D:\cg\fysik C, bog\webbog\Big Bang hele bogen.wpd
D:\cg\fysik C, bog\webbog\Big Bang hele bogen.wpd
D:\cg\fysik C, bog\webbog\Big Bang hele bogen.wpd
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Big <strong>Bang</strong><br />
Planet<br />
og<br />
nogle konsekvenser heraf<br />
Jorden<br />
Claus Glunk
I<br />
n<br />
d<br />
h<br />
o<br />
l<br />
d<br />
Forord ......................................... 3<br />
1. Solsystemets dannelse ........................ 4<br />
Den oprindelige sky ............................. 5<br />
Energiproduktion i stjerner ....................... 6<br />
Galakser ...................................... 7<br />
Solsystemets alder ............................. 9<br />
2. Lidt om Solsystemets historie ................ 13<br />
Deferent og epicykel ........................... 14<br />
Parallakse .................................... 18<br />
Keplers love .................................. 20<br />
Den moderne opfattelse ........................ 21<br />
3. Jorden ........................................ 24<br />
Pladetektonik ................................. 25<br />
Erosion ...................................... 26<br />
Jordens atmosfære ............................ 27<br />
4. Dag og nat .................................... 28<br />
5. Årstider ....................................... 29<br />
6. Varigheden af en måneformørkelse ........... 31
F<br />
o<br />
r<br />
o<br />
r<br />
d<br />
Gennem de seneste par år har jeg i forbindelse med brobygningshold på Helsingør Gymnasium<br />
undervist i Universets dannelse. Det er resulteret i dette materiale om “Big <strong>Bang</strong> og nogle konsekvenser<br />
heraf”, idet det viste sig, at 15-16 årige var meget interesserede i netop dette emne. Også Jordens<br />
dannelse og udvikling samt årsagerne til og forklaringerne på dag/nat og årstiderne fascinerede<br />
eleverne. Samtidig havde de ikke gjort sig klart, hvorfor det forholder sig sådan. Ligeledes var de meget<br />
imponerede over, at man med beskedne matematiske midler var i stand til at beregne varigheden af en<br />
måneformørkelse.<br />
Det siger sig selv, at et emne er af så overvældende omfang og kompleksitet end ikke nødtørftigt kan<br />
behandles inden for rammerne af 30 sider. Det har derfor været nødvendigt at forenkle og udelade i betydeligt<br />
omfang.<br />
Dette til trods vil jeg mene, at materialet vil kunne finde god anvendelse på fysiks C-niveau, idet man<br />
kan bruge dem som en appetitvækker, en smagsprøve på den righoldige kreds af emner som berøres<br />
undervejs. Man kan foretage adskillige udflugter langs adskillige tangenter for så at vende tilbage til<br />
hovedteksten efter endt udflugt.<br />
Af hensyn til dem, som læser teksten på skærmen, er alle links aktive, men da det kan være ønskværdigt<br />
også at have en udskrift på papir, er alle URL’er også anført, således at man har mulighed for at opsøge<br />
dem sidenhen.<br />
Helsingør, maj 2005, Claus Glunk
Big <strong>Bang</strong> og et par af konsekvenserne 4<br />
Solsystemets dannelse<br />
For ca. 15 millioner år siden bragede en meteorit ind i Jorden i det sydlige Tyskland. Ved<br />
sammenstødet blev der skabt et krater, som var 24 km i diameter og 1000 m dybt. Meteoritten<br />
påvirkede i nedslagsområdet et rumfang af jordskorpen på mere end 150 km 3 ved<br />
dette nedslag og efterfølgende kraterdannelse. Selve meteoritten havde en diameter på<br />
1000 m, og den ramte Jorden med en fart af 70.000 km/h.<br />
I fysikken skelner man mellem fart og hastighed. Fart svarer til, hvad man aflæser på en bils<br />
speedometer, mens hastighed foruden denne oplysning også angiver i hvilken retning, man<br />
bevæger sig.<br />
Den enorme energi, som skulle til for at “grave” et hul af denne størrelse, kom naturligvis<br />
fra meteorittens bevægelse eller rettere ophør af bevægelse. Ved sammenstødet mistede<br />
meteoritten nemlig al sin bevægelsesenergi, men denne gik ikke tabt:<br />
Lad os antage, at meteoritten var kugleformet; så kan vi finde dens rumfang vha. formlen<br />
Vmeteorit = r<br />
4<br />
π<br />
3<br />
3<br />
og antager vi, at dens massefylde var 3 g/cm 3 , så kan vi også finde ud af, hvor meget den<br />
vejede.<br />
Først findes dens rumfang eller volumen, som det også kaldes:<br />
4<br />
Vmeteorit = r<br />
3 4<br />
= ⋅ 500 m<br />
3 4<br />
π π ( ) = π ⋅2500<br />
m<br />
3<br />
3 3<br />
3<br />
= 523598775,598 m 3<br />
= 5,23598775598 10 8 m 3 ⋅<br />
= 5,2 108 m3 ⋅<br />
Ved at gange dette volumen med massefylden = 3 g/cm3 ρ , fås massen<br />
m. Inden vi finder tallet, skal vi sørge, for at vi regner i de samme<br />
enheder i massefylden og i rumfanget V meteorit.<br />
ρ<br />
Da<br />
er<br />
1<br />
1 g = 0,001 kg = 10 -3 kg,<br />
3 g/cm3 = 3 10-3 kg/cm3 ⋅<br />
Som regel<br />
skriver man<br />
10 6 i stedet for<br />
millioner.<br />
150 mia. skrives<br />
derfor<br />
150 10 6 ⋅ .<br />
Vkugle = r<br />
4<br />
π<br />
3<br />
Mia., som er et<br />
1-tal efterfulgt<br />
af ni 0'er,<br />
skrives 10 9<br />
Forkortelsen h<br />
for time stammer<br />
fra latin<br />
hora, jvf. engelsk<br />
hour og<br />
fransk heure<br />
og da der er 100 cm 100 cm 100 cm = 1000000 cm3 = 106 cm3 på 1 m3 , så har vi altså 106 cm3 ⋅ ⋅<br />
hver<br />
gang, vi har 1 m3 , og da hver cm3 vejer 3 g, skal vi derfor gange med 106 for at finde, hvor meget 1<br />
m 3 vejer:<br />
3 g/cm3 = 3 10-3 kg/cm3 = 3 10-3 106 kg/m3 = 3 103 kg/m3 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅<br />
3
Meteoritens masse er 3 103 kg/m3 5,2 108 m3 = 1,6 1012 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ kg.<br />
Big <strong>Bang</strong> og et par af konsekvenserne 5<br />
For at kunne beregne den kinetiske energi skal vi først omregne farten fra km/h til m/s:<br />
70000 km/h = 7 10 4 km/h = 7 104 103 m/3600 s = 7 107 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ /3600 m/s<br />
= 19444,44 m/s 1,9 104 ≈ ⋅ m/s<br />
Nu kan vi finde den kinetiske energi, og resultatet bliver<br />
Ekin = ½mv2 = ½ 1,6 1012 kg (1,9 104 m/s) 2 = 2,9 1020 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ J<br />
Opgave 1<br />
Find Danmarks årlige energiforbrug, og sammenlign med meteorittens.<br />
Men hvor kom egentlig meteoritten fra? Vi skal omkring 4,6 mia. år tilbage i tiden for at besvare<br />
det spørgsmål. Dengang blev Jorden og det øvrige solsystem dannet.<br />
Eftersom universet er ca. 15 mia. år gammelt, kan vi se at Solen ikke tilhører første generation af stjerner.<br />
Det passer også med at den indeholder tunge grundstoffer som en arv fra tidligere stjernegenerationer, se<br />
senere.<br />
Den oprindelige sky<br />
Den almindelige antagelse er, at den blev dannet sammen med den øvrige del af Solsystemet ud fra<br />
en roterende sky af hovedsagelig brint og helium. Denne sky trak sig sammen samtidig med, at den<br />
blev fladere. I skyens midte, dens centrum, opstod Solen, mens resten af skyen blev til planeterne<br />
og deres måner, således at vores solsystem i dag består af<br />
Solen, Merkur, Venus, Jorden, Mars, Jupiter, Saturn, Uranus, Neptun og Pluto.<br />
Opgave 2<br />
Find afstanden mellem Solen og de forskellige planeter, og sæt afstanden mellem Solen og<br />
Jorden til 1 cm. Tegn et liniestykke med Solen som det ene endepunkt og Jorden 1 cm væk.<br />
Afsæt på dette liniestykke de øvrige planeters position.<br />
Den roterende sky overlod sin rotation til Solen og planeterne: Alle medlemmer af Solsystemet<br />
roterer om egen akse foruden rotationen om Solen, en effekt som er årsag til dag/nat og årstider, se<br />
kapitel 4.<br />
Imidlertid blev ikke alt fra skyen til Solen eller planeterne. Mellem Mars og Jupiter findes det<br />
såkaldte Asteroidebælte, som udgøres af et væld af småplaneter, hvoraf den største Ceres er<br />
omkring 900 km i diameter. Det altovervejende antal er, hvad vi ville kalde klippeblokke, store<br />
sten, mindre sten og nedefter. Alle disse genstande, planeter, småplaneter, klippeblokke, sten med<br />
mere bevæger sig rundt om Solen. Afhængig af hvor langt fra Solen de er, har de mere eller mindre<br />
fart på. Jo længere væk de er, desto mindre fart har de. Og en gang i mellem hænder det, at nogle af<br />
disse rester fra solsystemets allertidligste tid falder ned på Jorden til stor glæde og udelt interesse<br />
for de videnskabsfolk, som beskæftiger sig med Solens og Solsystemets dannelse, fordi de bærer<br />
vidnesbyrd om forholdene for ca. 4,6 mia. år siden. Så ved at undersøge disse klumper af materiale,<br />
får man viden om det tidlige solsystem.
