Stokastiske variable
Stokastiske variable
Stokastiske variable
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>Stokastiske</strong> <strong>variable</strong><br />
Givet: Et udfaldsrum S, en mængde af hændelser H i S og et<br />
sandsynlighedsmål<br />
P :H→ 0, 1<br />
En stokastisk variabel er en reel funktion på udfaldsrummet S:<br />
X : S → R<br />
som opfylder at for alle x ∈ R<br />
X−1−, x ∈ H<br />
Lad e ∈ S være udfaldet af forsøget. Så kaldes x Xe den<br />
realiserede værdi af X.<br />
Støtten (eller værdimængden) for X defineres som
VX XS Xe : e ∈ S
X kaldes positiv hvis VX ⊆ R. Tilsvarende kaldes X<br />
ikke-negativ, heltallig, begrænset osv., hvis VX har disse<br />
egenskaber.<br />
De to vigtigste typer af stokastiske <strong>variable</strong>:<br />
X kaldes diskret, hvis VX er en endelig eller tællelig mængde.<br />
X kaldes kontinuert, hvis VX består af et interval (evt. flere).<br />
Eksempel Kast med to terninger<br />
Lad X "samlet antal øjne ved de to kast"<br />
Eksempel på en positiv diskret stokastisk variabel:<br />
VX 2, … ,12<br />
Xe : 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12<br />
Antal udfald: 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
Udfaldene e 1, 3, e 2, 2 og e 3,1 giver alle Xe 4.
Fordelingen for X<br />
Lad B ⊆ R være et interval, eller en anden hændelse i R, sådan at<br />
urbilledet af B<br />
X−1B e ∈ S : Xe ∈ B<br />
tilhører H.<br />
Forsimplet notation:<br />
Vi skriver normalt PX ∈ B istedetforPX−1B. Eksempel Kast med to terninger<br />
Xe : 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12<br />
Antal udfald: 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1<br />
PX ∈ 1, 3 <br />
1 2<br />
36<br />
3 36 1 12
Fordelingen for X er sandsynlighedsmålet på R defineret ved<br />
afbildningen<br />
B PX ∈ B<br />
fra mængden af hændelser i R ind i 0, 1.<br />
Ofte ’glemmer’ vi S og siger:<br />
Lad X være en stokastisk variabel med fordeling<br />
B PX ∈ B<br />
Hvordan håndterer vi fordelingen?
Fordelingsfunktionen F : R → 0,1 defineres ved<br />
Fx PX ≤ x for x ∈ R<br />
Egenskaber for F:<br />
1. F er svagt voksende, dvs. x y Fx ≤ Fy.<br />
2. F er kontinuert fra højre, dvs. lim↓0 Fx Fx.<br />
3. Der gælder<br />
lim Fx 0 og limFx<br />
1.<br />
x→− x→<br />
Sandsynligheden for et interval:<br />
Pa X ≤ b PX ≤ b − PX ≤ a Fb − Fa<br />
Ofte tabelleres F og bruges til udregning af sandsynligheder for X.
