
Lad os for simpelheds skyld antage, at der kun forekommer yderligere én ligning:
100 . c1 + 300 . c2 + 300 . c3
= 10. 00 .
Den sidste ligning burde være en linearkombination af de tre første, men på grund af målefejlene
er dette sjældent tilfældet, så det samlede ligningssystem har normalt ingen eksakt løsning.
Opgaven er nu at finde et talsæt ( c , c , c ) , som tilfredsstiller ligningssystemet “bedst muligt”,
1 2 3
dvs. således at residualerne (resterne) r1 , r2 , r3
og r4 givet ved
⎧r1
= 100 . c1 + 100 . c2 + 4. 00c3 − 6. 00
⎪
⎪r2
= 100 . c1 + 300 . c2 + 100 . c3
− 8. 00
⎨
(1)
⎪
r3 = 100 . c1 + 100 . c2 + 0. 00c3 − 4. 00
⎩
⎪r4
= 100 . c1 + 300 . c2 + 300 . c3
− 10. 00
bliver “mindst mulige”. Ved “mindste kvadraters metode” skal talsættet vælges således, at
( 2 3 4 )
1 2 2 2 2
RMS-fejlen r + r + r + r bliver mindst mulig (RMS = root mean square error ).
4 1
Bemærk, at RMS vedrører fejl på ligningerne og ikke fejl på løsningen ( c1, c2 , c3
) .
ADVARSEL: Det oprindelige ligningssystem må ikke ændres ved at man f.eks. multiplicerer
en ligning med 10, da det jo ganger residualet med 10 (ligningen indgår med en anden “vægt”)
SÆTNING 10.1 (løsning til overbestemt ligningssystem ). For et overbestemt ligningssystem
A ⋅ X = B vil den “løsning”, som giver mindst mulig RMS-fejl på ligningssystemet , være en
T
eksakt løsning til det såkaldte normalligningssystem A AX =
T
A B , dvs.
T
X = ( A
−1
T
⋅ A) ⋅( A ⋅ B)
Sætningen anføres uden bevis (se eventuelt Matematik for ingeniører bind 3 side 85- 87)
19

Matricer og lineære ligninger
T
I sætningen indgår A ⋅ A .
⎡1
1 4⎤
⎢
1 3 1
⎥
Er A eksempelvis ⎢ ⎥ fås
⎢1
1 0⎥
⎢ ⎥
⎣1
3 3⎦
T
A ⋅ A =
⎡1
1 4⎤
⎡1
1 1 1⎤
⎢ ⎥ ⎡4
8 8 ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⋅ ⎢
1 3 1
1 3 1 3 ⎥ =
⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢
8 20 16
1 1 0
⎥
⎣⎢
4 1 0 3⎦⎥
⎢ ⎥ ⎣⎢
8 16 26⎦⎥
⎣1
3 3⎦
T
Det ses, hvad gælder generelt, at matricen A ⋅ A er kvadratisk og symmetrisk (om diagonalen).
Beregning af A : Se afsnit 4.
T
Formlerne, der skal anvendes ved benyttelse af regnemidler er:
Koefficienter ( )
T
−1
T
C = A A ⋅ ( A B)
Residualer:D = A* C - B
T
det( D * D)
RMS: RMS =
hvor n er antal rækker i B
n
Eksempel 10.2. Overbestemt ligningssystem (fortsættelse af eksempel 10.1).
1) Find den “løsning” til ligningssystemet
⎧100
. c1 + 100 . c2 + 4. 00c3 = 6. 00
⎪
⎪100
. c1 + 300 . c2 + 100 . c3
= 8. 00
⎨
⎪
100 . c1 + 100 . c2 + 0. 00c3 = 4. 00
⎩
⎪100
. c1 + 300 . c2 + 300 . c3
= 10. 00
som giver mindst mulig RMS-fejl.
2) Find endvidere residualerne og RMS-fejlen.
Løsning:
1)
( )
T
−1
T
X = A A ⋅ ( A B)
Koefficientmatrix A og højre side B indtastes.
( )
T
−1
T
TI89 A A ⋅(
A B)
STO → C
TI-Nspire:
( )
−1
( )
T
−1
T
C: = A A ⋅(
A B)
T T
Mathcad: C = A A ⋅(
A B)
Resultat:
⎡9
/ 5⎤
⎢
2
⎥
som er blevet gemt i matricen C.
⎢ ⎥
⎣⎢
3 / 5⎦⎥
Heraf fås c = 18 . , c = 2, c = 0. 6
1 2 3
20

11. Usikkerhedsberegning
2) Ved håndkraft beregnes resudialerne ved indsætning i de oprindelige ligninger:
r1 = 1⋅ 18 . + 1⋅ 2 + 4 ⋅ 0. 6 − 6 = 0. 20
r2 = 1⋅ 18 . + 3⋅ 2 + 1⋅ 0. 6 − 8 = 0. 40
r3 = 1⋅ 18 . + 1⋅ 2 + 0 ⋅ 0. 6 − 4 = − 0. 20
r4 = 1⋅ 18 . + 3⋅ 2 + 3⋅ 0. 6 − 10 = − 0. 40
2 2 2 2
0. 20 + 0. 40 + 0. 20 + 0. 40
RMS =
4
Benyttes regnemidler anvendes formlerne
Residualer:D = A* C - B
T
= 0. 3162 ≈ 0. 32
RMS: RMS =
det( D * D)
n
hvor n =4 er antal rækker i B
TI89: A*C-B STO → D
RMS: (ABS(, Math,Matrix, det(D,Math,Matrix,T*D)/4)
TI-Nspire D:=A*C-B
RMS:Under matematikskabeloner findes , numerisk tegn * *
Mathcad D: A*C_B
RMS: Uunder skabelonerne “Calculos” og “Matrix” findes de nødvendige tegn
Eksempel 10.3 Regressionsmodel
Ved et fysisk forsøg har man målt følgende sammenhørende værdier af x og y.
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y 5.1 3.4 2.9 2.7 2.6 2.5 2.4 2.3 2.2
Punkterne tegnes ind i et koordinatsystem
Der fås følgende figur:
Punkterne ligger næppe på en ret linie, men snarere på en hyperbel.
b
Man vælger derfor modellen y = a +
(1).
x
Bestem ved mindste kvadraters metode konstanterne a og b.
21