Big <strong>Bang</strong> og et par af konsekvenserne 6<br />
Nu består vi jo ikke kun består af brint og helium, men også af andre grundstoffer, så den<br />
oprindelige sky må enten have indeholdt andre grundstoffer, eller også må de være dannet sidenhen.<br />
For at få klarhed over dette, må vi tilbage til verdens skabelse. Denne fandt sted ved et kæmpebrag,<br />
“Big <strong>Bang</strong>”, for ca. 15 mia. år siden, og ved denne enestående (?) begivenhed dannedes Universet<br />
og dets indhold. Ideen er, at intet eksisterede før Big <strong>Bang</strong>, heller ikke Universet, end ikke i en tom<br />
udgave som blot ventede på at blive fyldt med stof.<br />
Tanken er noget besværlig at have med at gøre. Når vi i det daglige tænker på “ingenting” eller<br />
“intet”, så forestiller vi os vel ofte dette ingenting omsluttet af et eller andet. Hvis vi pumper en<br />
beholder tom for luft, så er der ingenting tilbage i beholderen, men det er netop i forhold til det, der<br />
er udenfor beholderen, at vi kan tale om ingenting inde i beholderen. Ligeledes med det tomme rum<br />
mellem planeterne. Det er et rum eller et område mellem noget håndgribeligt, nemlig planeterne.<br />
Med Big <strong>Bang</strong> er det anderledes. Der var ikke noget “udenom” ingenting; man kan ikke forestille<br />
sig det <strong>hele</strong> set udefra, for ordet udefra giver overhovedet ikke mening. Hvilket også indebærer, at<br />
udtrykket kæmpebrag som blev brugt ovenfor, heller ikke giver mening i denne sammenhæng.<br />
Selve Universet blev dannet og dermed også stoffet i det. Den overvejende del af dette stof blev<br />
senere til brint, ca. 75%, og helium, ca. 25%. Der hændte så det, at brinten og heliummet for en dels<br />
vedkommende klumpede sig sammen i, hvad der senere skulle blive de første stjerner og galakser.<br />
Energiproduktion i stjerner<br />
Sådan en stjerne er karakteristisk ved, at den selv kan producere energi; det sker ved en<br />
kernefusion inde i stjernens centrale dele, hvor fire brintkerner “går sammen” og bliver til<br />
en heliumkerne; på http://ippex.pppl.gov/interactive/fusion/FUSION_VS_TEMP.HTML er der en<br />
lille animation, som viser princippet. Ved denne fusion frigøres energi, som stråles ud til<br />
omgivelserne. De fire brintkerner, der går<br />
sammen til helium, forsvinder dermed fra<br />
stjernen; de kan kun én gang danne<br />
helium. Det kan naturligvis ikke blive ved<br />
i det uendelige, så selv om en stjerne<br />
består af svimlende meget brint, målt med<br />
vores menneskelige alen, så er der kun en<br />
begrænset mængde. Efterhånden består<br />
stjernens centrale område af helium og<br />
ikke brint. Men så kan den fusionsproces,<br />
som er beskrevet ovenfor, ikke foregå. I<br />
stedet sker en reaktion, hvor helium<br />
begynder at fusionere, så tre heliumkerner<br />
danner en kulstofkerne. Afhængig af<br />
stjernens masse vil dens udvikling forløbe<br />
på forskellig vis, men i visse tilfælde kan<br />
helium og kulstof fusionere til ilt, helium<br />
og ilt til neon osv., se figur 1.<br />
4H → He<br />
Figur 1 Illustration af forskellige energiproducerende områder i<br />
en stjernes kerne. Det er altså ikke <strong>hele</strong> stjernen som vises.<br />
Men heller ikke dette kan blive ved i det uendelige. Faktisk stopper det ved jern, idet det ikke<br />
længere er muligt at få energi ved at fusionere tungere grundstoffer end jern. Men hvor kommer så<br />
de grundstoffer fra, som er tungere end jern? Når stjernen har opbrugt alle sine muligheder for at<br />
producere energi ved at fusionere lette grundstoffer til tungere, kan den komme ud for en såkaldt<br />
supernova. Ved denne begivenhed eksploderer stjernen, og selv om det fra et energimæssigt<br />
synspunkt ikke kan “betale sig” at producere grundstoffer, som er tungere end jern, så sker det
Big <strong>Bang</strong> og et par af konsekvenserne 7<br />
alligevel ved denne supernovaeksplosion. Ved<br />
samme lejlighed slynges store mængder af<br />
materiale væk fra stjernen ud i rummet mellem<br />
stjernerne, det som vi kalder det interstellare<br />
rum = “rummet mellem stjernerne”. Det stof,<br />
som i forvejen var her, altså det oprindelige brint<br />
og helium, får nu et tilskud af tungere grundstoffer,<br />
bliver beriget med tungere grundstoffer, som<br />
man siger. Når der næste gang dannes en stjerne<br />
af dette stof, så vil den ikke blot bestå af brint og<br />
helium, men også af tungere grundstoffer. Nogle<br />
stjerner fra denne “anden generation”, vil også<br />
eksplodere som supernovaer og berige det interstellare<br />
rum med tungere grundstoffer.<br />
Efterhånden som koncentrationen af tungere<br />
grundstoffer vokser, vil de stjerner og de<br />
Figur 2 Kosmisk kredsløb.<br />
planeter, som dannes i deres kølvand, også<br />
indeholde tunge grundstoffer; figur 2 viser princippet.<br />
Nu er det ikke sådan, at der er tale om en fuldstændig anderledes sammensætning for disse andenog<br />
trediegenerationsstjerner. For Solen gælder, at der er ca. 78% brint, ca. 21% helium og ca. 1%<br />
alle andre grundstoffer. Det er altså ikke sådan, at verdensrummet oversvømmes af andre<br />
grundstoffer; faktisk er de tunge grundstoffer, som alt det, der er tungere end brint og helium,<br />
betegnes, ikke særlig hyppige i universet, og den koncentration, som vi har på Jorden, er således<br />
ikke typisk.<br />
Opgave 3<br />
Find i en tabel, hvordan fordelingen af masse og grundstoffer er i Solsystemet, og beregn, hvor<br />
mange procent af Solsystemets samlede masse, der er i Solen, i Jupiter og i resten af<br />
Solsystemet.<br />
Galakser<br />
Stjernerne fører ikke en ensom tilværelse spredt jævnt ud i Universet, men klumper sig<br />
sammen i stort tal, i det som vi kalder for galakser. Selve ordet galakse kommer af det<br />
græske ord for “mælk”, og betyder derfor mælkevej. Man kunne altså også med god ret<br />
kalde galakserne for mælkeveje, hvilket man faktisk også ser specielt i ældre litteratur. Den<br />
Figur 3 Mælkevejens form og størrelse.<br />
Ordet galakse<br />
kommer af det<br />
græske gala ord<br />
for mælk
Big <strong>Bang</strong> og et par af konsekvenserne 8<br />
galakse, som rummer Solen og Solsystemet, altså vores galakse, kaldes Mælkevejen. Den har form<br />
som en cirkelformet skive med kugleagtig bule på midten. Skivens tykkelse er ca. 2000 lysår = 2<br />
kilolysår = 2 kilolightyears = 2 kly, og den har en diameter på ca. 100 kly. Fuldstændig ufattelige<br />
tal: det vil tage et lyssignal ca. 50.000 år at bevæge sig fra Mælkevejens centrum og ud til randen.<br />
Solen befinder sig ca. halvvejen, omkring 25 kly = 25.000 ly fra Mælkevejens centrum, se figur 3.<br />
Tykkelsen af bulen er omkring 7 kly, dvs. ca. 3,5 kly på hver side af galaksen.<br />
Opgave 4<br />
Mål diameter og tykkelse af en CD, og lad CD’ens diameter svare til Mælkevejens diameter =<br />
100 kly. Hvor mange CD’ere skal man lægge oven på hinanden for at få en skive med samme<br />
tykkelse som Mælkevejen?<br />
Opgave 5<br />
Mælkevejens centrale bule (engelsk central bulge) er ikke kugleformet. Men opfattes den<br />
alligevel som en kugle med radius r = 3,5 kly, hvor stor skal denne kugle så være i CD-modellen<br />
fra forrige opgave?<br />
Hvad svarer det til: en ært, en bordtennisbold, en appelsin eller andet?<br />
De forskellige mål for Mælkevejen er behæftede med stor usikkerhed, hvilket tydeligt kommer<br />
frem, når man søger oplysninger. Afhængig af hvilke tabeller/bøger/forfattere man opsøger, får man<br />
forskellige svar. Eksempelvis opgives Mælkevejens masse til et sted mellem 1 10 11 og 3 10 11<br />
⋅ ⋅<br />
gange Solens masse. Vi vil regne med at den er 2 10 11 ⋅ gange Solens masse.<br />
Opgave 6<br />
Antag, at Mælkevejen<br />
består af en flad<br />
cylinder (en “flad<br />
konservesdåse”) og en<br />
kugle, se figur 4.<br />
Rumfanget af en<br />
cylinder er Vcylinder =<br />
π<br />
hG = r 2 h, og<br />
rumfanget af en kugle<br />
er kendt fra tidligere. Figur 4 Mælkevejen opfattet som en flad konservesdåse og en kugle.<br />
Find Mælkevejens<br />
rumfang og den gennemsnitlige massefylde Mælkevej (pas på ikke at medregne det rumfang, hvor<br />
cylinderen og kuglen overlapper to gange).<br />
Hvor meget ville CD-modellen veje, hvis den havde samme massefylde som Mælkevej?<br />
ρ<br />
Opgave 7<br />
Sæt Solsystemets radius til afstanden til Pluto, og regn med<br />
at Solsystemet er en “flad konservesdåse”, hvis tykkelse<br />
svarer til Solens diameter.<br />
Find Solsystemets gennemsnitlige massefylde.<br />
Opgave 8<br />
Består Solsystemet mest af ingenting eller af stof/partikler?<br />
ρ
Big <strong>Bang</strong> og et par af konsekvenserne 9<br />
Og Mælkevejen?<br />
Find evt. data for <strong>hele</strong> Universet, og forsøg at gøre en tilsvarende beregning for den<br />
gennemsnitlige massefylde for Universet.<br />
Opgave 9<br />
I Universet bevæger alting sig væk fra alt andet (hvis man ser på en tilpas stor skala). På<br />
grund af massetiltrækningen er der imidlertid en bremsende kraft, som forsøger at<br />
standse dette. Den massefylde, som gør, at denne “flugt væk fra alt” lige netop går i stå,<br />
kaldes for (Universets) kritiske massefylde, og man kan vise, at den er givet ved<br />
ρ<br />
kritisk<br />
3H<br />
=<br />
8πG<br />
2<br />
0<br />
Her er H0 en størrelse, som vi kommer ind på senere. Den kaldes for Hubbles konstant<br />
km / s<br />
og kan sættes til H .<br />
0 = 20<br />
Mly<br />
G = Newtons gravitationskonstant = 6,67 10-11 Nm2 /kg2 ⋅<br />
.<br />