Diskrete fordelinger<br />
Sandsynlighedsfunktion<br />
For X er diskret er VX endelig eller tællelig:<br />
VX x1, x2, … <br />
Funktionen f : VX → 0, 1 bestemt ved<br />
fx PX x for x ∈ VX<br />
kaldes sandsynlighedsfunktionen for X.<br />
Eksempel Kast med to terninger<br />
Tabel over fx
x : 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12<br />
fx : 1<br />
36<br />
2<br />
36<br />
3<br />
36<br />
4<br />
36<br />
5<br />
36<br />
x : 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12<br />
fx : 1<br />
36<br />
2<br />
36<br />
3<br />
36<br />
4<br />
36<br />
Kan udregne sandsynligheder for alle hændelser for X, f.eks.<br />
PX ≥ 9 4<br />
36<br />
PX 5 4<br />
36<br />
PX 5 1<br />
36<br />
3<br />
36<br />
1<br />
9<br />
2<br />
36<br />
2<br />
36<br />
3<br />
36<br />
5<br />
36<br />
1<br />
36<br />
Tabel over fordelingsfunktion<br />
6<br />
36<br />
6<br />
36<br />
6<br />
36<br />
10<br />
36<br />
1<br />
6<br />
5<br />
36<br />
5<br />
36<br />
5<br />
18<br />
4<br />
36<br />
4<br />
36<br />
3<br />
36<br />
3<br />
36<br />
2<br />
36<br />
2<br />
36<br />
1<br />
36<br />
1<br />
36
x : 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12<br />
Fx : 1<br />
36<br />
3<br />
36<br />
6<br />
36<br />
10<br />
36<br />
15<br />
36<br />
21<br />
36<br />
26<br />
36<br />
30<br />
36<br />
33<br />
36<br />
35<br />
36<br />
36<br />
36
Eksempel på brug af F:<br />
PX ≥ 9 1 − PX 9 1 − PX ≤ 8<br />
1 − F8 1 − 26 10<br />
36 36
Fordelingsfunktionen for diskret X<br />
Lad os antage at VX er ordnet: x1 x2 <br />
Når X er diskret har F følgende egenskaber:<br />
1. Fx er 0 når x x1.<br />
2. Fx er konstant mellem to xi-er i VX.<br />
3. Fx er 1 til højre for det største xi i VX (om et sådant<br />
findes).<br />
Sandsynlighedsfunktionen f er givet ud fra F ved<br />
fxi Fxi − Fxi−1 for xi ∈ VX<br />
Fordelingsfunktionen F er givet ud fra f ved<br />
Fxi fx1 fxi
Kontinuerte fordelinger<br />
Tæthedsfunktion<br />
En funktion f : R → 0, kaldes en tæthedsfunktion hvis<br />
<br />
f er integrabel og fxdx 1.<br />
−<br />
En stokastisk variabel X kaldes for absolut kontinuert hvis der<br />
findes en tæthedsfunktion f så<br />
PX ∈ A A<br />
I daglig tale siger vi at X er kontinuert.<br />
Vi kalder ofte f for blot tætheden for X.<br />
Støtten VX er det område hvor fx 0.<br />
fxdx for alle hændelser A ⊆ R.
f bestemmer sandsynligheden for intervaller:<br />
Pa X b a<br />
Bemærk, at for ethvert x ∈ R gælder:<br />
Derforgælderder<br />
b<br />
PX x x<br />
fxdx , for alle a ≤ b.<br />
ftdt 0.<br />
Pa X b Pa ≤ X ≤ b<br />
Pa X ≤ b Pa ≤ X b
Eksempel: Eksponentialfordelingen X E med 0<br />
Defineret ud fra tæthedsfuntion<br />
fx e−x , x 0<br />
(0 ellers).<br />
Støtte R, dvs. X er positiv.<br />
Bruges som ventetidsfordeling, f.eks. tiden mellem to ulykker af<br />
en bestemt slags.<br />
Eksempler på eksponentialfordelinger:
Density<br />
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0<br />
0 1 2 3 4 5<br />
x
Fordelingsfunktion for kontinuert X<br />
Fordelingsfunktionen F for X findes ved<br />
Fx PX ≤ x ftdt for x ∈ R.<br />
−<br />