Matricer og lineære ligninger
Løsning:
Indsættes punkterne i ligning (1) fås følgende 9 ligninger.
⎧ b
⎪
a + = 51 .
1
⎪
⎪ b
a + = 34 .
⎪ 2
⎪
b
⎪a
+ = 2. 9
⎪ 3
⎪ b
⎪a
+ = 2. 7
⎪ 4
⎪ b
⎨a
+ = 2. 6
⎪ 5
⎪ b
⎪
a + = 2. 5
6
⎪
⎪ b
a + = 2. 4
⎪ 7
⎪ b
⎪a
+ = 2. 3
⎪ 8
⎪ b
⎪a
+ = 2. 2
⎩ 9
Koefficientmatrix A og højre side B indtastes, og man bestemmer a og b af det overbestemte
T
−1
T
ligningssystem: X = ( A A) ⋅ ( A B)
⎡190989
. ⎤
Vi får: ⎢ dvs. kurven bliver
⎣314989
.
⎥
y = 191 +
⎦
x
315 .
.
Grafen tegnes i TI89 , TI-Ninspire eller Mathcad , sammen med punkterne
Nedenfor er kurven indtegnet i Mathcad,, og man ser, at punkterne ligger “tilfældigt” og tæt
omkring kurven.
At punkterne ligger tæt og tilfældigt omkring kurven kan også indses ved at beregne residualerne,
og eventuelt RMS-fejlen.
Ti 89 og TI-Nspire har et udmærket statistikprogram, hvor man bl.a. kan udføre regressionsanalyse
på forskellige modeller.
22

11. Usikkerhedsberegning
11. Usikkerhedsberegning
Ved enhver måling kan den fysiske størrelse aldrig måles eksakt. Målingen behæftes altid med en
vis usikkerhed. Det kan skyldes usikkerhed på objektet, måleinstrumentet, brugeren af
instrumentet osv.
Systematiske fejl er fejl, hvor man eksempelvis har glemt at korrigere for temperaturens
indflydelse på måling af et stofs hårhed.
Er målingen befriet for systematiske fejl, er der kun tilbage “tilfældige fejl”.
Eksempelvis vil der ofte på et instrument være anført en “instrumentusikkerhed”, som viser hvor
nøjagtigt instrumentet kan måle.
En sådan usikkerhed kan eksempelvis findes ved at man foretager en måling flere gange eventuelt
af forskellige personer.
11.1 Maksimal” usikkerhed
Den maksimale usikkerhed ∆x er så defineret som den numerisk største afvigelse mellem en målt
værdi og gennemsnittet.
Er eksempelvis en temperatur angivet som 30.45 0
± 0.05 menes hermed, at i værst tænkelige
tilfælde kunne målingen være 30.40 0 eller 30.50 0 .
Eksempel 11.1. Maksimal usikkerhed
Lad x = 153 ± 1m og y = 25 ± 2 m
Den maksimale usikkerhed på x - y er da 3m , dvs. x-y = 128 ± 3 m
Den maksimale usikkerhed kan man sædvanligvis let beregne i den konkrete situstion, men for
forståelsens skyld vil vi her udlede en formel, der i visse vanskelige tilfælde kan lette beregningen.
Lad os først se på det lineære tilfælde, at y = ax+b, hvor a > 0
Har x den maksimale usikkerhed ∆x, så er y +∆y = a(x+∆x) + b]y +∆y=ax+b + aA∆x
Ved at trække de to ligninger fra hinanden fås, at ∆y=aA∆x
Da vi ønsker, at ∆y > 0, så haves ∆y=*a*A∆x, hvor a er liniens hældningskoefficient.
x
Hvis der nu er tale om et mere kompliceret som eksempelvis y = x , så er det jo ikke helt
x + −
60
2
2
simpelt at finde den maksimale usikkerhed på y. Hvis x = x0 + ∆x så vokser både tæller og nævner,
og hvad bliver så den maksimale usikkerhed på y.
Man gør nu det, at man erstatter kurven med sin tangent i punktet (x0 ,y0). Da tangenten jo ligger
tæt ved kurven når vi ser på x-værdier tæt ved x0 , så vil fejlen herved være lille, hvis ∆x er lille.
dy
Da tangentens hældning er differentialkvotienten i x0, så gælder ∆y = ⋅ ∆x.
dx
23

Matricer og lineære ligninger
Eksempel 11.2 Maksimal usikkerhed
x
Lad y = x , og lad x=2 ± ∆x
x + −
60
2
2
Find y=y 0 ± ∆y
Løsning:
dy
Vi finder differentialkvotienten i punktet x = 2.
dx
Ti89: “differentialet d” står over 8-tallet :
d(60@x/(x+2)-2@x,x)*x=2 Resultat 5.5
den lodrette streg står til venstre i fjerde række for neden og kan læses “forudsat at”
TI-Nspire: Beregninger, differential og integralregning, differentialkvotient i et punkt,
Udfyld menu med y og x, ENTER, skriv udtryk ind, ENTER
Mathcad:
Skriv x := 2
d
Nedenunder vælg fra menu “Calculus” Enter og udfyld parantes med funktionen
dx
Vi har nu ∆y = 5.5 @∆x
60 ⋅ 2
y0 = 2 2 11 dvs y = 11 ±5.75 @∆x
2 + 2
− ⋅ =
Nu vil udtryk i praksis sjældent var funktioner af kun 1 variabel
Eksempel 11.3. To variable.
Insektpulver sælges i papkartoner. Lad x være vægten af pulveret, mens y er vægten af
papkartonen. I middel fyldes der 500 gram insektpulver i hver karton med en maksimal usikkerhed
på 5 gram. Kartonen vejer i middel 10 gram med en maksimal usikkerhed på 1.0 gram.
z = x + y er da bruttovægten.
Find den maksimale usikkerhed på z.
Løsning:
Det ses umiddelbart, at den maksimale usikerhed på z er ∆z= ∆x + ∆y.
Vi ser vi nu på det lineære tilfælde: z = ax+by+c, hvor a > 0 og b > 0
På samme måde som ved 1 variabel kan vi se, at ∆z = a@∆x + b@∆y
Da vi ønsker, at ∆z > 0, så haves mere generelt, at ∆z=*a*A∆x +*b*A∆y
Hvis man for funktionen z = f ( x, y)
holder y konstant på værdien y0 , så vil f ( x, y0
) være en
funktion af én variabel x.
Er denne funktion differentiabel, så kan man på sædvanlig måde finde dens aflede funktion. Denne
∂ f
kaldes f’s partielle afledede med hensyn til x og skrives ( x, y0
) eller f x ( x, y0
) .
∂ x
∂ f
Tilsvarende defineres f’s partielle afledede med hensyn til y .
∂ y
∂ f
d f
Tegnet ∂ læses "blødt d" og markerer, at funktionen har flere variable. Dette indebærer nemlig, at (i modsætning til )
∂ x
d x
ikke uden videre kan opfattes som en brøk i beregninger.
24