Find kritisk, og sammenlign med de øvrige fundne værdier.<br />
ρ<br />
Solsystemets alder<br />
Det er ikke sådan ligetil at finde ud af, hvor gammelt noget er, hvis der ikke ligger<br />
beretninger om det, eller andre menesker kan bevidne alderen eller noget tilsvarende. Og<br />
det er jo mildest talt ikke tilfældet med Solsystemet. Derfor må man ty til andre midler. Et<br />
af dem er radioaktive metoder. Visse grundstoffer er fra naturens side radioaktive, se<br />
nærmere nedenfor.<br />
Radioaktivitet<br />
At atomkernerne er radioaktive, betyder at de “spytter” en del af kernen ud og derved bliver til<br />
en anden atomkerne; man siger, at atomkernen henfalder under udsendelse af den partikel,<br />
som “spyttes” ud. Fx er uran-238 og kalium-40 begge radioaktive og henfalder efter<br />
skemaerne<br />
og<br />
238<br />
92<br />
40<br />
19<br />
U → Th+ He<br />
234<br />
90<br />
40<br />
18<br />
4<br />
2<br />
0<br />
K + e → Ar<br />
−1<br />
238<br />
92<br />
U = U − 238<br />
Lad os se på, hvad det betyder. Selve symbolet viser, at grundstoffet, som vi taler om<br />
er uran, nemlig det store U. 238 foroven til venstre viser, at urankernen består af 238 kernepartikler,<br />
dvs. af 238 protoner og neutroner, mens 92 forneden til venstre viser, at 92 af de 238 kernepartikler er<br />
protoner. Der er altså 238 - 92 = 146 neutroner.<br />
I det første henfald sker der det, at U-238 atomkernen udsender en He-kerne, som består af 2 protoner<br />
og to neutroner. Tilbage i atomkernen er så 92 - 2 = 90 protoner og 146 - 2 = 144 neutroner. Det<br />
For yderligere<br />
oplysning om<br />
H 0, se fx<br />
http://sciencewo<br />
rld.wolfram.co<br />
m/physics/Hubb<br />
leConstant.html<br />
http://hyperphys<br />
ics.phy-astr.gsu.<br />
edu/hbase/astro/<br />
hubble.html<br />
http://www.kva<br />
nt.dk/Kvant301/<br />
Cramer.pdf<br />
Ordet radioaktiv<br />
stammer fra<br />
latin radius =<br />
stråle, og betyder<br />
således<br />
strålingsaktiv<br />
(det er altså<br />
“dobbeltkonfekt”<br />
når<br />
man bruger<br />
vendingen<br />
radioaktiv stråling<br />
i daglig<br />
tale)
Big <strong>Bang</strong> og et par af konsekvenserne 10<br />
betyder, at uranet er ophørt med at eksistere og er blevet til en thoriumkerne med det kemiske symbol<br />
234<br />
Th. I overensstemmelse med skrivemåden ovenfor betegnes den 90Th<br />
, og vi ser således, at der er<br />
sket en grundstofomdannelse.<br />
40<br />
Noget tilsvarende er hændt 19 K . Blot har denne atomkerne absorberet en elektron fra atomets<br />
inderste område, hvorved én af dens protoner er blevet omdannet til en neutron. For kaliums<br />
vedkommende er der derfor blevet én proton færre og én neutron flere i atomets kerne, dvs. at antallet<br />
af kernepartikler er uændret, men der er nu 18 protoner i kernen mod 19 inden optagelsen af<br />
elektronen. Også her har der fundet en grundstofomdannelse sted, denne gang til luftarten argon, Ar.<br />
Fidusen er nu, at man ved at undersøge hvor meget radioaktivt materiale, der er tilbage i fx et<br />
stykke træ, kan udtale sig om træstykkets alder.<br />
For at få lidt føling med radioaktivt henfald har forfatterne til <strong>bogen</strong> Manhattanprojektet<br />
sammenlignet radioaktivt henfald med terningkast:<br />
En terning “henfalder”, hvis den efter at være kastet viser en 6'er: Tager man således 100 terninger<br />
og kaster dem alle på en gang, så skal man tælle, hvor mange af de 100 terninger som endte med at<br />
vise “6” og pille dem fra, fordi de er “henfaldet”. Lad os sige, at det blev 15 stk.<br />
I næste kasterunde er der så kun 85 terninger tilbage, da de 15 jo er “henfaldet”. Efter at have kastet<br />
de 85 terninger, tæller man<br />
måske 14 6'ere blandt de<br />
85 terninger.<br />
Der er altså nu kun 71<br />
terninger tilbage at kaste<br />
med. Således bliver man<br />
ved, indtil alle terninger er<br />
“henfaldet”. Grafen på<br />
figur 5 viser, hvorledes<br />
100 terninger efterhånden<br />
“henfalder” i løbet af en<br />
stribe kast, hvor det er<br />
forudsat, at 1/6 af<br />
terningerne “henfalder”<br />
ved hver kasterunde. Det<br />
fremgår fx, at efter 2<br />
runder er der ca. 70<br />
terninger tilbage; det vil<br />
altså sige, at ca. 30 af<br />
terningerne viste “6” i<br />
løbet af de første to<br />
antal 6'ere<br />
100<br />
Kast med terninger<br />
90<br />
80<br />
70<br />
60<br />
50<br />
40<br />
30<br />
20<br />
10<br />
0<br />
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28<br />
antal kast, "tid"<br />
Figur 5 Graf som viser, hvordan antallet af terninger aftager efterhånden<br />
som antallet af kasterunder skrider frem.<br />
runder, og efter ni kast vil der være ca. 20 terninger tilbage.<br />
Man kan derimod ikke sige noget om, hvilke terninger der viste “6” i første henholdsvis anden<br />
runde. Det er heller ikke muligt at forudsige, hvilke terninger som vil vise “6” efter den tredie<br />
kasterunde. Derimod vil det være et godt gæt, at ca. 1/6 af terningerne vil vise “6” (situationen svarer lidt<br />
til, at det i et samfund er normalt, at en vis brøkdel af borgerne er indlagt på hospital. Der er således altid ca. det samme antal<br />
personer indlagt. Men det vil i almindelighed ikke være muligt at sige noget om, hvem der vil blive indlagt i løbet af fx den<br />
næste måned).<br />
På den anden side, så kan man også gå den anden vej. Af den samme graf fremgår det, at når der er
Big <strong>Bang</strong> og et par af konsekvenserne 11<br />
10 terninger tilbage, så er det ca. 11 kast siden, at det første kast blev gjort. Det er således muligt at<br />
gå fra antallet af tilbageværende terninger til en viden om hvor mange kast, der er foretaget siden<br />
starten, altså hvor mange kast der er gået siden, der var 100 terninger.<br />
Forestillede man sig nu, at der var “indbygget” terninger i vores planter, træer og andet materiale, og<br />
at disse terninger ville begynde at blive kastet, når træet blev fældet, så ville vi ved at tælle antallet<br />
af 6'ere i et stykke træ kunne udtale os om, hvor mange kast det er siden, at træet blev fældet.<br />
Hvor utroligt det end lyder, så forholder det sig faktisk sådan. Godt nok er der ikke tale om<br />
terninger, men radioaktive kerner. I tilfældet med træet så dannes der i Jordens atmosfære til<br />
stadighed 14 C, en radioaktiv isotop af kulstof. Den sædvanlige isotop af kulstof er 12 C. Kemisk set<br />
indgår denne 14 C isotop på lige fod med al andet kulstof og optages derfor også i træer og planter<br />
ligesom andet kulstof. Men 14 C er radioaktiv, hvilket, som vi har set, betyder, at efterhånden som<br />
tiden går, bliver der mindre og mindre af den. Når det drejer sig om levende træer og planter, så<br />
optager de på den anden side <strong>hele</strong> tiden nyt 14 C i form af CO 2, og tid efter anden vil der indstille sig<br />
en ligevægt mellem det 14 C, som henfalder, og det 14 C som optages; man kan derfor regne med, at<br />
der til stadighed er en konstant mængde 14 C pr. gram træ eller plante. Når træet fældes, holder det op<br />
med at optage CO 2 fra luften, og balancen mellem optaget 14 C og henfaldet 14 C ophører. Der vil<br />
blive mindre og mindre kulstof, dvs. mindre 14 C, efterhånden som tiden går. Ved at måle hvor meget<br />
kulstof der er tilbage i et bestemt stykke træ, får man derfor mulighed for at beregne den tid, der er<br />
gået, siden træet blev fældet. Man siger at alderen er bestemt ved kulstof-14 metoden/ 14 C-metoden.<br />
(Man kan bestemme indholdet af kulstof ved at brænde en bestemt mængde, og på den måde få produceret noget CO 2).<br />
Ligheden med terningkastene er nu oplagt: terningerne svarer til 14 C-kernerne, antallet af kast svarer<br />
til tiden, og de 100 terninger svarer til de 100% 14 C, som træet indeholder ved fældningen. Ved<br />
derfor at måle indholdet af den radioaktive isotop og sammenligne med, hvad den burde være, hvis<br />
træet ikke var blevet fældet, kan man gå ind på en kurve, som svarer til figur 5 og derved finde ud<br />
af, hvor mange år der er gået, siden træet blev fældet.<br />
Man kan indvende, at på et tidspunkt vil alle 100 terninger være “henfaldet”, svarende til at der ikke<br />
er flere radioaktive 14 C-kerner, og der er derfor en øvre grænse for, hvor lange tidsrum man kan<br />
måle. Det er rigtigt set, og i tilfældet med 14 C-metoden gælder, at efter ca. 5730 år er halvdelen af<br />
kernerne henfaldet. Det siger sig selv, at grænsen for målenøjagtighed derfor bestemmer hvor lange<br />
tidsrum, man med denne<br />
metode kan gå tilbage i tid.<br />
Dette har at gøre med, at der<br />
“henfalder” 1/6 af terningerne<br />
i hver kasterunde. Havde vi nu<br />
brugt nogle andre terninger,<br />
kunne det måske have set<br />
anderledes ud. Der findes<br />
“terninger” i handelen med 20<br />
sideflader (et såkaldt<br />
ikosaeder), og havde vi nu<br />
benyttet 100 af dem, så ville<br />
kun 1/20 af terningerne være<br />
“henfaldet” i hver kasterunde,<br />
og der ville gå længere tid,<br />
inden alle 100 var “henfaldet”.<br />
Dermed ville man være i stand<br />
antal 6'ere<br />
100<br />
90<br />
80<br />
70<br />
60<br />
50<br />
40<br />
30<br />
20<br />
10<br />
Kast med terninger<br />
teoretisk kurve, 6-sidet terning teoretisk kurve, 20-sidet terning<br />
0<br />
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30<br />
antal kast, "tid"<br />
Figur 6 Kast med 6-sidet terning og 20-sidet “terning”, et såkaldt ikosaeder.<br />
I begge tilfælde anses terningen at være “henfaldet”, hvis den viser en 6'er.
