Matematik - introduktion - Michael Skolen

Matematik - introduktion
Martin Lauesen
February 23, 2011
1

Contents
1 Aritmetik og elementær algebra 3
1.1 Symboler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 ligheder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 uligheder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 transitivitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 De fire regnearter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 regneoperationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.3 subtraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.4 multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.5 division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Operatorhierarki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 standardhierarki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 kvaliteter ved de fire regnearter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.1 kommutativitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.2 associativitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.3 distributivitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 identitetselementer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5.1 addition og subtraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5.2 multiplikation og division . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6 modsatte regnearter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6.1 summation og subtraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6.2 multiplikation og division . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.7 operationsoversigt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.8 inverse elementer, addition og subtraktion . . . . . . . . . . . . . 11
1.8.1 de negative tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.8.2 summation og subtraktion med negative tal . . . . . . . . 12
1.8.3 multiplikation og division med negative tal . . . . . . . . 13
1.8.4 sammenfatning af regler for negative tal . . . . . . . . . . 14
1.9 inverse elementer for multiplikation og division . . . . . . . . . . 15
1.9.1 brøker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.9.2 multiplikation af brøker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.9.3 division af brøker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.9.4 forlængelse af en brøk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.9.5 summation og subtraktion af brøker . . . . . . . . . . . . 17
1.9.6 forkortning af brøker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.9.7 sammenfatning af brøkregningsregler . . . . . . . . . . . . 18
1.10 antal regnearter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.11 paranteser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.11.1 opløsning af paranteser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.11.2 at sætte udenfor parantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.12 eksponenter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.12.1 definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.12.2 kvaliteter ved eksponentoperatoren . . . . . . . . . . . . . 21
2

1.12.3 egenskaber ved eksponentoperatoren . . . . . . . . . . . . 21
1.12.4 sammenfatning af eksponentregler . . . . . . . . . . . . . 24
2 udsagn 24
2.1 generelle udsagn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 syllogismer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 logiske symboler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4 matematiske udsagn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3

1 Aritmetik og elementær algebra
Ved begrebet aritmetik forst˚as simpel talregning med de fire regnearter ‘plus’,
‘minus’, ‘gange’ og ‘dividere’. Ordet stammer fra det græske ord αριθµητιχη,
arithmetikhe, dannet af αριθµøς, arithmos, der betyder ‘tal’ og τɛχνη, techne,
der betyder ‘h˚andværk’. Generelt bruges der i matematikken mange ord fra
græsk, latin og arabisk, da de var hovedsprogene for de kulturer, der formede
vores moderne matematiske begreber. Hvor aritmetikken handler om ‘talh˚andværk’,
handler algebra om at træde et skridt tilbage og se de generelle forhold for tal.
ved algebra regner man s˚aledes med symboler, ofte bogstaver, der repræsenterer
tal. Ordet ’algebra’ stammer fra det arabiske ‘al-jebr’, der st˚ar for genforening
af opbrudte dele.
1.1 Symboler
Matematik er et sprog, der i høj grad læner sig op ad grafiske symboler. Som
eksempel bruger vi de hindu-arabiske symboler 3, 5 og 8 som repræsentanter
for antallene tre, fem og otte. Sammenstillingen af bogstaverne ‘t’, ‘r’ og ‘e’ til
ordet ‘tre’ er i sig selv et symbol, der knyttes til lyden af det talte ord ‘tre’, hvis
man har lært at tolke symbolet, lært at læse. Selv lyden af det talte ord ‘tre’
er et symbol, der henviser til vores forst˚aelse af antallet ‘tre’, hvis man har lært
dansk. Hvad der egentlig ligger til grund for vores oplevelse af antallet ‘tre’ er
et fundamentalt spørgsm˚al til vores bevidstheds natur, og svaret findes ikke i
selve matematikken.
Som ved andre sprog kan de indledende øvelser virke uinteressante, indtil man
bruger sproget til at modtage eller udtrykke mening. Det er vigtigt at skelne
mellem de sammenhænge og indsigter, der træder frem, og sproget, der formidler
dem. Émilie du Châtelets indsigt om bevægelsesenergi kan præsenteres
s˚aledes gennem det skrevne sprog:
‘Et objekts bevægelsesenergi er proportional med produktet af
objektets masse og kvadratet af dets hastighed’
Eller samme sammenhæng udtrykt ved ved det matematiske sprogs symboler:
Ekin ∝ m · v 2
Hvor Ekin st˚ar for bevægelsesenergien, ogs˚a kaldet den ‘kinetiske energi’; ∝
er et symbol, der angiver, at det, der st˚ar til venstre for symbolet, er proportionalt
til det, der st˚ar til højre for symbolet; m st˚ar for objektets masse; v for
objektets hastighed, ogs˚a kaldet ‘velocity’ og 2 angiver kvadrering.
I denne tekst vil mange betragtninger virke overflødige, da de kun fremhæver
noget, vi alle ved. Hvorfor skulle man pointere, at 2 + 3 giver det samme som
3 + 2? og hvorfor give dette forhold betegnelsen ‘kommutativ’? At den type
fordybelse i det ˚abenlyse kan bære frugt, kender vi fra grammatikken, hvor selv
4