Fig. 11.1. Tangentplan i
( x , y )
0 0
11. Usikkerhedsberegning
∂ z ∂ z
Det ses umiddelbart, at for den lineære funktion z = ax+by+c da er = a og = b , dvs vi
∂ x ∂ y
har, at
∂ z ∂ z
∆z = ∆x + ∆y
∂ x ∂ y
Lad f(x,y) være en differentiabel funktion af 2 variable.
Grafen z = f(x,y) for en sådan funktion er i et rumligt x,y,z-koordinatsystem en flade.
Lad z = f ( x , y ) .(se figur 11.1)
0 0 0
Lad k1 være skæringskurven mellem planen
y = y0
og grafen for og T x være tangenten
til k1 med røringspunkt i ( x , y ) .
0 0
Tilsvarende er er skæringskurven mellem
k 2
planen x = x0
og grafen for f og Ty er
tangenten til k2 .
Den plan, som er bestemt ved tangenterne Tx og Ty kaldes tangentplanen for grafen for f i
punktet ( x , y ) .
0 0
En sådan tangentplan følger fladen tæt i en lille omegn af punktet ( x0 , y0
) .
Vi kan derfor tillade os, at beregne den maksimale fejl af formlen
∂f
∂f
∆z ≈ ( x0 , y0 ) ∆x + ( x0 , y0 ) ∆y
forudsat fejlene ∆ x og ∆ y er små
∂x
∂y
∂ f ∂ f
Koefficienterne og kaldes så f ‘s følsomhed overfor fejl på henholdsvis x og y.
∂ x ∂ y
Ved den relative fejl forstås
∆ z
z 0
25

Matricer og lineære ligninger
Eksempel 11.4. Fejlvurdering.
Et cylindrisk hul med radius r og højde h bores i en metalblok.
Man ved, at r = 3 ± 0.1 cm og h = 20 ± 0.2 cm
2
1) Find den maksimale absolutte fejl på hullets volumen V = π ⋅ r ⋅ h
2) Find den maksimale relative fejl på V
3) Har V størst følsomhed overfor r eller overfor h?
Løsning.
1) Håndregning:
∂ V
∂ V
= 2 ⋅π ⋅ r ⋅ h og dermed for r = 3 og h = 20 , er = 120 ⋅ π = 376 99
∂ r
∂ r .
∂ V
= π ⋅ r og dermed for r = 3 og h = 20 , er
∂ h
2 ∂ V
= 9 ⋅ π = 28 27
∂ h .
Den maksimale absolutte fejl på hullets volumen V:
∆V = 28. 27∆h + 376. 99∆r
Indsættes ∆h = 0.2 og ∆r = 0,1 fås ∆V = 43.4
2) V = 565.487.
dV
Den maksimale relative fejl er = 7 7%
V .
3) V har størst følsomhed over for fejl på r, da dV
dV
= 376. 99 > = 28. 27
dr
dh
TI89: πAr^2Ah STO v STO står i 2 række for neden,
1) d(v,r)*r=3 and h=20 “differentialet d” står over 8-tallet :
den lodrette streg står til venstre i fjerde række for neden og kan læses “forudsat at”
and står i “Catalog” Resultat 120 π
d(v,h)*r=3 and h=20 Resultat 9 π
120A πA0.1+9A πA0.2 Resultat 43.35
2) v| r=3 and h=20
43.35/(180 π) = 0.766 =7.7%
Resultat 180 π
TI-Nspire: v:=πAr^2Ah
d
Vælg differentialkvotient og skriv r=3 and h = 20
dr v ( )|
Derefter som under TI89
Mathcad: v:=πAr^2Ah Skriv kun : så kommer :=
skriv r := 3 h:=20
d
nedenunder
dr
Regningerne foregår nu som ovenfor.
v ( ) →
d
dr v ( ) →
Formlen er ikke mere kompliceret end man kan regne den maksimale fejl direkte
2 2
∆V = π ⋅31 . ⋅20. 2 − π ⋅3 ⋅ 20 = 44. 37 ≈ 44. 4
26