Radioaktivt henfald<br />
100<br />
90<br />
80<br />
70<br />
60<br />
50<br />
40<br />
30<br />
20<br />
10<br />
Big <strong>Bang</strong> og et par af konsekvenserne 12<br />
til at måle længere tidsrum, se figur 6, hvor kurven for den 20-sidede terning er fladere end for den<br />
almindelige terning. Det betyder netop, at man kan måle længere tidsrum end med den almindelige<br />
terning; på den anden side så bevirker det også, at man er ringere stillet ved korte tidsrum, idet en<br />
vis usikkerhed på y-aksen giver en større usikkerhed på x-aksen, altså tidsaksen, for den flade kurve<br />
end for den stejle. Dette viser blot, at der er brug for både “hurtige” og “langsomme” henfald.<br />
Det er nu så heldigt, at naturen stiller flere radioaktive kerner til rådighed, som vi kan bruge til tidsog<br />
aldersbestemmelse langt tilbage i tid.<br />
Nedenstående skema viser nogle stykker: Ved at måle mængden af slutproduktet kan alderen<br />
bestemmes.<br />
Radioaktiv isotop Slutprodukt Halveringstid i mia. år<br />
238 U<br />
Procentdel af tilbageværende hhv.<br />
dannede kerner<br />
206 Pb 4,50<br />
235 U 207 Pb 0,71<br />
232 Th<br />
87 Rb<br />
208 Pb 13,9<br />
87 Sr 48,8<br />
40 K 40 Ar eller 40 Ca 1,25<br />
Figur 7 viser et henfald med tilhørende vækst i slutproduktet:<br />
radioaktiv kerne slutprodukt<br />
0<br />
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30<br />
tid, vilkårlig enhed<br />
Figur 7 Antallet af radioaktive kerner aftager, mens antallet af såkaldte datterkerner vokser.
2<br />
Big <strong>Bang</strong> og et par af konsekvenserne 13<br />
Lidt om Solsystemets historie<br />
Den opfattelse af Jorden og Solsystemets dannelse, som er kommet til udtryk i det<br />
foregående, har man ikke altid haft; den er egentlig af temmelig ny dato. Måske har man<br />
endda ikke fundet alle planeter i Solsystemet endnu.<br />
I Oldtiden kendte man foruden Jorden, Månen og Solen, Merkur, Venus, Mars, Jupiter og<br />
Saturn, alt sammen noget som kan ses med det blotte øje. De tre yderste planeter, Uranus,<br />
Neptun og Pluto var endnu ikke kendt.<br />
I det følgende skal vi se lidt på, hvordan man indtil ca. 1500 så på Jordens placering i<br />
verden, eller i Universet om man vil.<br />
I begyndelsen af vor tidsregning havde man en såkaldt geocentrisk opfattelse af verden,<br />
dvs. en opfattelse hvor Jorden er placeret i midten, som verdens centrum, og med Månen,<br />
Merkur, Venus, Solen, Mars, Jupiter og Saturn kredsende rundt om i cirkelformede baner<br />
og med konstant fart. Længst væk var (fiks)stjernerne, se figur 8.<br />
En bevægelse, hvor farten er konstant, kaldes for en jævn bevægelse. I dette tilfælde er det<br />
altså en jævn cirkelbevægelse.<br />
Man benytter også betegnelsen Det Ptolemæiske Verdensbillede efter den græske astronom<br />
Ptolemæus (ca.100-ca.165), som i det første århundrede e.v.t. fremstillede dette geocentriske<br />
verdensbillede i <strong>bogen</strong> Almagest.<br />
Imidlertid viste der sig et problem med planeternes faktiske bevægelse mellem stjernerne<br />
set fra Jorden og dette simple system.<br />
Med vore dages opfattelse af<br />
Solsystemet kan problemet<br />
forklares og forstås på følgende<br />
måde: Tænker vi os Solsystemet<br />
set "oppefra", se figur 9, vil fx<br />
Mars, når Jorden overhaler<br />
indenom, bevæge sig baglæns<br />
mellem stjernerne. På figuren<br />
ses Jorden og Mars i<br />
positionerne 1, 2, 3, 4, 5, 6 og 7<br />
samt synslinierne fra Jorden til<br />
Mars i de samme positioner. De<br />
forskellige farver er brugt for at<br />
lette overskueligheden. Fra<br />
Jorden vil det se ud som om,<br />
Mars bevæger sig mellem<br />
stjernerne, men ikke “ligeud”<br />
<strong>hele</strong> tiden, men derimod som<br />
markeret ved (1), (2) osv. til (7).<br />
Læg mærke til, at det set fra<br />
Jorden ser ud som om, Mars<br />
bevæger sig baglæns fra 2 til 6;<br />
det er her, den retrograde<br />
Figur 8 Det Ptolemæiske Verdensbillede, skematisk.<br />
Geocentrisk<br />
kommer af gaia<br />
som betyder jorden,<br />
og centrum<br />
som betyder<br />
midtpunkt.<br />
At systemet er<br />
geocentrisk betyder<br />
således, at<br />
Jorden er i<br />
centrum<br />
Tidligere benyttedes<br />
ordet fiksstjerne,<br />
idet fiks<br />
betyder fast,<br />
dvs. uforanderlig.<br />
I dag taler man<br />
udelukkende<br />
om stjerner og<br />
ikke fiksstjerner<br />
Baglæns bevægelse<br />
kaldes retrogradbevægelse,<br />
i modsætning<br />
til den normalebevægelsesretning<br />
som<br />
kaldes prograd
Figur 9 Mars’ retrograde bevægelse.<br />
bevægelse finder sted.<br />
Big <strong>Bang</strong> og et par af konsekvenserne 14<br />
Deferent og epicykel<br />
Da Jorden på Ptolemæus' tid jo tænktes at være i hvile, og da Mars' bevægelse var en jævn cirkelbevægelse,<br />
kunne idéen om den jævne cirkelbevægelse i<br />
figur 8 ikke forklare dette. Man løste problemet ved at indføre<br />
endnu en cirkelbevægelse: Mars skulle ikke længere<br />
bevæge sig på den oprindelige cirkel, men på en cirkel<br />
hvis centrum lå på den oprindelige cirkel, se figur 10: Den<br />
oprindelige cirkel kaldes deferenten, den nye epicyklen.<br />
Begge bevægelser skulle være jævne og altså foregå med<br />
konstant fart.<br />
Nu om stunder kan man se denne idé udført i visse<br />
moderne karuseller: Man bliver anbragt i en roterende<br />
“tekop”, som igen roterer om et punkt. Personen i<br />
tekoppen svarer så til planeten og det faste punkt, som<br />
<strong>hele</strong> molevitten drejer sig om, svarer til Jorden.<br />
Denne finesse med deferent og epicykel klarede faktisk<br />
Figur 10 Betydning af deferent og epicykel.
Planet<br />
Jorden<br />
Figur 11 Bevægelse sammensat af epicykel og deferent<br />
2<br />
1<br />
0<br />
-2 -1 0 1 2<br />
-1<br />
-2<br />
Figur 12 Figuren viser en deferent med<br />
radius 1 og en epicykel med radius 0,6. Vinkelhastigheden<br />
på epicyklen er dobbelt så<br />
stor som på deferenten og retrograd. Man<br />
ser, at dette valg af deferent og epicykel<br />
giver tre retrograde bevægelser i løbet af et<br />
omløb.<br />
Big <strong>Bang</strong> og et par af konsekvenserne 15<br />
problemet, se figur 11. Denne figur<br />
kan frembringes ved at lade planeten<br />
på epicyklen rotere 4 gange så hurtigt<br />
som centrums rotation på deferenten,<br />
og med en epicykelradius som er det<br />
halve af deferentradius. Rotation af<br />
deferent og epicykel er i samme<br />
retning. Den sammensatte bevægelse,<br />
som er de små firkanter på figuren,<br />
frembringer tre retrograde bevægelser,<br />
så planeten vil, set fra Jorden, bevæge<br />
sig baglæns tre gange i løbet af ét<br />
omløb. Figuren giver også et indtryk<br />
af, hvorledes planetens fart varierer<br />
under bevægelsen. Der er samme<br />
tidsrum mellem to på hinanden<br />
følgende firkanter, så dér, hvor de små<br />
firkanter ligger tæt, er farten lav. Den<br />
punkterede cirkel er deferenten.<br />
Figur 12 og 13 viser resultatet af<br />
retrograd epicykelbevægelse og en<br />
prograd deferentbevægelse, dels med<br />
Figur 13 Som figur 12, men med positionen<br />
markeret som enkeltpunkter, så man kan se<br />
farten i bevægelsen.