Tæthedsfunktionen er givet ud fra F:<br />
fx F ′ x<br />
(evt. på nær tælleligt mange punkter).<br />
Eksponentialfordelingen (fortsat)<br />
Fx 1 − e−x , x 0<br />
(0 ellers). Differentiabel på nær i 0.<br />
Det diskrete tilfælde kendes ved at F er stykkevis konstant.<br />
x
Middelværdi, varians og<br />
spredning<br />
Middelværdi<br />
Husk gennemsnit af x1, …,xn:<br />
n<br />
x 1 n ∑ i1<br />
Middelværdi: vægtet gennemsnit af de mulige værdier<br />
xi
X EX <br />
<br />
∑ xifxi hvis X er diskret<br />
i1<br />
<br />
<br />
−<br />
Eksempel Kast med to terninger<br />
Tabel over fx<br />
xfxdx hvis X er kontinuert<br />
x : 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12<br />
fx : 1<br />
36<br />
xfx : 2<br />
36<br />
2<br />
36<br />
6<br />
36<br />
3<br />
36<br />
12<br />
36<br />
4<br />
36<br />
20<br />
36<br />
5<br />
36<br />
30<br />
36<br />
6<br />
36<br />
42<br />
36<br />
Middelværdi<br />
EX 2 12<br />
36 36<br />
Middelværdi af eksponentialfordeling<br />
5<br />
36<br />
40<br />
36<br />
4<br />
36<br />
36<br />
36<br />
7<br />
3<br />
36<br />
30<br />
36<br />
2<br />
36<br />
22<br />
36<br />
1<br />
36<br />
12<br />
36
EX 0<br />
xe −x dx −1
Middelværdi af en funktion af X<br />
EgX <br />
<br />
∑ gxifxi hvis X er diskret<br />
i1<br />
<br />
<br />
−<br />
Eksempel Kast med to terninger<br />
gx fxdx hvis X er kontinuert<br />
x : 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12<br />
fx : 1<br />
36<br />
x2fx : 4<br />
36<br />
Middelværdi<br />
2<br />
36<br />
18<br />
36<br />
EX 2 4 36<br />
3<br />
36<br />
48<br />
36<br />
4<br />
36<br />
100<br />
36<br />
5<br />
36<br />
180<br />
36<br />
144<br />
36<br />
6<br />
36<br />
294<br />
36<br />
1974<br />
36<br />
5<br />
36<br />
320<br />
36<br />
4<br />
36<br />
324<br />
36<br />
54.8333<br />
3<br />
36<br />
300<br />
36<br />
2<br />
36<br />
242<br />
36<br />
1<br />
36<br />
144<br />
36
Varians<br />
Teoretisk varians<br />
X 2 VarX EX − X 2 <br />
<br />
∑ xi − X i1<br />
2 fxi for X diskret<br />
<br />
x − X<br />
−<br />
2 fxdx for X kontinuert<br />
DergælderVarX≥ 0ogVarX 0 hvis og kun hvis X <br />
konstant.<br />
Genvejsformel:<br />
VarX EX2 2 2 2 − X EX − E X<br />
Eksempel Kast med to terninger<br />
VarX 54. 8333 − 72 5.8333
Spredning (standardafvigelse)<br />
Teoretisk spredning:<br />
X VarX<br />
Eksempel Kast med to terninger<br />
2 VarX X 5. 8333<br />
Spredning<br />
X 5. 8333 2.4152
Eksempel: Lad Fx x2 for 0 x 1være<br />
fordelingsfunktionen for X.<br />
Så er tætheden<br />
fx F ′ x2x for 0 x 1.<br />
Middelværdi<br />
Varians<br />
Spredning<br />
1<br />
EX <br />
0<br />
EX2 1<br />
<br />
0<br />
x 2xdx 2/3<br />
x 2 2xdx 1/2<br />
VarY 1/2 − 2/3 2 1/18
X 1/18 0. 2357
Lineær transformation<br />
Lineær transformation<br />
Der gælder<br />
Ea bX a bEX<br />
Specielt er<br />
Ea a<br />
For variansen gælder<br />
Vara bX b2VarX Specielt er Vara 0.<br />
abX |b|X
Middelværdi af en sum:<br />
EX Y EX EY<br />
Genvejsformel: VarX EX2 − E2X Bevis:<br />
VarX E X − X 2<br />
EX 2 X 2 − 2XX<br />
EX 2 X 2 − 2XEX<br />
EX 2 X 2 − 2X 2<br />
EX 2 − X 2 .