11. Usikkerhedsberegning
11.2:Statistisk usikkerhed
Ved den statistiske usikkerhed regner man populært sagt med at fejlene til en vis grad ophæver
hinanden.
Betragter vi således igen eksempel 11.1 hvor vi fyldte insektpulver i kartonner
Vægten x af pulveret var 500 g ± 5 g og vægten y af kartonet var 10 g ± 1 g.
Bruttovægten z = x +y
Det er rimeligt at antage, at vægten af pulveret og vægten af papkartonen er uafhængige
(påfyldningen kan tænkes at ske maskinelt, uden at den er afhængig på nogen måde af hvilken
vægt, kartonen tilfældigvis har).
Det må derfor ofte forekomme, at eksempelvis vægten er over 500 g mens det tilsvarende karton
har en vægt under 10 g, så bruttovægten ligger tæt ved de 510.
Man vil derfor sædvanligvis give z en mindre usikkerhed end den maksimale usikkerhed på 6 g.
Denne usikkerhed benævned statistisk usikkerhed og skrives her kort σ(z) (sigma) .
Hvis z = a@x + b@y +c hvor x og y er statistisk uafhængige størrelser. så kan man vise, at der gælder
“ophobningsloven”
2 2 2 2
σ( z) = a ( σ( x)) + b ( σ(
y))
2 2 2 2
Anvendes loven på bruttovægten z = x + y fås σ( z ) = 1 ⋅ 5 + 1 ⋅ 1 = 26 = 51 .
Vi vil derfor nu sige, at bruttovægten er z = 510 ± 5.1
Ved mere komplocerede udtryk, vil vi ligesom i afsnit 10.1 erstatte fladen med sin tangentplan
Lad z = f(x,y) være en differentiabel funktion af 2 variable.
Da ved vi, at vi kan erstatte a og b i ophobningsloven med de partielle afledede, så vi får
2
∂ f
∂ f
σ(
z)
= ( x , y ) ( σ(
x))
( x , y ) ( σ(
y))
∂x
∂x
⎛ ⎞
⎜ ⎟ +
⎝ ⎠
⎛ 2
⎞
0 0
⎜ 0 0 ⎟
⎝ ⎠
Eksempel 11.6. = eksempel 11.4
Et cylindrisk hul med radius r og højde h bores i en metalblok.
Man ved, at r = 3 ± 0.1 cm og h = 20 ± 0.2 cm
2
1) Find den statistiske usikkerhed på hullets volumen V = π ⋅ r ⋅ h
2) Find den relative fejl på V
3) Har V størst følsomhed overfor r eller overfor h?
Løsning
∂ V
1) Fra eksempel 11.4 haves = 120 ⋅ π = 376 99 og
∂ r .
Af ophobningsloven følger så, at usikkerheden på V er
( ) ( )
2 2 2 2
σ( V ) = 376, 99 ( 01 . ) + 28. 27 ( 0. 2) = 3812 .
2) V = 565.487.
Den relative fejl er
σ( V ) 3812 .
= = 0. 0674 = 6. 7%
V 565. 485
3) V har størst følsomhed over for fejl på r, da dV
dr
Ophobningsloven kan udvides til funktioner af mange variable.
Til illustration af det vil vi se på følgende eksempel.
2
2
27
dV
= 376. 99 > = 28. 27
dh
∂ V
= 9 ⋅ π = 28 27
∂ h .

Matricer og lineære ligninger
Eksempel 11.7 Usikkerhed på sammensat udtryk
Måles trykket P, volumenet V og temperaturen T af en ideal gas , optræder der tilfældige
målefejl, som gør værdierne usikre. Beregnes molantallet n nu af ligningen
P ⋅V
P ⋅ V = n⋅ R ⋅T ⇔ n = , bliver værdien af n derfor også usikker. Vi ønsker at kunne
R ⋅T
beregne usikkerheden på n ud fra usikkerhederne på P, V og T.
−1 −1
Gaskomstant R = 8. 314 J⋅ K ⋅ mol .
P = 123400 Pa , V = 567 . m ,
3
T = 678 K
med usikkerheder σ ( P ) = 1000 Pa , σ ( V ) = 0. 06 m og .
3
σ ( T ) = 3 K
Det kan antages, at måleresultaterne for P, V og T er statistisk uafhængige.
a) Find molantallet n,
b) Usikkerheden σ ( n)
c) Den relative usikkerhed rel( n)
.
Løsning
Håndregning:
P ⋅V
123400 ⋅ 567 .
a) n = =
= 12412 . mol
R ⋅ T 8. 314 ⋅ 678
b) ∂n
V
=
∂P
R ⋅ T
=
567 .
∂n
P 123400
= 0. 001006 = = = 218915 .
8. 314⋅ 678
∂V
R ⋅T
8. 314 ⋅678
∂n
P V
=
∂T
R T
− ⋅
=
⋅
− ⋅ 123400 567 .
= 0183075 .
2 2
8. 314 ⋅678
2
∂n
∂n
∂n
σ ( n)
= σ ( P)
σ ( V ) σ ( T)
∂P
∂V
∂T
⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⋅ +
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⋅ +
⎝ ⎠
⎛
2
2 ⎞ 2
⎜ ⎟ ⋅
⎝ ⎠
2
2 2 2 2 2 2
= 0. 001006 ⋅ 1000 + 218915 . ⋅ 0. 06 + 0183075 . ⋅ 3 = 174 . mol
2
σ ( n)
174318 .
c) Den relative usikkerhed rel( n)
= = = 0. 0140443 ≈ 140% . .
n 12412 .
Hvorledes man finder partielle afledede i de forskellige regnemidler ses i eksempel 11.4, så her
kun for
TI 89
p*v/(8.314*t) STO n
a) n v=5.67 and p=123400 and t=678 Resultat n = 124.12
b) d(n,p) v=5.67 and p=123400 and t=678 STO a
d(n,v) v=5.67 and p=123400 and t=678 STO b
d(n,t) v=5.67 and p=123400 and t=678 STO c
((a*1000)^2+(b*0.06)^2+(c*3)^2) Resultat σ( n ) = 17432 .
c) rel(n) =1.7432/124.12 = 0.0140 = 1.4%
28
,

OPGAVER
Opgave 1
Idet A = og , skal man undersøge om følgende relationer gælder:
⎡1
2⎤
⎡1
− 1⎤
⎢ ⎥ B =
⎣1
0
⎢ ⎥
⎦ ⎣0
1⎦
2 2 2
1) ( A + B) = A + 2 AB + B .
2 2
2) A − B = ( A + B)( A − B)
.
Foretag beregningerne uden brug af lommeregner.
Opgave 2
⎡1
0 2⎤
⎡2
0 0 ⎤
Lad A = ⎢ og .
⎣0
− 1 1
⎥ B = ⎢
⎦ ⎣1
0 − 1
⎥
⎦
Beregn 2 A + 3B + 5A − 2B
, A B og uden brug af lommeregner
T
⋅ A B
T
Opgave 3
⎡2
1 3⎤
Lad A =
⎢
1 − 1 2
⎥
.
⎢ ⎥
⎣⎢
1 2 1⎦⎥
3 2
2
Udregn A − 2 A − 9 A og A − 2 A − 9E
, hvor E er en 3 x 3 enhedsmatrix.
Opgave 4
⎡1
Lad A =
⎢
⎢
2
⎣⎢
4
− 3
1
− 3
2 ⎤
−3
⎥
⎥
,
−1⎦⎥
⎡1
B =
⎢
⎢
2
⎣⎢
1
4
1
− 2
1
1
1
0⎤
⎡2
1
⎥
og C =
⎢
⎥ ⎢
3
2⎦⎥
⎣⎢
2
1
− 2
− 5
−1 −1 −1
− 2⎤
−1
⎥
⎥
0 ⎦⎥
Vis, at A ⋅ B = A ⋅ C ( trods det at B ≠ C ).
Opgave 5
Lad A = og . Find. og
⎡1
⎢
⎣3
1⎤
⎥ B =
4⎦
⎡2
⎢
⎣3
1⎤
−1
1
⎥ A ,
⎦
T
−1
( B ) ,
T −1
( AB ) ( BA )
Opgave 6
⎡1
Lad A =
⎢
⎢
0
⎣⎢
0
0
0
1
2⎤
⎡1
1
⎥
⎥
og B =
⎢
⎢
0
0⎦⎥
⎣⎢
0
1
1
0
1⎤
1
⎥
⎥
.
1⎦⎥
( )
Find 2 A + B B + 2 A AB BA A B A B A og
T −1
T T −1 −1
T
−1
, , , , , , , ( AB) −1
29
Opgaver

