Statistik - supplerende eksempler - VUC Aarhus

Matematik på AVU Eksempler til niveau F, E og D
Statistik - supplerende eksempler
Grupperede observationer: Middelværdi og summeret frekv. .. 82b
Indekstal .................................................................................... 82c
Median, kvartil, boksplot .......................................................... 82e
Sumkurver ................................................................................. 82h
Statistik Side 82a

Matematik på AVU Eksempler til niveau F, E og D
Grupperede observationer: Middelværdi og summeret frekvens
Eksempel på opgave
Tabellen viser højde-fordelingen for en gruppe piger.
Find et cirka-tal for gennemsnits-højden (middelværdien).
Lav en tabel, der viser frekvens og summeret frekvens.
Man kan ikke finde en præcis middelværdi, men man kan
finde et cirka-tal med interval-midtpunkts-metoden.
Man lader som om, at alle de piger, der har en højde
i et bestemt interval, har højden lige midt i intervallet.
Fx lader man som om, at alle de 10 piger, der er
i intervallet [160 ; 170[, er 165 cm høje.
Man gør det samme for de andre højde-intervaller, og så bliver den samlede højde:
1⋅ 145 + 4 ⋅155
+ 10 ⋅165
+ 7 ⋅175
+ 2 ⋅185
+ 1⋅195
= 4.205 cm.
4.205
Da der i alt er 25 piger, bliver gennemsnitshøjden: = 168,2 cm.
25
Frekvenserne findes ved almindelig procentregning.
1⋅100
- Frekvensen for [140 ; 150[ er = 4%
.
25
4 ⋅100
- Frekvensen for [150 ; 160[ er = 16%
.
25
- Osv.
Den første summerede frekvens er den samme
som den ”almindelige” frekvens
De andre summerede frekvenser findes ved
at lægge sammen:
- Den summerede frekvens for intervallet
[150 ; 160[ er fundet som 4% + 16% = 20%.
- Den summerede frekvens for intervallet
[160 ; 170[ er fundet som 4% + 16% + 40% = 60%
eller blot som 20% + 40% = 60%.
- Osv.
Den summerede frekvens for intervallet [160 ; 170[ er altså den del af pigerne,
som har en højde op til og med dette interval.
Når man skal lave tabeller med frekvenser og summerede frekvenser,
er det en stor fordel at bruge regneark.
Højde i cm Hyppighed
[140 ; 150[ 1
[150 ; 160[ 4
[160 ; 170[ 10
[170 ; 180[ 7
[180 ; 190[ 2
[190 ; 200[ 1
Ialt 25
Højde i cm Frekvens Sum. frekv.
[140 ; 150[ 4% 4%
[150 ; 160[ 16% 20%
[160 ; 170[ 40% 60%
[170 ; 180[ 28% 88%
[180 ; 190[ 8% 96%
[190 ; 200[ 4% 100%
Ialt 100%
Statistik Side 82b