Big <strong>Bang</strong> og et par af konsekvenserne 16<br />
<strong>hele</strong> banekurven og med punkter som i figur 11.<br />
Ved hjælp af et regneark kan man selv konstruere sådanne epicykel/deferentbevægelser. Skriv fx<br />
som nedenfor i regnearket, figur 14, og kopier cellerne, så der kommer et passende antal punkter<br />
med på grafen. Brug B- og C-søjlerne som x- og y-koordinater:<br />
Figur 14 Formler til brug ved tegning af epicykel/deferent i et regneark.<br />
Også mange lommeregnere kan tegne sådanne grafer, og ligesom med et regneark kan man selv<br />
forsøge sig ved at bruge samme formler som i regnearket. Mulige resultater, med og uden<br />
koordinatsystem, ses i figur 15-20, hvor deferenten er medtaget i stiplet udgave:<br />
Figur 15 Figur 16<br />
Figur 18 Figur 17<br />
Figur 20 Figur 19<br />
Som det fremgår af ovenstående, så kunne den sammensatte bevægelse beskrive de faktisk<br />
observerede bevægelser, hvis man valgte deferent epicykel og omløbsfart med omhu. Indførelsen af<br />
epicykler betød, at man måtte modificere den oprindelige idé, således at der blev plads mellem de<br />
forskellige baner til epicyklerne, idet ingen baner måtte krydse hinanden.<br />
Hermed var problemet klaret. Man havde en beskrivelse af planeternes og Solens årlige bevægelse<br />
og var endda i stand til at beregne, hvor såvel Solen som planeterne skulle være på himlen, og<br />
modellen var beundringsværdig livskraftig. Vi skal frem til omkring 1200-tallet, før man begyndte<br />
at stille spørgsmålstegn ved denne model, men i løbet af de følgende ca. 300 år fremkom en del<br />
kritik, som kulminerede med, at en model, der havde Solen i centrum, blev offentliggjort. Dette er<br />
en heliocentrisk model og skyldes Nicolaus Copernicus (1473-1543). Til ære for Copernicus omtales
Big <strong>Bang</strong> og et par af konsekvenserne 17<br />
Figur 21 Venus' faser i et heliocentrisk system. Figuren viser Solen,<br />
Venus og Jorden, set "skråt oppefra", i følge den copernikanske opfattelse.<br />
Når Venus befinder sig mellem Solen og Jorden, 1, vil den belyste<br />
side af Venus vende mod Solen, og fra Jorden vil planeten derfor være<br />
mørk. I 2 kan man fra Jorden se en "halvvenus", i 3 en "fuldvenus” ( i<br />
princippet, Solen står i vejen) og i 4 igen en "halvvenus", men nu med<br />
den belyste side modsat af 2. Da Venus' omløbstid om Solen er mindre<br />
end Jordens, vil samtlige af disse faser, tid efter anden, kunne observeres<br />
fra Jorden.<br />
hans verdensbillede også som Det Copernikanske Verdensbillede. I løbet af det tidlige<br />
1600-tal blev kikkerten opfundet af Galilei (1564-1642); han opdagede, at Jupiter har måner<br />
og dermed, at alt altså ikke roterer om Solen for slet ikke at tale om Jorden.<br />
Figur 22 Venus’ faser i et geocentrisk system.<br />
Oveni kom, at det også blev opdaget, at<br />
Venus ligesom Månen har faser.<br />
Efter Ptolemæus' opfattelse befinder<br />
Solen sig længere væk fra Jorden end<br />
Venus. I Oldtiden vidste man godt, at<br />
Venus kun kan ses som morgen- eller<br />
aftenstjerne; det kan man klare i det<br />
ptolemæiske system ved passende<br />
indretning af epicykel- og<br />
deferentbevægelserne eller ved at lade centrum<br />
for Venus' epicykel ligge på en ret linie fra Jordens<br />
til Solens centrum, figur 22.<br />
Når dette er tilfældet, kan man af figuren se, at<br />
samtlige venusfaser ikke kan forekomme, altså<br />
en fjer i hatten til det nye system. Hertil<br />
kommer, at planeternes rækkefølge også får en<br />
naturlig forklaring hos Copernicus, idet de to<br />
planeter, Merkur og Venus, begge viser faser og følgelig befinder sig mellem Solen og Jorden.<br />
Ifølge Det Copernikanske Verdensbillede er Solen altså i hvile i Universets centrum, og planeterne<br />
bevæger sig i jævne cirkelbaner om Solen. Rækkefølgen er den rigtige:<br />
Merkur,<br />
Venus,<br />
Jorden,<br />
Mars,<br />
Jupiter<br />
Helios er<br />
græsk for sol.<br />
Grundstoffet<br />
helium, som<br />
blev opdaget<br />
første gang på<br />
Solen, er<br />
ligeledes<br />
opkaldt efter<br />
denne
Big <strong>Bang</strong> og et par af konsekvenserne 18<br />
Saturn.<br />
Som tidligere nævnt var Uranus, Neptun og Pluto ikke kendt i Oldtiden, og mangler derfor hos<br />
Ptolemæus. Men heller ikke omkring år 1600 var de resterende planeter kendt, og de mangler derfor<br />
også hos Copernicus.<br />
Parallakse<br />
Nu er de virkelige planetbaner imidlertid ikke<br />
cirkler, men ellipser. Det vidste man ikke på<br />
den tid, så også Copernicus måtte gøre brug af<br />
epicykler for at få det <strong>hele</strong> med. Det er dog<br />
ikke spørgsmålet om epicykler, men selve<br />
Jordens rotation om Solen, som generede<br />
mange. Hvis Jorden roterer om Solen, så vil<br />
sigtelinien fra Jorden til en nærtliggende<br />
stjerne ændre sig i årets løb, figur 23.<br />
Figuren viser Jorden i to positioner A og et<br />
halvt år senere B. Det ses, at sigtelinierne til<br />
stjernen i de to positioner danner en vinkel v Figur 23 En stjernes parallakse.<br />
med hinanden. Det halve af denne vinkel, p,<br />
kaldes stjernens parallakse og kan således beskrives som den vinkel, hvorunder man fra stjernen<br />
ville kunne se radius i jordbanen.<br />
Det er denne vinkel, Jordens parallakse, som i de følgende mange år var årsag til en strid om,<br />
hvorvidt Jorden bevæger sig eller ej.<br />
På Hven sad datidens bedste observator, Tycho Brahe (1546-1601), og han satte sig for at måle<br />
parallaksen for en stjerne. Men trods omhu og ildhu kunne han ikke, til trods for at Tycho Brahes<br />
nøjagtighed var meget fornem.<br />
Den tillod ham at måle ned til 1' = ét bueminut.<br />
For at få en idé om denne præcision kan man forestille sig en person (=1,75 m) i afstanden a, figur<br />
24.<br />
Figur 24 Illustration af et bueminut.<br />
175 , m<br />
tan( v)<br />
=<br />
a<br />
c<br />
175 , m<br />
a = = 6km<br />
tan( 1')<br />
Tycho Brahes opløsningsevne svarer<br />
altså til den vinkel, hvorunder man ser<br />
en person i en afstand på 6 km.<br />
En anden måde at illustrere denne vinkel på er, at Tycho Brahe altså var i stand til at måle<br />
parallaksen for stjerner, som befinder sig nærmere end (se forklaring på enhederne pc og<br />
AU nedenfor)<br />
a = 1/60 pc = 3500AU = 3500 ⋅<br />
(afstanden mellem Jorden og Solen).<br />
Links om Tycho<br />
Brahe:<br />
http://www.kb.d<br />
k/elib/lit/dan/br<br />
ahe/<br />
http://www.kb.d<br />
k/elib/lit/dan/br<br />
ahe/<br />
http://www.udst<br />
illinger.dnlb.dk/<br />
astroweb/Astro<br />
nomer/Brahe.ht<br />
ml
Big <strong>Bang</strong> og et par af konsekvenserne 19<br />
I dag véd vi, at den nærmeste stjerne, Proxima Centauri, er 1,31pc væk, svarende til godt<br />
270.000AU, eller en parallakse på ca. 0,76".<br />
Man inddeler et bueminut i 60 lige store dele, kaldet et buesekund, 1", dvs. at 1' = 60". Hvis Tycho<br />
Brahe skulle have opdaget parallaksen, så skulle han have været i stand til at måle godt 60 gange<br />
bedre, end han kunne. Altså en parallakse som ligger meget langt fra Tycho Brahes ellers formidable<br />
formåen.<br />
Hvis vinklen p i figur 23 er 1", siger man, at afstanden til stjernen er 1 parsec. Da denne vinkel er<br />
parallaksen, kunne man derfor også udtrykke, at en parallakse på 1" betyder, at afstanden til stjernen er<br />
1 parsec, forkortet 1pc. Bliver mindre, vil afstanden blive større.<br />
Kaldes afstanden til stjernen for a og parallaksen for p, så gælder der i almindelighed følgende<br />
sammenhæng mellem a og p:<br />
a<br />
=<br />
p<br />
1<br />
Måles p i buesekunder, får a pr. definition enheden parsec.<br />
Man kan vise, at<br />
1 pc = 3,09 10 16 ⋅ m = 3,26 ly.<br />
Ordet parsec er afledt af de engelske ord for parallakse<br />
og sekund: parallax og second.<br />
Tycho Brahe forsøgte at få sine målinger<br />
til at passe til sin opfattelse af afstandene<br />
i Universet. Ifølge hans egne<br />
målinger skulle afstanden fra<br />
Saturn til stjernerne være 700<br />
gange så stor som afstanden<br />
fra Solen til Saturn. Dette enorme<br />
tomme rum mellem<br />
Saturn og stjernerne ville<br />
han ikke acceptere ud fra<br />
idéen om, at "Gud skaber<br />
ikke noget forgæves", og<br />
for Tycho Brahe blev løsningen<br />
et system, som lod<br />
Jorden være i hvile i verdens<br />
centrum med Månen<br />
og Solen kredsende rundt<br />
om - som hos Ptolemæus.<br />
De øvrige af Solsystemets<br />
medlemmer kredsede til gengæld<br />
om Solen - som hos<br />
Copernicus. Figur 25 viser dette<br />
"geoheliocentriske" system.<br />
Keplers love<br />
Figur 25 Tycho Brahes “geoheliocentriske” verdensbillede, Det Tychoniske<br />
Verdensbillede, skematisk.