Matricer og lineære ligninger
Opgave 7
Find den inverse matrix til hver af de følgende matricer:
⎡1
1 1 0 ⎤
⎡ 1 0 1⎤
⎡1
2
⎢
⎤ ⎢
1) ⎢ 2) 3)
⎣2
5
⎥ − 1 1 0
⎥ 0 1 0 − 1
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎦
⎢1
1 2 1 ⎥
⎣⎢
1 0 2⎦⎥
⎢
⎥
⎣1
2 1 0 ⎦
Opgave 8
⎡0
⎢
Lad A = ⎢
2
⎢1
⎢
⎣0
3
2
0
0
0
0
2
0
0⎤
0
⎥
⎥ . Find
2⎥
⎥
1⎦
og
A −1 T
−1
( A )
Opgave 9
⎡0
⎢
Lad der være givet en invertibel matrix A = ⎢
0
⎢1
⎢
⎣0
2
0
0
1
0
1
0
0
1⎤
1
⎥
⎥ .
0⎥
⎥
0⎦
⎡1⎤
⎢
Idet B = ⎢
1
⎥
⎥ , skal man løse matrixligningen AX = B .
⎢2⎥
⎢ ⎥
⎣1⎦
Opgave 10
På et laboratorium analyseres en blanding af 4 organiske stoffer kvantitativt ved måling af et
ultraviolet-spektogram. Heraf fås følgende ligningssystem for koncentrationerne c1, ( millimol / liter ) :
⎧500
. c1 + 100 . c2 + 100 . c4
= 30. 0
⎪ 6. 00c2 + 2. 00c3 + 100 . c4
= 50. 0
⎨
⎪
100 . c1 + 100 . c2 + 500 . c3
= 330 .
⎩
⎪500
. c1 + 100 . c2 + 500 . c4
= 70. 0
c2 , c3
og c4 Find c1, c2 , c3
og c4 .
30

Opgave 11
⎧ x1 + x2 + 5x3 + 2x4 = 3
⎪
⎪−
x1 + 2x 2 + 4x3 + 2x 4 = 6
Løs ligningssystemet ⎨
⎪2x1
+ 3x2 + 3x3 + 2x4 = 4
⎩
⎪3x1
+ 3x2 + 3x3 = 2
Opgave 12.
Mellem variablene x og y gælder den teoretiske sammenhæng y A Bx Cx D x
2 3−
= + + + 2
Fra laboratoriet er der kommet følgende måledata:
x 0 1 2 3
y 2 0 4 13
Opstil 4 ligninger til bestemmelse af konstanterne A, B, C, D og find derpå A, B, C og D.
Opgave 13.
⎧ x1 + 4x 2 + 3x3 + 2x 4 = 2
⎪
⎪−
x1 − x2 − x3 − x4
= 2
Løs ligningssystemet : ⎨
⎪
x1 + 4x 2 + 6x3 + 2x 4 = 4
⎩
⎪ x1 + 4x 2 + 6x3 + 3x4 = 5
Opgave 14.
⎧ x1 − x2 − x4
= −4
⎪
⎪−
x1 + 2x2 + x3 + 3x4 = 11
Løs ligningssystemet ⎨
⎪2x1
− 3x2 − 3x4 = −13
⎩
⎪2x1
− 2x2 + x3 + 2x4 = −3
Opgave 15
Man ønsker at fremstille 10 ton af en næringsblanding bestående af 5 komponenter:
mængde (ton):
kulhydrat pr 100 g
protein pr 100 g
C-vitamin pr 100 g
komponent ønsket
blanding
skummetmælk kartofler æbler sojamel
x 1 x 2 x 3 x 4
5 20 10 25
3 3 0 36
1 10 7 0
, , x 4
10
15
15
6
Opgaver
For at kunne bestemme x1 x2 x3
og , således at den færdige blanding får det ønskede indhold
af kulhydrater, protein og C-vitamin, opstilles ligningssystemet:
mængde:
x + x + x + x = 10
kulhydrat:
protein:
1 2 3 4
5x + 20x + 10x + 25x = 150
1 2 3 4
3x + 3x + 36x = 60
1 2 4
C − vitamin:
x1 + 10x2 + 7x3 = 60
Løs ligningssystemet.
31

Matricer og lineære ligninger
Opgave 16
Løs ligningssystemet
Opgave 17.
Løs ligningssystemet
⎧ x1 + 4 x2 − x3
= −5
⎪
⎪5x1
+ 2x 2 − 3x3 = 1
⎨
⎪−
2x1 + x2 + x3
= −2
⎩
⎪−
x1 + 5x2 = −7
⎧−
x1 + 4 x2 − 3x3 + 2x4 = 3
⎪ 2x1 − x2 + 2x3 + x4
= 1
⎨
⎪−
3x1 + 2x2 − x3 + 3x4 = 4
⎩
⎪ − 7x1 + x2 − x3 + 3x4 = 4
Opgave 18
Indledningen (med petit) kan overspringes, da den ikke er nødvendig for opgavens løsning.
Indledning.
En fabrik får til opgave at fremstille et produkt, der bl.a. skal indeholde 3.2 kg af stoffet I, 3.6 kg af stoffet II og
3.3 kg af stoffet III. Råstoffernes A, B, C og D’s procentiske indhold af I, II og III fremgår af nedenstående tabel.
A B C D
I 20% 50% 30% 0 %
II 10% 40% 30% 20%
III 30% 0% 20% 50%
Forudsat at alle råstofferne kan udnyttes, ønsker man at finde de antal kg x1, x2 , x3
og x4 af henholdsvis A, B.
C og D, der skal benyttes ved fremstillingen. Specielt ønskes angivet den af de mulige løsninger, der giver det
mindste forbrug af det dyre råstof A.
⎧2x1
+ 5 x2 + 3x3 = 32
⎪
Givet ligningssystemet ⎨ x1 + 4x2 + 3x3 + 2x4 = 36
⎪
⎩3x1
+ 2x 3 + 5x4 = 33
1) Find den fuldstændige løsning til ligningssystemet.
2) Idet det antages, at x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3
≥ 0,
og x4 ≥ 0 , skal man angive den løsning til
ligningssystemet, der har den mindste værdi af x1 .
32