Matematik på AVU Eksempler til niveau F, E og D
Indekstal
Indekstal er en slags procenttal, der bruges til at beskrive, hvordan en talstørrelse (fx en pris)
forandrer sig over tid. Indekstal beregnes således:
Eksempel på opgave
Yrsa Olsen bor i en lejlighed.
Hun arbejder i en anden by,
Indekstal =
og hun tager hver dag bussen på arbejde.
Tabellen viser hendes timeløn og husleje
samt prisen på et månedskort til bussen.
Periodens tal · 100
Basisperiodens tal
Sammenlign løn- og prisudviklingen ved at lave en indekstabel. Brug 2000 som basisår.
Lav også et diagram ud fra indekstallene.
Man laver en tabel præcis magen til tabellen ovenfor, men i stedet for krone-beløbene
skriver man indekstal. Alle tre indekstal for 2000 sættes til 100, da dette år er basisår.
De øvrige indekstal beregnes som vist herunder:
Timeløn 2005:
Timeløn 2010:
103⋅100
= 117,0
88
121⋅100
= 137,5
88
Læg mærke til at man altid dividerer
med timelønnen fra 2000 (basisåret).
I alt får man den viste tabel,
og det viste diagram:
Indekstallene og diagrammet viser,
at huslejen er steget langsommere end lønnen.
Til gengæld er prisen på buskortet
vokset noget hurtigere end lønnen.
Indekstal er gode, hvis man skal sammenligne
udviklingen af meget forskellige talstørrelser.
Det er en stor fordel at bruge regneark,
hvis man skal beregne mange indekstal
og lave diagrammer ud fra tallene.
År 2000 2005 2010
Timeløn 88 103 121
Husleje 3350 3665 4080
Buskort 469 605 715
År 2000 2005 2010
Timeløn 100,0 117,0 137,5
Husleje 100,0 109,4 121,8
Buskort 100,0 129,0 152,5
0
2000 2005 2010
Buskort
Husleje
Statistik Side 82c
160
140
120
100
80
60
40
20
Løn

Matematik på AVU Eksempler til niveau F, E og D
Indekstal er en slags procental. Men når indekstallet for Yrsa Olsens løn fra 2005 til 2010
stiger fra 117,0 til 137,5, så siger man, at stigningen er på 137,5 - 117,0 = 20,5 procentpoint.
Stigningen er ikke på 20,5% af lønnen i 2005 men på 20,5% af lønnen i 2000 (basisåret).
Derfor siger man procentpoint i stedet for procent.
Eksempel på opgave (fortsat)
Indekstabellen viser udviklingen i prisen
på et månedskort til en busrute.
Find stigningen fra 2005 til 2010
i både procentpoint og procent.
Stigningen i procentpoint er forskellen i indekstal: 152,5 - 129,0 = 23,5 procentpoint.
23, 5⋅100
Stigningen i procent findes ved almindelig procentregning: = 18,2%
129,
0
Stigningen i procentpoint er altså her mindre end stigningen i procent. Tænk selv over hvorfor.
Hvis man beregner stigningen i procent fra 2005 til 2010 ud fra de rigtige priser fra
110⋅100
eksemplet på forrige side, så får man: = 18,2%. Altså præcis samme resultat.
605
Det vil altid være tilfældet.
Eksempel på opgave
Tabellen viser udviklingen i prisen på en busbillet
som indekstal. Billetten kostede 23 kr. i 2005.
Hvad var prisen de to andre år?
Prisen i 2005 må være 127,8% af prisen i 2000.
Derfor kan man finde prisen i 2000 således:
23⋅100
127,
8
= 18 kr.
18⋅161,
1
Prisen i 2010 kan findes som 161,1% af prisen i 2000. Man får: = 29 kr.
100
Men prisen i 2010 kan også findes ud fra prisen i 2005. Man får:
Pris i 2010 =
Pris i 2005⋅
Indekstal fra 2010
Indekstal fra 2005
Metoden kan sættes på formel på denne måde:
=
23⋅161,
1
127,
8
År 2000 2005 2010
Buskort 100,0 129,0 152,5
År 2000 2005 2010
Busbillet 100,0 127,8 161,1
= 29 kr.
Nyt tal =
Gammelt tal ⋅ Nyt indekstal
Gammelt indekstal
Statistik Side 82d