Big <strong>Bang</strong> og et par af konsekvenserne 20<br />
Det fik en kort levetid, idet Johannes Kepler (1571-1630), som efter Tycho Brahes død arbejdede<br />
videre med hans målinger, i 1609 kunne offentliggøre to vigtige resultater:<br />
og<br />
Keplers første lov:<br />
Planeterne bevæger sig i ellipseformede baner om Solen med Solen i det ene brændpunkt.<br />
Keplers anden lov:<br />
De af radiusvektor overstrøgne arealer i lige<br />
store tidsrum er lige store,<br />
se figur 26:<br />
t 2 - t 1 = t 4 - t 3<br />
⇓<br />
A 1 = A 2<br />
I 1618 fandt han:<br />
Keplers tredie lov:<br />
For planeterne i solsystemet gælder:<br />
2<br />
T<br />
3 = konstant<br />
a<br />
Figur 26 Keplers anden lov.<br />
hvor T = planetens omløbstid om Solen, og a = den halve storakse i planetens<br />
ellipseformede bane.<br />
Opgave 10<br />
Sæt afstanden mellem Jorden og Solen til 1 AU, og Jordens omløbstid om Solen til 1 år.<br />
Indsæt disse to tal i Keplers tredie lov, og find herved konstanten.<br />
Opgave 11<br />
Benyt nedenstående tabel til at finde planeternes middelafstande til Solen. Bemærk<br />
enheden.<br />
Planet Merkur Venus Jorden Mars Jupiter Saturn Uranus Neptun Pluto<br />
T (år) 0,2408 0,6152 1,0000 1,8808 11,8621 29,4574 84,0096 164,7885 248,5928<br />
a (AU)<br />
Opgave 12<br />
Benyt Keplers anden lov til at afgøre, om en planets fart er størst i perihel eller i aphel? Se figur<br />
Link til en<br />
animation som<br />
viser Keplers<br />
love:<br />
http://www.kepl<br />
er.arc.nasa.gov/j<br />
ohannes.html<br />
http://www.astr<br />
o.utoronto.ca/~z<br />
hu/ast210/keple<br />
r.html<br />
http://www.suns<br />
ite.ubc.ca/Livin<br />
gMathematics/<br />
V001N01/UBC<br />
Examples/Keple<br />
r/kepler.html
27.<br />
Big <strong>Bang</strong> og et par af konsekvenserne 21<br />
Figur 27 Punktet længst fra Solen, aphel, og punktet nærmest Solen,<br />
perihel.<br />
Den moderne opfattelse<br />
Hermed er vi fremme ved den nutidige opfattelse af vort solsystem. Tilbage var nu "kun" at<br />
forklare, hvorfor planeterne bevæger sig, som de gør. Først med Isaac Newtons (1642-1727)<br />
offentliggørelse af Principia i 1687, blev det slået fast, at planeternes bevægelse rundt om<br />
Solen skyldes tyngdekraften, og Newton formåede endda at udlede Keplers tre love ud fra<br />
sin egen teori om tyngdekraften.<br />
Opgave 13<br />
I begyndelsen af Principia vises Keplers anden lov. Find denne sætning, og gennemgå<br />
den grundigt.<br />
(Principia, vol. I, The Motion of Bodies, Book I, Section II, Proposition I, Theorem I)<br />
I tiden efter Newton fortsatte man med at lede efter den tidligere omtalte parallakse, men<br />
først i 1838 lykkedes den tyske astronom Bessel (1784-1846) at måle den første parallakse.<br />
Dog var det ikke sådan, at man i den mellemliggende tid var i tvivl om det copernikanske<br />
systems gyldighed, idet der var mange andre observationer, som fandt en naturlig<br />
forklaring, bl.a. de tidligere omtalte faser af Merkur og Venus. Med parallaksemålinger<br />
kunne man for øvrigt nu håbe på at have fundet en metode til afstandsbestemmelse i<br />
Universet. Som det dog fremgår af kapitel 1, er afstandene i Universet imidlertid så store, at<br />
det kun er de allernærmeste stjerner, man kan finde parallaksen for og dermed deres<br />
afstand. I praksis er man derfor overladt til andre metoder til afstandsbestemmelse. På<br />
http://www.astro.ku.dk/~kp/Undervis/DKNO/baggrund1.htm kan man finde beskrivelser<br />
af metoder til afstandsbestemmelse foruden mange andre oplysninger.<br />
I 1920'erne opdagede Edwin Hubble (1889-1953) (http://www.pbs.org/wgbh/aso/databank/<br />
entries/bahubb.html), at på tilpas stor skala fjerner alt i Universet sig fra hinanden,<br />
Universet udvider sig (http://www.fipnet.gymfag.dk/kosmologi/verden/flugt.htm). Han<br />
fandt, hvad man senere har kaldt Hubbles lov, nemlig at afstanden til en galakse og dennes<br />
fart væk fra os er proportionale. Det vil altså sige, at afstanden til galaksen r og dens fart v<br />
hænger sammen gennem Hubbles lov:<br />
Litteraturen om<br />
Newton er overvældende,<br />
og<br />
aldeles uoverskuelig.<br />
Her<br />
skal blot gives<br />
nogle få links:<br />
http://www.mat<br />
hs.tcd.ie/pub/Hi<br />
stMath/People/<br />
Newton/RouseB<br />
all/RB_Newton.<br />
html<br />
http://www.new<br />
ton.cam.ac.uk/n<br />
ewtlife.html<br />
http://www-gro<br />
ups.dcs.st-and.a<br />
c.uk/~history/M<br />
athematicians/N<br />
ewton.html<br />
http://www.udst<br />
illinger.dnlb.dk/<br />
astroweb/Astro<br />
nomer/Newton.<br />
html
v = H 0r<br />
Herved fandt man, at heller ikke Solen er Universets centrum,<br />
men at der overhovedet ikke er et centrum. Så hvad<br />
der til at begynde med lignede menneskets centrale<br />
placering i verden, er nu i vor egen tid blevet til en noget<br />
mere ydmyg plads. Til gengæld er det selv samme menneske<br />
i dag i stand til at udforske de fjerneste egne af<br />
Universet vha. avancerede teleskoper og at landsætte<br />
selvkørende “biler” på Mars. I mellemtiden er det også<br />
blevet til besøg på Månen og satellitbesøg til alle<br />
Solsystemets planeter med undtagelse af Pluto, hvorved<br />
enorme mængder af data er returneret til Jorden.<br />
Big <strong>Bang</strong> og et par af konsekvenserne 22<br />
Figur 28 Hubbles lov. Enhederne på<br />
akserne er vilkårlige, og grafen tjener kun<br />
som illustration af Hubbles lov. Se opg.14<br />
Opgave 14<br />
Gå ind på http://www.fipnet.gymfag.dk/kosmologi/opgaver/o_02.htm og løs den stillede opgave<br />
(kopier eventuelt dataene til et regneark).<br />
Har man ikke adgang til internet, må man selv taste, se tabellen nedenfor.<br />
Afbild v ud ad y-aksen og r ud ad x-aksen.<br />
Bestem den bedste rette linie, og find dens hældningskoefficient og dermed H 0. Vær opmærksom<br />
på, at H 0 kommer ud med en “underlig” enhed:[H 0] = km/s/Mly.<br />
Navn Afstand = r Hastighed = v<br />
Mly 10 3 km/s<br />
UMa 80,1 1,27<br />
Fornax 78,2 1,38<br />
Centaurus 203 3,39<br />
Hydra I 242 3,49<br />
Pegasus 215 3,88<br />
Cancer 298 4,9<br />
Pisces 283 5,11<br />
Perseus 323 5,47<br />
Zw 74-23 375 6,23<br />
A1367 394 6,64<br />
A400 461 6,99<br />
Coma 411 7,14<br />
A539 524 8,5<br />
A2634/66 450 8,61<br />
A1185 724 10,5<br />
A2147 697 10,5<br />
Hercules 648 11,2
Bemærk i øvrigt udseendet af Hubbles lov:<br />
v = H 0r<br />
Hvis vi dividerer ligningen med H 0, får vi:<br />
r = v<br />
H 1<br />
0<br />
der jo ligner<br />
Big <strong>Bang</strong> og et par af konsekvenserne 23<br />
r = vt<br />
1<br />
Så hvis vi regner med, at Universets udvidelse er foregået med en konstant fart, så svarer til<br />
H0<br />
Universets alder.<br />
Opgave 15<br />
Brug værdien af H 0 fra opgave 14, og find værdien af H 0 i SI-enheder, dvs. find H 0 med enheden<br />
s -1 .<br />
Find herved Universets alder.<br />
Hvis man vil dykke mere ned i emnet så er http://www.stsci.edu/resources/ og http://amazing-space.stsci.edu/capture/<br />
gode links at besøge.
3<br />
Big <strong>Bang</strong> og et par af konsekvenserne 24<br />
Jorden<br />
Det er karakteristisk for solsystemet, at planeterne med de tunge grundstoffer, dvs. Merkur, Venus,<br />
Jorden og Mars alle har faste overflader, mens de store gasplaneter består af lette grundstoffer og<br />
ikke har en fast overflade. Pluto udgør sit eget specialtilfælde, ligesom det har været et<br />
diskussionsemne, hvorvidt Pluto overhovedet burde kaldes en planet. Det er endt med, at Pluto er en<br />
planet.<br />
Af planeter med faste overflader er Jorden af indlysende grunde den, som betyder mest for<br />
mennesket. Som tidligere nævnt er Jorden dannet (som et biprodukt?) ud af den kondenserende sky,<br />
som skabte Solen.<br />
Ved selve sammentrækningen opvarmedes skyen yderligere. Oveni kom, at det tidlige solsystem<br />
også var fyldt med mindre genstande end de kommende planeter. Disse faldt ind i den unge Jord,<br />
dels pga. Jordens tyngdekraft, dels som følge af at Jorden bevæger sig rundt om Solen. Jorden så at<br />
sige “fejer” den del af verdensrummet, som den bevæger sig igenem.<br />
Opgave 16<br />
Find Jordens radius R jord, og beregn hvor stort et areal en cirkel med R jord som radius har.<br />
Find radius i jordbanen om Solen, og beregn hvor stort et rumfang Jorden gennemløber på et år.<br />
Opgave 17<br />
Antag, at der er 1 g/m 3 i Jordens bane, og at Jorden fejer altsammen op.<br />
µ<br />
Hvor meget bliver det til i løbet af et år?<br />
Hvor stor en brøkdel udgør dette af Jordens masse?<br />
Var der monstro større tæthed af støv på Jordens vej gennem rummet dengang, den blev dannet,<br />
end i dag?<br />
Disse nedfaldende/opfejede legemer bidrager også til opvarmningen, selv om der<br />
selvfølgelig også til stadighed sker en afkøling via stråling til verdensrummet. En afkøling<br />
som stadig finder sted.<br />
Ud over at være skabt varm blev Jorden via sin kemiske sammensætning også udstyret med<br />
grundstoffer, som er naturligt radioaktive, hvilket, som vi tidligere har set, betyder, at<br />
atomkernerne “går i stykker”. Det drejer sig om grundstofferne uran, thorium og isotopen<br />
40 K af kalium. De udsender en partikel, hvorved de ændres til et andet grundstof, se kapitel<br />
1. I denne proces dannes energi i form af varme, en varme som, før den kan udstråles til<br />
verdensrummet, skal ud til Jordens overflade. Det tager lang tid, og resultatet er, at Jorden<br />
er varm.<br />
Figur 29 Den ganske<br />
unge Jord.<br />
Nu har man af gode grunde ingen målinger fra den tid; for 4,6<br />
mia. år siden var der næppe tænkt på, at mennesket en dag ville<br />
undres over, hvordan temperaturen af den unge Jord var. Der må<br />
man ty til beregninger og modeller over, hvordan temperaturen vil<br />