Opgaver
Opgave 19
En virksomhed fremstiller 4 typer produkter 1, 2, 3 og 4. Under tilblivelsesprocessen skal hvert
produkt passere igennem alle virksomhedens 3 afdelinger, men beslaglægger her kapaciteten i
forskellig grad:
afdeling 1
afdeling 2
afdeling 3
1 enhed af type 1 1 enhed af type 2 1 enhed af type 3 1 enhed af type 4
5 %
10 %
20 %
10 %
5 %
10 %
Lad x j betegne “antal producerede enheder af type j “ i en uge.
10 %
10 %
15 %
Såfremt hver afdelings kapacitet skal udnyttes fuldt ud i denne uge, må der gælde:
afdeling 1:
5x + 10x + 10x + 15x = 100
1 2 3 4
afdeling 2:
10x + 5x + 10x + 15x = 100
1 2 3 4
15 %
15 %
10 %
afdeling 3:
20x1 + 10x2 + 15x3 + 10x4 = 100
1) Vis, at ligningssystemet har en uendelighed af løsninger og angiv herunder den fuldstændige
løsning ved hjælp af en parameter t.
Hvilke værdier af t kan forekomme i virkeligheden (husk, at x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3
≥ 0,
x4 ≥ 0 )?
2) Hvad er det største antal emner af produkttype 3, som virksomheden kan fremstille pr. uge, når
der ikke må være ledig kapacitet i nogen af de 3 afdelinger ?
( Bemærk: I det matematiske fag “lineær programmering” behandles sådanne problemtyper - gerne med mange
flere variable, idet der benyttes specielle teknikker i forbindelse med edb ).
Opgave 20
Find værdien af determinanten
7 4 2 1
16 9 9 2
23 16 13 3
7 4 4 1
Opgave 21
a) Beregn determinanten
−1
2 a 1
a − 3 2 2a 0
− 4a + 7 − 2 0 0
− 2a + 6 − 6 − 3a − 2
b) Løs ligningssystemet for alle værdier af parameteren a
⎧ − x1 + 2x2 + ax3 + x4
= 2
⎪ ( a − 3) x1 + 2x2 + 2ax3 = 2
⎨
⎪(
− 4a + 7) x1 − 2x2 = −2
⎩
⎪(
− 2a + 6) x1 − 6x2 − 3ax3 − 2x4 = −6
33

Matricer og lineære ligninger
Opgave 22
a) Beregn determinanten
a 1 − 1 1+
a
0
D =
1
− 1
0
a + 1
−1
0
1
0 1 0 a
b) Løs nedenstående ligningssystem for de værdier af a, for hvilke determinanten D er 0
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
⎪
ax + x − x + ( 1+ a) x = 0
1 2 3 4
− x + ( a + 1) x
= 1
2 3
x − x + x = 2
1 3 4
x + ax = −2
2 4
Opgave 23
Der er givet ligningssystemet
⎧ax1
+ x2 + ( 2a + 3) x3
= 7
⎪
⎨2ax1
+ 4x 2 + ( 3a + 4) x3
= 12
⎪
⎩3ax1
+ 5x2 + ( 2a + 4) x3
= 13
Løs ligningssystemet for de værdier af a, for hvilke ligningssystemet har netop én løsning
Opgave 24
Benyt Cramers metode til at finde af nedenstående ligningssystem.
x 2
⎧−
x1 + 2x2 + x3 + x4
= 2
⎪
⎪−
2x1 + 2x2 + 2x3 = 4
⎨
⎪3x1
− 2x2 = −2
⎩
⎪4x1
− 6x2 − 3x3 − 2x4 = −1
Opgave 25
Benyt Cramers metode til at finde af nedenstående ligningssystem.
x 4
⎧2x1
+ x2 − x3 + x4
= 0
⎪ − x2 + 3x3 = 1
⎨
⎪ x1 − x3 + x4
= 2
⎩
⎪ x2 + 2x4 = 1
Opgave 26
De tre vinkler i en trekant ABC er målt til 0.53, 1.34, og 1.32(radianer).
⎧A
= 053 .
⎪
Find den “løsning” til det overbestemte ligningssystem ⎨B
= 134 .
⎪
⎩π
− A − B = 132 .
som giver mindst mulig RMS-fejl.
Find endvidere residualerne og RMS-fejlen
34

Opgave 27
Mellem de variable x, y, z, w gælder den teoretiske sammenhæng w = Ax + By + Cz .
Fra laboratoriet er der kommet følgende måledata:
x y z w
1 0 0 0.0
0 1 0 1.0
0 0 1 0.1
0 1 1 0.9
Opgaver
1 1 0 1.2
1) Opstil 5 ligninger til bestemmelse af konstanterne A, B, C.
2) Find derpå konstanterne A, B, C, idet RMS-fejlen på de 5 ligninger skal være mindst mulig.
3) Find endvidere residualerne og RMS-fejlen.
Opgave 28
To tryk p1 og p2 samt differencen p − p er målt med samme nøjagtighed:
⎧ p1
≈ 10
⎪
⎨ p2
≈ 5
⎪
⎩ p1 − p2
≈ 6
Find og “bedst muligt”.
p 1
p 2
1 2
Opgave 29
Der skal fremstilles 1 ton af et produkt ved at blande 3 råvarer (alle tal er i vægt % ):
protein
fedt
kulhydrat
råvare nr 1 råvare nr 2 råvare nr 3 ønsket produkt
0 %
30 %
20 %
10 %
10 %
30 %
20 %
0 %
10 %
10 %
20 %
20 %
Af råvarer bruges x1 ton af nr 1, x2 ton af nr 2 og 1− x1 − x2
ton af nr 3.
1) Opstil 3 ligninger til bestemmelse af x1 og x2 .
2) Find derpå x1 og x2 , idet RMS-fejlen på de 3 ligninger skal være mindst mulig.
3) Find til sidst residualerne og RMS-fejlen.
Opgave 30
⎧x
= 11 .
⎪
⎪x
− y = 1
Der foreligger følgende ligningssystem: ⎨
⎪
x + y + z = 31 .
⎩
⎪y
+ z = 12 .
1) Vis, at ligningssystemet ikke har nogen eksakt løsning.
2) Løs ligningssystemet “bedst muligt”, (dvs. således at RMS-fejlen bliver mindst mulig ).
35