Matematik på AVU Eksempler til niveau F, E og D
Median, kvartil, boksplot
Medianen er det midterste af en række tal, der er skrevet op efter størrelse.
Medianen angiver grænsen mellem den største og den mindste halvdel af tallene.
Eksempler på opgaver
På en arbejdsplads er der syv ansatte.
De får disse lønninger (kr./time):
98, 108, 119, 124, 129, 156 og 175.
Hvad er median-lønnen?
Når der er et ulige antal lønninger,
er medianen det midterste tal.
På en arbejdsplads er der seks ansatte.
De får disse lønninger (kr./time):
102, 117, 128, 132, 134 og 153.
Hvad er median-lønnen?
Når der er et lige antal lønninger, er medianen
midt imellem de to midterste tal.
98 108 119 124 129 156 175 102 117 128 132 134 153
Median-lønnen bliver derfor 124 kr./time Tallet midt imellem 128 og 132 er 130.
Median-lønnen bliver derfor 130 kr./time.
128 + 132
Tallet kan evt. beregnes: = 130
2
I eksemplerne ovenfor er medianen løn-grænsen mellem den dårligst lønnede halvdel og den bedst
lønnede halvdel af de ansatte.
Kvartil betyder en kvart (en fjerdedel) eller 25%. Man taler om 1. kvartil, 2. kvartil og 3. kvartil.
1. kvartil er det midterste af de tal, som ligger under medianen.
3. kvartil er det midterste af de tal, som ligger over medianen.
2. kvartil er det samme som medianen.
Eksempel på opgave
Ved en fartkontrol måler politiet disse hastigheder (km/time) på 11 biler:
98, 80, 79, 82, 92, 85, 81, 78, 87, 105 og 78.
Hvad er median-hastigheden for bilerne?
Hvad er 1. kvartil og 3. kvartil?
Tallene skrives først op efter størrelse:
78 78 79 80 81 82 85 97 92 98 105
Medianen findes som det midterste tal: 82 km/time
Hvis man skal finde medianen for
mange tal kan, man fx sortere dem
efter størrelse i et regneark.
Man kan også få regnearket til at
finde medianen, men det er vigtigt
selv at forstå, hvad medianen er.
Statistik Side 82e

Matematik på AVU Eksempler til niveau F, E og D
1. kvartil findes på samme måde
som medianen, men man kikker kun
på de tal, som er under medianen.
3. kvartil findes på samme måde
som medianen, men man kikker kun
på de tal, som er over medianen.
78 78 79 80 81 82 85 97 92 98 105
Man får, at 1. kvartil er 79 km/time, og 3. kvartil er 92 km/time
Eksempel på opgave
På et basketball-hold er der otte spillere. Deres højde (cm) er:
205, 192, 188, 198, 210, 179, 207 og 201.
Hvad er median-højden for spillerne?
Hvad er 1. kvartil og 3. kvartil?
Tallene skrives op efter størrelse, og median og kvartiler findes som midtpunkter som vist:
179 188 192 198 201 205 207 210
Man får: 1. kvartil er 190 cm. Medianen er 199,5 cm. 3. kvartil er 206 cm
Man kan vise medianen og kvartilerne sammen med mindste- og største-værdi i et boksplot.
Eksempel på opgave
188 + 192
= 190
2
Tabellen viser resultatet af en
undersøgelse af prisen på en liter
letmælk i en række butikker.
Lav et boksplot ud fra tallene.
Man laver et boksplot som vist.
Man markerer først medianen
og de to kvartiler og tegner en ”boks”.
Derefter markerer man
mindste-værdi og største-værdi,
og tegner to linje-stykker.
Alle boksplottets fire vandrette
dele svarer til 25% af mælkepriserne.
198 + 201
= 199,
5
2
Mindste-
værdi
205 + 207
= 206
2
1. kvartil Median 3. kvartil Størsteværdi
3,95 kr. 5,75 kr. 7,20 kr. 8, 25 kr. 9,95 kr.
Mindste-værdi 1. kvartil median 3. kvartil Største-værdi
3 4 5 6 7 8 9 10 11
Statistik Side 82f