udvikle sig. Resultatet af sådanne modeller viser, at temperaturen<br />
faktisk er steget siden Jordens dannelse. Bjergarter er nemlig<br />
dårlige til at lede varme, så varmeproduktionen ved de radioaktive<br />
henfald skaber mere varme, end Jorden kan nå at udstråle. Som<br />
resultat heraf steg Jordens temperatur i løbet af den første mia. år.<br />
Der frigives ca.<br />
20 cal = 84 J pr.<br />
cm 3 granit i<br />
løbet af 1 mio.<br />
år. En kop kaffe<br />
svarer til ca. 15<br />
g vand, og for at<br />
opvarme denne<br />
mængde skal<br />
der bruges<br />
1cal/(g K) 15g<br />
⋅<br />
⋅ ⋅<br />
80K = 1200<br />
cal. Forestiller<br />
man sig, at al<br />
energien fra 1<br />
cm 3 granit<br />
bruges til at<br />
brygge en kop<br />
kaffe, vil der gå<br />
1200cal/(20cal/<br />
mio. år) = 60<br />
mio. år inden<br />
kaffen er klar
Big <strong>Bang</strong> og et par af konsekvenserne 25<br />
Figur 29 illustrerer, hvordan man regner med, at den nydannede Jord<br />
var ensartet, homogen, men efterhånden som temperaturen steg og<br />
nåede jerns smeltepunkt, sank det smeltede jern til bunds. I den<br />
målestok som her er på tale betyder “at synke til bunds” det samme<br />
som at søge mod Jordens centrum, illustreret på figur 30. Idet lette<br />
materialer flyder ovenpå, får vi en lagdeling af Jorden, som på figur<br />
31 med en jernkerne i de centrale dele, en kappe og en skorpe<br />
bestående af lette materialer.<br />
Læg mærke til målene på figur 31. Skorpen er ganske tynd, mellem<br />
10 og 40 km.<br />
Figur 30 Den begyndende<br />
lagdeling af Jorden.<br />
Opgave 18<br />
Sæt jordradius til 20 cm, og tegn i denne målestok Jorden med indre og ydre kerne, kappe og<br />
skorpe.<br />
Pladetektonik<br />
Man forestiller sig, at kontinenterne flyder på kappen, og at der i denne kappe er strømninger, som<br />
får kontinenterne til at bevæge sig, se figur 32. Der hvor pladerne bevæger sig væk fra hinanden, er<br />
der en sprække, og flydende materiale fra kappen vælder op, således at havbunden til stadighed<br />
fornyes. Fx bevæger pladen med det<br />
amerikanske kontinent og pladen med<br />
Afrika sig væk fra hinanden; her<br />
befinder sprækken sig midt i<br />
Atlanterhavet.<br />
Et vigtigt argument for at det netop<br />
forholder sig sådan, er alderen på<br />
havbundene, idet man har fundet, at<br />
den ikke overstiger 200-300 mio. år.<br />
Det tolkes sådan, at den modsatte side<br />
af pladen, som mødes med endnu en<br />
plade, vil blive presset ned under<br />
denne tredie plade, der hvor de støder<br />
sammen, figur 32. Ved dette<br />
sammenstød vil de to plader begge<br />
blive “krøllede”, og “krøllerne” viser<br />
sig som bjergkæder, eksempelvis<br />
Andesbjergene i Sydamerika. Under Figur 31 Jordens nuværende struktur, meget forenklet.<br />
neddykningen bliver pladen<br />
opvarmet, og i en dybde af 600-700 km er den smeltet sammen med omgivelserne og eksisterer<br />
således ikke mere som en egentlig plade. Det opvarmede og smeltede materiale stiger til vejrs med<br />
vulkanisme til følge. Det er påfaldende, hvorledes pladegrænser, vulkanisme og jordskælv er<br />
sammenfaldende, se fx http://vulcan.wr.usgs.gov/Glossary/PlateTectonics/Maps/map_plate_tectonics_world.html<br />
På figur 32 ses at den neddykkende plade dykker “skråt” ned. De jordskælv, som sammenstødet<br />
giver anledning til, bør altså ligge dybere, jo længere fra pladegrænsen de finder sted, hvilket er i
Big <strong>Bang</strong> og et par af konsekvenserne 26<br />
Figur 32 Pladebevægelser. Havbund dannes ved spredning af plader, mens der foregår<br />
bjergkædedannelse når en plade dykker under en anden.<br />
overensstemmelse med, hvad man observerer. Igen ses en bekræftelse af teorien om “de vandrende<br />
plader”, en teori som går under navnet pladetektonik.<br />
Opgave 19<br />
Find afstanden mellem den midtatlantiske højderyg og Andesbjergene i Sydamerika, således at<br />
de tre afstande ikke er alt for ens. Pladehastighederne varierer betydeligt fra sted til sted, mellem<br />
ca.1 cm/år og 12 cm/år, men regn i dette tilfælde med at pladerne bevæger sig fra hinanden med<br />
en fart af 2-4 cm/år.<br />
Beregn, hvor lang tid der, går fra at ny havbund dannes ved højderyggen, og til denne nye bund<br />
har bevæget sig til Andesbjergene.<br />
Når nu pladerne bevæger sig, kunne man få den idé, at de ikke altid har befundet sig, hvor de er i<br />
dag. Hvilket da heller ikke er tilfældet. Billedeserien på http://www.enchantedlearning.com/subjects/astronomy/planets/earth/Continents.shtml<br />
(klik en enkelt gang ude til højre for at komme et<br />
stykke ned på siden) viser, hvordan kontinenterne har bevæget sig rundt på Jorden de seneste 800<br />
mio. år.<br />
Erosion<br />
Vi vender nu tilbage til meteoritten, som stødte ind i Jorden. Hvis vi regner med, at den slags<br />
sammenstød har været en normal foreteelse i det nydannede solsystem, så må det undre, hvorfor<br />
Jorden ikke i lighed med fx Månen er fyldt med kratere. Der er endda en teori om, at et<br />
meteoritnedslag for ca. 65. mio. år siden var årsag til dinosaurernes uddøen. Mekanismen<br />
skulle være, at nedslaget har givet en stor mængde af ekstra støv i atmosfæren, helt op i den<br />
del af atmosfæren som kaldes stratosfæren. Og dette støv har fungeret som et slags gardin<br />
for sollyset, så temperaturen faldt. Eksistensvilkårene for dinosaurerne ændredes markant<br />
og de kunne ikke overleve. Det er vigtigt for argumentet, at støvet kom op i stratosfæren,<br />
for i den nederste del af atmosfæren, troposfæren, bliver den slags hurtigt udvasket af regn<br />
og anden form for nedbør, men i stratosfæren er der “ikke noget vejr”, så der går lang tid,<br />
inden en sådan forurening forsvinder.<br />
Når kratrene ikke mere er synlige her på Jorden, så skal man huske på, at i modsætning til<br />
Månen har Jorden en atmosfære og flydende vand, som i tidens løb nedbryder Jordens<br />
overflade og altså bevirker, at sporene slettes i løbet af forholdsvis kort tid.<br />
Et link til en<br />
side om nedbrydning<br />
af<br />
bjergarter:<br />
http://www.mo<br />
orlandschool.c<br />
o.uk/earth/rock<br />
cycle.htm
Big <strong>Bang</strong> og et par af konsekvenserne 27<br />
Jordens atmosfære<br />
Der er også en teori om, at Jordens atmosfære er kommet udefra. Denne gang i<br />
form af kometer. Disse består nemlig hovedsagelig af (vand)is, og et voldsomt<br />
bombardement af kometer har så skabt vandet på Jorden; det er så at sige<br />
importeret fra rummet. En mindre eksotisk teori går ud på, at vulkanisme er<br />
årsagen til atmosfæren (på http://volcano.und.nodak.edu/vwdocs/volc_images/<br />
volc_images.html kan man finde en del mere om vulkaner). Sammen med lava<br />
udspyr vulkaner store mængder af gasser deriblandt vand. Vanddampen er<br />
sidenhen kondenseret til flydende vand og har lagt sig på Jordens overflade.<br />
Opgave 20<br />
Find i en tabel, hvor meget vand der er i verdenshavene og på Antarktis og<br />
Grønland. Kometers størrelse varierer meget, men hvis vi går ud fra, at en<br />
komet har en diameter på 1 km, og at halvdelen af den er vand, hvor mange<br />
kometer har så ramt Jorden, hvis al vandet stammer herfra?<br />
Opgave 21<br />
Hvis Jorden har været udsat for et kometbombardement, så må Månen også<br />
have været det.<br />
Hvordan kan det være, at Månen ikke har flydende vand eller i det <strong>hele</strong> taget<br />
en atmosfære?<br />
Blandt de næsten uendelig<br />
mange links om Jorden er<br />
der her nogle stykker, som<br />
er værd at besøge:<br />
http://www.dr.dk/Vidensk<br />
ab/Emner/Universet/unive<br />
rset_az/Jorden.htm<br />
http://www.scotese.com/p<br />
canima.htm<br />
http://www.odsn.de/odsn/s<br />
ervices/paleomap/paleoma<br />
p.html (her skal man<br />
vælge “animation” tre<br />
linier nede i teksten)<br />
Flotte og instruktive<br />
animationer fra Danmarks<br />
Radio; Geoguiden:<br />
http://www.dr.dk/nyheder/<br />
udland/article.jhtml?article<br />
ID=236133<br />
http://volcano.und.nodak.e<br />
du/vwdocs/vwlessons/less<br />
ons/Pangea/Pangea1.html<br />
http://library.thinkquest.or<br />
g/17457/platetectonics/2.p<br />
hp?tqskip1=1<br />
http://www.enchantedlear<br />
ning.com/subjects/astrono<br />
my/planets/earth/Continen<br />
ts.shtml<br />
http://www.bbc.co.uk/educ<br />
ation/rocks/flash/indexfull.<br />
html<br />
http://vulcan.wr.usgs.gov/<br />
Graphics/framework2.html
4<br />
Big <strong>Bang</strong> og et par af konsekvenserne 28<br />
Dag og nat<br />
Som vi tidligere har været inde på, så roterer Jorden dels om sin egen akse dels om Solen.<br />
Rotationen om Solen varer ét år, nemlig tidsrummet fra forårsjævndøgn til det næstfølgende<br />
forårsjævndøgn (man kunne også tilsvarende vælge vintersolhverv, sommersolhverv eller<br />
efterårsjævndøgn).<br />
Jordens rotation om sin akse foregår én gang i løbet af et døgn, dvs. middag den ene dag til den<br />
næstfølgende middag. Rotationen foregår om en akse en akse gennem Jordens nordpol og sydpol og<br />
er årsag til, at vi har dag og nat, se figur 33 og figur 34.<br />
Figur 33 Den side af Jorden, som vender mod Solen, er belyst. Der er dag. Den side, som<br />
vender væk fra Solen, ligger derfor i mørke, da Jorden selv skygger for Solens lys. Der er derfor<br />
nat.<br />
Målestokken er ekstremt forvrænget.<br />
Figur 34 På grund af Jordens rotation om sin egen akse vil Solen ikke være det samme sted<br />
på himlen set fra forskellige positioner på Jorden. I punkt A vil Jorden “lige om et øjeblik” dreje<br />
så meget, at Jorden ikke længere skygger for Solens lys, daggryet nærmer sig. Der vil være<br />
morgen. I C vil Jorden “lige om et øjeblik” dreje så meget, at Jorden igen vil skygge for Solens<br />
lys. Der vil være aften. Mellem A og C vil der være middag i B på dagsiden og midnat i D på<br />
natsiden.