Matricer og lineære ligninger
Opgave 31
For en bestemt proces, har man målt, at der gælder følgende overbestemte ligningssystem
⎧x
+ y = 2. 00
⎪
⎪
y + z = 4. 00
⎪
⎨x
+ z = 500 .
⎪x
− y = 0. 00
⎪
⎩⎪
x − z = −100
.
a) Løs ligningssystemet “bedst muligt”, (dvs. således at RMS-fejlen bliver mindst mulig ).
b) Find RMS-fejlen for den i spørgsmål a) fundne løsning.
Opgave 32
For en rektangulær flade har man målt længden L og bredden B :
L = 12. 3 m , B = 8. 4 m
med maksimal usikkerhed på ∆(L) = 0.1 m og ∆(B) = 0.2 m
Det kan antages, at måleresultaterne for L og B er statistisk uafhængige.
Find fladens areal A, den maksimale usikkerhed ∆(B), samt den relative usikkerhed rel( A)
.
Opgave 33
En bunke har form som en kegle med højde h og grundfladeradius r. Man måler h og r, for at
1 2
kunne beregne rumfanget V = π ⋅r
h
3
a) Angiv den maksimale fejl på V, når
r = 12 ± 0.2 m og h = 11 ± 0.1 m
b) Angiv den maksimale relative fejl på V.
Opgave 34
En mængde råmateriale til en produktion ligger i kegleformet bunke. En kegle med radius R og
højde H har volumenet V = R H .
π 2
3
Man har målt R = 12. 0 m , H = 110 . m ,
med usikkerheder σ ( R ) = 0. 2 m , σ ( H ) = 01 . m .
Det kan antages, at måleresultaterne for R og H er statistisk uafhængige.
Find volumenet V, usikkerheden σ ( V ) , samt den relative usikkerhed rel( V ).
Opgave 35
For et bassin af form som en retvinklet kasse har man målt længden L , bredden B og højden H :
L = 18. 0 m , B = 12. 3 m H = 4. 5 m
med usikkerheder σ ( L ) = 0. 2 m , σ ( B ) = 01 . m , σ ( H ) = 0. 2 m .
Det kan antages, at måleresultaterne for L, B og H er statistisk uafhængige.
Find bassinets volumen V, usikkerheden σ ( V ) , samt den relative usikkerhed rel( V ).
36

Opgave 36
En kugleformet tank har radius r. Med en pejlestok
måler man væskehøjden h for at kunne beregne
1 2
væskerumfanget V = π h ( 3r
− h)
3
a) Angiv et den maksimale fejl på V, når r = 1 ± 0.1 m
og h = 0.1 ± 0.01 m
b) Angiv den maksimale relative fejl på V.
c) Finde den statistiske usikkerhed på V
d) Find den relative statistiske usikkerhed på V.
Opgaver
Opgave 37
På den viste forsøgsopstilling kan man foretage målinger til bestemmelse af et stofs
længdeudviddelseskoefficient.
l1 er længden af stangen ved starttemeraturen t1. l2 er længden af stangen ved sluttemeraturen t2. Under forsøget er følgende størrelser bestemt.
l1 = 500 ± 0.1 mm
l2 = 500.48 ± 0.1 mm
t2 - t1 = 78 0 0.1 0 ± C
l2 − l1
Længdeudvidelseseskoefficienten k kan bestemmes af udtrykket k =
l ( t − t )
a) Find den maksimale usikkerhed på k
b) Find den relative maksimale usikkerhed på k.
c) Finde den statistiske usikkerhed på k
d) Find den relative statistiske usikkerhed på k.
37
2 2 1