Matematik på AVU Eksempler til niveau F, E og D
Man bliver ofte bedt om at sige noget om, hvad et boksplot viser:
Eksempel på opgave
Boksplottet viser højdefordelingen
i cm for en gruppe mænd.
Aflæs mindste-værdi, største-værdi,
median og kvartiler.
Fortæl lidt om, hvad disse tal
viser om mændenes højde.
Mindste-værdien er 158 cm. Største-værdien er 211 cm.
Median-højden er 181 cm. 1. kvartil er 175 cm, og 3. kvartil er 187 cm.
Tallene viser (fx), at den midterste halvdel af mændenes højder ligger inden for et lille interval på
187 – 175 = 12 cm, mens alle mændenes højder er fordelt på et stort interval på 211 – 158 = 53 cm.
Man kan let blive snydt af, hvordan et boksplot ser ud. Man skal huske, at hver del svarer til 25%.
I eksempler ovenfor er der fx lige så mange mænd med højder i intervallet 158 cm – 175 cm,
som der er mænd med højder i intervallet 175 cm – 181 cm.
Man kan let tro, at median og middelværdi er det samme tal, men det er sjældent tilfældet.
Eksempler på opgaver
På en arbejdsplads er der
fem ansatte, som får disse
lønninger (kr./time):
130, 140, 150, 160 og 170.
Hvad er median-lønnen?
Hvad er middelværdien?
På en arbejdsplads er der
fem ansatte, som får disse
lønninger (kr./time):
100, 140, 150, 160 og 170.
Hvad er median-lønnen?
Hvad er middelværdien?
På en arbejdsplads er der
fem ansatte, som får disse
lønninger (kr./time):
130, 140, 150, 160 og 200.
Hvad er median-lønnen?
Hvad er middelværdien?
Median-lønnen er 150 kr. i alle tre opgaver. Det er det midterste tal, når tallene står efter størrelse.
Middelværdien er forskellig i de tre opgaver. Man får:
130 + 140 + 150 + 160 + 170
=
5
750
= 150 kr.
5
150 160 170 180 190 200 210 220
100 + 140 + 150 + 160 + 170
=
5
720
= 144 kr.
5
130 + 140 + 150 + 160 + 200
5
780
= 156 kr.
5
Forestil dig, at det er de samme fem personer, som opgaverne handler om.
Hvis lønnen falder for en af de lavest lønnede, eller lønnen stiger for en af de højst lønnede,
påvirker det ikke medianen, men det påvirker naturligvis middelværdien.
Statistik Side 82g
=

Matematik på AVU Eksempler til niveau F, E og D
Sumkurver
Eksempel på opgave (fortsat)
Tabellen viser frekvens-fordelingen
og de summerede frekvenser
for højden på en gruppe piger.
Lav et histogram og en sumkurve
ud fra tallene.
Histogrammet og sumkurven
er tegnet i et koordinatsystem
herunder:
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
140 150 160 170 180 190 200
Højde i cm Frekvens Sum. frekv.
[140 ; 150[ 4% 4%
[150 ; 160[ 16% 20%
[160 ; 170[ 40% 60%
[170 ; 180[ 28% 88%
[180 ; 190[ 8% 96%
[190 ; 200[ 4% 100%
Ialt 100%
Koordinat-systemet viser både et histogram
og en sumkurve, men man kan sagtens
lave de to diagrammer hver for sig.
Når man laver sumkurven,
starter man med at afsætte punktet
(Første intervals start-punkt ; 0).
Altså (140 ; 0).
Derefter afsætter man punkter af typen
(Interval-endepunkt ; summeret frekvens).
Altså (150 ; 4), (160 ; 20) osv.
Til sidst laver man lige streger fra punkt
til punkt.
Sumkurven viser, hvor mange af pigerne,
der er op til en bestemt højde.
Fx kan man se, at ca. 74% er op til 175 cm
men det er naturligvis upræcist, fordi man
ikke kender højden på hver enkelt pige.
Man kan på samme måde aflæse et cirka-tal
for medianen. Man kan se, at 50% af pigerne
er op til ca. 167 - 168 cm.
Prøv om du selv på samme måde kan finde
cirka-tal for 1. kvartil og 3. kvartil.
Bemærk at sumkurven er stejl, der hvor
histogram-søjlerne er høje.
Statistik Side 82h