5<br />
Årstider<br />
Big <strong>Bang</strong> og et par af konsekvenserne 29<br />
o<br />
Jordens akse står ikke “lodret”, men hælder en smule, ca. 23 væk fra lodret, se figur 35, som viser<br />
Jorden i fire forskellige positioner i løbet af et år.<br />
Aksens retning i rummet ændrer sig ikke nævneværdigt fra år til år (men over tidsrum på tusindvis<br />
af år sker der noget), hvilket har til følge, at den på et bestemt tidspunkt af året, i positionen A, peger<br />
ind mod Solen. Et halvt år senere vil den derfor pege væk fra Solen, C på figuren.<br />
Når aksen peger ind mod Solen, er der sommer på den nordlige halvkugle, og når den peger væk fra<br />
Solen, er der vinter.<br />
Ind i mellem er der naturligvis efterår og forår, B og D .<br />
Figur 35 Årstider på Jorden som følge af rotationen om Solen og aksens hældning. Såvel aksens hældning<br />
som målestokken er stærkt overdrevne.<br />
Aksens hældning væk fra lodret betyder også, at dag og nat ikke er lige lange overalt på Jorden, se<br />
figur 36. Ser man på den del af en breddecirkel, som ligger i solskin, er det tydeligt, at den er<br />
(meget) større om sommeren end om vinteren; på figur 36 er den solbeskinnede del markeret med<br />
gult.<br />
Heraf fremgår det, at dagene er lange om sommeren og korte om vinteren, og at der er vinter på den<br />
sydlige halvkugle, når der sommer på den nordlige og omvendt. Midtvejs mellem sommersolhverv<br />
og vintersolhverv er der jævndøgn, dag og nat er lige lange.
Big <strong>Bang</strong> og et par af konsekvenserne 30<br />
Figur 36 Dag på den side som vender mod Solen, og nat på den side som vender væk fra Solen.<br />
Man kan også se, at på grund af jordaksens hældning bliver dagenes længde afhængig af årstiden.<br />
Hvor aksen hælder ind mod Solen, er der lange dage på den nordlige halvkugle, mens der et halvt år<br />
senere, når aksen vender væk, er korte dage på den nordlige halvkugle. Det gule liniestykke viser den<br />
del, som er i solskin.<br />
Opgave 22<br />
o o<br />
Hvordan ville dag/nat og årstiderne være, hvis jordaksens hældning var 45 i stedet for 23,5 ?<br />
Opgave 23<br />
Hvordan ville dag/nat og årstiderne være,<br />
hvis Jordens akse stod vinkelret på<br />
Ekliptika (“lodret”)? , se figur 37.<br />
Hvordan ville Solens gang over himlen se<br />
ud?<br />
Opgave 24<br />
Hvordan ville dag/nat og årstiderne være,<br />
hvis Jordens akse lå i Ekliptika<br />
(“vandret”)?, se figur 38.<br />
Hvordan ville Solens gang over himlen se<br />
ud?<br />
(Dette svarer stort set til forholdene på<br />
Uranus).<br />
Figur 38 Illustration til opgave 24.<br />
Figur 37 Illustration til opgave 23.
Big <strong>Bang</strong> og et par af konsekvenserne 31<br />
Varigheden af en måneformørkelse<br />
Da Jorden belyses af Solen, vil den kaste en skygge på den side, som vender væk fra Solen, altså på<br />
Jordens natside. I sin bevægelse rundt om Solen vil også skyggen bevæge sig.<br />
Når vi i det daglige kan se Månen, skyldes det, at Solen skinner på den. Sollyset reflekteres af<br />
Månen, og det er dette reflekterede lys, som vi ser. Men når Månen i sin gang kommer ind i<br />
jordskyggen, er der ikke noget sollys, som kan reflekteres, og vi får en måneformørkelse. Vi vil i det<br />
Figur 39<br />
følgende se, hvorledes det er muligt at beregne varigheden af en måneformørkelse, og til det formål<br />
vil vi først beregne længden af den skygge, som Jorden kaster. Betragt de to trekanter PJB og PSA<br />
på figur 39. De dannes af Solens og Jordens centrer, lysstrålens (AB’s) røring med Solen og Jorden<br />
og skæringspunktet mellem denne lysstråle og forlængelsen af linien mellem Solens og Jordens<br />
centrer. Da vinklerne ved A og B er rette og vinklen ved P er fælles , er de to trekanter ensvinklede.<br />
Med figurens betegnelser gælder derfor:<br />
x + a R a R a R a R R<br />
sol<br />
sol<br />
sol<br />
sol jord a<br />
= ⇔ 1+ = ⇔ = − 1⇔<br />
= − ⇔ =<br />
x R x R x R x R R x<br />
x<br />
a<br />
6<br />
=<br />
jord<br />
Rjord<br />
R − R<br />
Opgave 25<br />
⇔ x =<br />
jord<br />
Rjord<br />
R − R<br />
jord<br />
R<br />
a<br />
R a<br />
jord<br />
≈<br />
sol jord<br />
sol jord sol<br />
jord<br />
jord<br />
R − R<br />
R<br />
sol jord<br />
jord<br />
⇔
Big <strong>Bang</strong> og et par af konsekvenserne 32<br />
Slå Solens og Jordens radier op i en tabel, og brug ovenstående formel til at beregne x.<br />
Brug også det tilnærmede udtryk og se hvor meget det betyder, om Jordens radius tages med eller<br />
ej.<br />
For nu at beregne varigheden af en måneformørkelse vil vi antage, at Månen bevæger sig om Jorden<br />
i en cirkel med Jorden i centurm, se figur 40.<br />
Denne antagelse er ikke helt rigtig, da Månens bane er ellipseformet, selv om afvigelsen fra en cir-<br />
Figur 40 Månen i sin bane om Jorden, på vej mod formørkelse i Jordens skygge.<br />
kel er lille.<br />
Selve formørkelsen finder sted, når Månen bevæger sig ind i skyggen, se figur 40. Da Månen<br />
bevæger sig én gang rundt om Jorden i løbet af en måned (jvf. ordet måned), burde vi derfor have en<br />
måneformørkelse hver måned eller slet ingen, fordi Månen passerer Jorden udenfor skyggen. Men<br />
hverken det ene eller det andet er tilfældet.<br />
Opgave 26<br />
Hvorfor er der ikke måneformørkelse hver måned?<br />
Vi ved, at Månen set fra Jorden er 29,3 døgn om at foretage ét omløb om Jorden. Hvis vi derfor kan<br />
finde ud af, hvor langt et stykke Månen skal tilbagelægge i Jordens skygge, vil vores opgave være
Big <strong>Bang</strong> og et par af konsekvenserne 33<br />
Figur 41 Et udsnit af figur 2 hvor det røde liniestykke |AM| erstatter cirkelbuen.<br />
Målestoksforholdene er ikke rigtige: radius i Månens bane = |JM| er betydeligt kortere end<br />
længden af Jordens skygge = |JP|, for slet ikke at tale om Jordens og Månens radier.<br />
løst.<br />
På figur 41 er en del af figur 40 “trukket ud” og forstørret:<br />
Vi beregnede tidligere længden af Jordens skygge, dvs. afstanden |JP| = x. Af figur 41 kan vi se, at<br />
de to trekanter PCM og PJB begge er retvinklede, og har vinkel P fælles. Det betyder, at vinkel C og<br />
vinkel J er ens, og de to trekanter er derfor ensvinklede. Heraf følger<br />
| MC|<br />
| PC|<br />
y | PC|<br />
= ⇔ =<br />
| JB|<br />
| PJ|<br />
R x<br />
jord<br />
Da trekant PCM er retvinklet, kan vi bruge Pythagoras’ sætning:<br />
| PC| = y + ( x − b)<br />
2 2 2<br />
som indsættes i stedet for |PC| i ligningen ovenfor:<br />
y<br />
R<br />
jord<br />
=<br />
y + ( x − b)<br />
x<br />
2 2<br />
Da det er y, vi gerne vil have fat i, er denne ligning ikke sådan lige til at have med at gøre, men hvis<br />
vi ser på figuren endnu en gang, så er det tydeligt at |PC| og |PM| ikke afviger ret meget fra<br />
hinanden, så vi vil tillade os at erstatte |PC| med |PM| = x - b
y<br />
R<br />
jord<br />
=<br />
x − b<br />
x<br />
Nu er ligningen til at have med at<br />
gøre, og finder man y udtrykt ved<br />
de øvrige størrelser, får man<br />
y =<br />
x b<br />
x R<br />
−<br />
b<br />
x R<br />
⎛ ⎞<br />
= ⎜1<br />
− ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
jord jord<br />
Opgave 27<br />
Slå Månens afstand til Jorden<br />
op i en tabel, indsæt resultatet<br />
for x fra opg.25, og find y.<br />
Vi mangler nu blot at finde ud af,<br />
hvor mange gange Månen “kan<br />
ligge” i det område, hvor den<br />
netop er trådt ind i skyggen, og<br />
til den træder ud igen, se figur<br />
42. Parenteserne om J og P,<br />
betyder at J og P ikke er med på<br />
tegningen, men at de befinder sig<br />
i den retning, hvor bogstavet står.<br />
Big <strong>Bang</strong> og et par af konsekvenserne 34<br />
Figur 42 Illustration til at bestemme hvor mange gange Månens<br />
diameter kan ligge i jordskyggen. Heller ikke her er målestokken rigtig.<br />
Opgave 28<br />
Find Månens diameter d måne i en tabel, og beregn vha. den netop fundne værdi for y, hvor langt<br />
Månen bevæger sig helt i Jordens skygge.<br />
(Vær opmærksom på, at når den “bageste” del af Månen når til punktet C 1, så vil den “forreste”<br />
del næsten være ude af skyggen. Månen skal altså bevæge sig stykket 2y - d måne).<br />
Da Månens (synodiske) omløbstid om Jorden er 29,3 døgn, kan vi nu finde varigheden af formørkelsen.<br />
Det betyder, at Månen set fra Jorden bevæger siger én omgang i løbet af 29,3 døgn.<br />
Opgave 29<br />
Hvor langt bevæger Månen sig i løbet af 1 måned = 29,3 døgn?<br />
Opgave 30<br />
Beregn, hvor lang tid en måneformørkelse varer.<br />
I ovenstående udledning er det forudsat, at Månen bevæger sig i samme baneplan som Jorden, dvs. i<br />
Ekliptika, og at dens bane om Jorden er en cirkel.<br />
Opgave 31<br />
Undersøg ved at slå op i en tabel med data om Månen, om vores forudsætninger holder, og i<br />
benægtende fald hvad det måtte betyde for formørkelsens varighed.