Matricer og lineære ligninger
Facitliste
1 a) nej b) nej
2
⎡9
0 14⎤
⎢
⎣1
7 6
⎥
⎦
⎡2
−1⎤
⎢
⎣0
−1
⎥
⎦
⎡ 2 0 0 ⎤
⎢ ⎥
⎢
−1
0 1
⎥
⎣⎢
5 0 −1⎦⎥
3
4 -
⎡0
⎢
⎢0
⎢
⎣⎢
0
0
0
0
0⎤
⎥
0⎥
⎥
0⎦⎥
⎡−
5
⎢
⎢ 1
⎢
⎣⎢
3
5
− 1
− 3
5 ⎤
⎥
− 1⎥
⎥
− 3⎦⎥
⎡ 4
5 ⎢
⎣−
3
−1⎤
1
⎥
⎦
⎡−
1
⎢
⎣ 1
3 ⎤
− 2
⎥
⎦
⎡−13
⎢
⎣ 10
4 ⎤
− 3
⎥
⎦
⎡−
13
⎢
⎣ 4
10 ⎤
− 3
⎥
⎦
6
⎡3
⎢
⎢
0
⎣⎢
0
1
1
2
5⎤
⎥
3
⎥
1⎦⎥
⎡3
⎢
,
⎢
0
⎣⎢
0
1
1
2
5⎤
⎥
3
⎥
1⎦⎥
⎡1
⎢
,
⎢
0
⎣⎢
0
1
0
1
3⎤
⎥
1
⎥
,
1⎦⎥
⎡1
⎢
⎢
0
⎣⎢
0
1
1
1
3⎤
⎥
1
⎥
0⎦⎥
,
⎡1
⎢
⎢
1
⎣⎢
3
0
1
1
0⎤
⎥
1
⎥
,
0⎦⎥
⎡1
⎢
⎢
0
⎣⎢
0
− 2
0
1
0⎤
⎥
1
⎥
0⎦⎥
,
⎡1
⎢
⎢
0
⎣⎢
0
−1
1
0
0 ⎤
⎥
−1
⎥
1 ⎦⎥
,
⎡ 1
⎢
⎢
− 2
⎣⎢
0
0
0
1
0⎤
⎥
1
⎥
,
0⎦⎥
7
8
⎡ 2 −1 −1
0 ⎤
⎡ 2 0 −1⎤
5 − 2
⎢
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ −1
0 0 1
⎥
1)
⎢
2)
2 1 1 3)
⎣−
2 1
⎥
− ⎢
⎥
⎢ ⎥
⎦
⎢ 0 1 1 −1⎥
⎣⎢
−1
0 1 ⎦⎥
⎢
⎥
⎣−
1 −1
0 1 ⎦
⎡−
1 1 0 0 ⎤ ⎡−
1 1 1 0⎤
⎢ 3 2 ⎥ ⎢ 3 3 6 ⎥
⎢ 1 0 0 0 ⎥ ⎢ 1 0 − 1 0⎥
⎢ 3
⎥ , ⎢ 2 4 ⎥
⎢ 1 − 1 1 −1⎥
⎢ 0 0 1 0⎥
⎢ 6 4 2 ⎥ ⎢ 2 ⎥
⎣ 0 0 0 1 ⎦ ⎣ 0 0 −1
1⎦
⎡ 2 ⎤
⎢
1
⎥
9 ⎢ ⎥
⎢ 2 ⎥
⎢ ⎥
⎣−1⎦
10 (3, 5, 5, 10)
11 ( − 1 ) 4 , , 1 , 1
3 3 2
12 (-6, 0, 2, 1)
13 ( − )
38 5 2 , , ,
9
9
3 1
14 ( 1, 411 , , )
15 (3 , 5, 1, 1)
16 Ø
17 eksempelvis
9 7 7 29
( − + x , − x , − x , x )
16
16 4 9
4
⎛ 1
⎜
⎝ 3
1
3
4 4 35
16
16 4 4
18 1) eksempelvis − + x − + x 17 − 3x x4 fri (2)
11
3
5
3
4 4 4
⎞
⎟
⎠
2 52 11
, , , ( , 0,
, )
( )
19 1) eksempelvis 20 5 20 5
− + x , − + x , 20 − 4x , x , x ∈[4
; 5]
2) 4
3
3 4
3
3 4 4 4 4
20 -12
21 a) −2a( 2 − a)
b) a ≠ ∧ a ≠ (0, 1, 0 ,0)
5
5
5
⎡1
− 2 −1⎤
⎢ ⎥
⎢
0 −1
1
⎥
⎣⎢
0 1 0 ⎦⎥
0 2: 1
a = 0:: ( 0, 1, x4, 0) a = 2:: ( x4, 1−
x , x , x )
2 4 1
2 4 4
2
⎛ 3
22 a) 2a − a − 1 b) eksempelvis a = 1 : 3
1 1 ⎞
− x − 2 − x − − x x x fri a = 1
1
− : 0, − 2 + x , − 2 + x , x
23
⎛ 3 1 2 ⎞
⎜ , , ⎟, a ≠ −1, a ≠ 0
⎝ a + 1 a + 1 a + 1⎠
⎜
⎝ 2
2 4, 4,
2 2 4, 4⎟ , 4
2 ( 2 4 4 4 )
38
⎠

24 -17
25 17
11
26 A=0.514, B = 1.324, r1 = r2 = r3
= − 0. 016 , RMS = 0.016
27 (A, B, C ) = (0.1, 1, 0) r1 = 01 . , r2 = 0, r3 = − 01 . , r4 = 01 . , r5
= −01
. RMS = 0.089
28 31 ( , 14 )
3
3
( )
29 1) - 2) 19 , 1 3) r 5 r r RMS =0.019518
35 5 1 = − , 3
1
1
175 2 = − ,
175 3 = − , =
175 5 105
30
41 11 11
1366 0 366 11
30,
30 10
, , ( . , . , . )
⎛ ⎞
⎜ ⎟ =
⎝ ⎠
( )
31 a) 3 , 1, 3
2
b) RMS = 1 =0.57735
5
32 103.32 3.3 3.19%
33 70.37 4.24%
34 1658.76 57.31 3.46%
35 996.3 46.36 4.65%
36 a) 0.00911 b) 30% c) 0.00675 d) 22.2%
37 a) 0.0000051 b) 41.8% c) 0.0000036 d) 29.4%
39
Stikord

Matricer og lineære ligninger
STIKORD
A
addition af matricer 4
B
C
Cramers sætning 18
D
determinant 14
E
echelon matrix 9
enhedsmatrix 7
F
facitliste 38
G
Gaus elimination 10
H
I
invers matrix 7
invertibel matrix 6, 15
K
koefficientmatrix 1, 6
kvadratisk matrix 2, 6
L
ligningssystem hvor koefficientmatrix er
invertibel 6
ligningssystem , netop en løsning 12
uendelig antal løsninger 13
ingen løsninger 14
lineært ligningssystem 9
ligningssystem med parameter 16
M
matrix 2
transponeret 2
echelon 9
enhedsmatrix 7
40
invers 7
kvadratisk 2, 6
ramg 12
regneregler 3
multiplikation 4
addition 4
Mathcad
AB og A T 5
A -1 7
determinant 15
Gaus elimination 11
ligningsystem med parameter 17
overbestemt ligningssystem 20
regression 22
usikkerhed 26
N
normalligningssystem 19
O
obhopningdlov 27
overbestemt ligning 19
Opgaver 29
P
partielle adledede 24
pivotelement 10
R
rang af matrix 12
reciprok matrix 7
regression 21
residual 19
RHF- fejl 19
række 2
rref , reduced row echalon form 11
rækkeækvivalente operationer 9
S
symmetrisk matrix 3
søjle 2

T
tangentplan 25
TI 89+ TI-Nspire
AB og A T 5
A -1 7
determinant 15
Gaus elimination 11
ligningsystem med parameter 17
overbestemt ligningssystem 20
regression 21
usikkerhed 26
totalmatrix 1
transponeret matrix 2
U
uafhængige hændelser 27
usikkerhed
maksimal 23
relativ 25
statistisk 27
usikkerhedsberegning 23
41
Stikord