granskning af det sprog, vi er vokset op med, kan bringe større forst˚aelse og
p˚askønnelse af sprogets nuancer. Det kan virke unødigt at oprette ordklassen
substantiv og p˚apege, at ordet ‘rose’ hører til denne kategori; men forst˚aelsen af
dette mærkat baner vej for en lettere tilegnelse af fremmedsprog. Matematikken
har sin egen grammatik, hvor symboler for objekter som antal, størrelse og form
optræder i meningsfyldte udsagn sammen med symboler for større, mindre og
‘lig med’
1.1.1 ligheder
Ved notation af matematiske udsagn kan det føles omstændigt at skrive ‘er lig
med’ gentagne gange. Det moderne symbol for ‘lig med’ optræder først i 1557
i bogen ‘The Whetstone of Witte’ af Robert Recorde. Det latinske ‘aequalis’,
eller forkortelser heraf, blev brugt med samme betydning frem til slutningen af
1700 tallet
Tegnet = angiver, at det, der st˚ar p˚a venstre og højre side af tegnet, har samme
størrelse. Eksempelvis 2 + 3 = 5
Tegnet = angiver, at det, der st˚ar p˚a venstre og højre side af tegnet, har forskellig
størrelse. Eksempelvis 4 = 7
Tegnet ≈ angiver, at det, der st˚ar p˚a venstre og højre side af tegnet, stort
set har samme størrelse. Eksempelvis 0.99 ≈ 1
1.1.2 uligheder
Tegnet = angiver, at det, der st˚ar p˚a venstre og højre side af tegnet, ikke er af
samme størrelse. Eksempelvis 4 = 3
Tegnet > angiver, at det, der st˚ar p˚a venstre side, er større end det, der st˚ar p˚a
højre side af tegnet. Eksempelvis 3 > 2
Tegnet < angiver, at det, der st˚ar p˚a venstre side, er mindre end det, der
st˚ar p˚a højre side af tegnet. Eksempelvis 4 < 5
1.1.3 transitivitet
Fra den klassiske logiks ‘syllogismer’ kendes udsagn af følgende type:
Hvis alle roser er karplanter og alle karplanter har specielle rør til sukkertransport,
s˚a har alle roser specielle rør til sukkertransport’
For relationerne =, > og < gælder et lignende forhold, den s˚akaldt ‘transitive’
regel:
5

hvis a = b og b = c s˚a er a = c
Eksempel: hvis 5 = 1 + 4 og 1 + 4 = 3 + 2 s˚a er 5 = 3 + 2
hvis a > b og b > c s˚a er a > c
Eksempel: hvis 8 > 2 + 4 og 2 + 4 > 1 + 3 s˚a er 8 > 1 + 3
hvis a < b og b < c s˚a er a < c
Eksempel: hvis 2 < 2 + 6 og 2 + 6 < 3 + 9 s˚a er 2 < 3 + 9
1.2 De fire regnearter
1.2.1 regneoperationer
I den følgende tekst vil de fire kendte regnearter blive omtalt som ‘operatorer’ og
de tal, der indg˚ar beregningen, kaldes ‘operander’. Ved at give regnearterne et
samlenavn, operatorer, fremhæves den fælles kvalitet, at de alle er forvandlinger,
der ud fra to givne tal kan frembringe et nyt tal. Der er markante forskelle og
sammenfald for, hvordan disse operatorer opfører sig. Dette beskrives nærmere
i de følgende afsnit
1.2.2 addition
At ‘lægge sammen’ eller ‘plus’ vælger man indenfor aritmetikken at kalde ‘addition’
eller ‘summation’. Addition angives ved tegnet +, der placeres mellem
operanderne. Operanderne for additionen kaldes ‘addender’ eller ‘led’. Resultatet
af en addition kaldes en ‘sum’
Eksempel: 2 + 5 = 7 her bliver leddene 2 og 5 adderet, og den resulterende
sum er 7
1.2.3 subtraktion
At ‘trække fra’ eller ‘minus’ vælger man indenfor aritmetikken at kalde ‘subtraktion’.
Subtraktion angives ved tegnet −, der placeres mellem operanderne. Den
operand, der subtraheres fra, st˚ar til venstre for tegnet kaldes og ‘minuenden’.
Den operand, der trækkes fra, st˚ar til højre for tegnet og kaldes ‘subtrahenden’.
S˚avel minuenden som subtrahenden omtales ofte som ‘led’. Resultatet af en
subtraktion kaldes en ‘difference’
Eksempel: 8 − 3 = 5 her bliver subtrahenden 3 subtraheret fra minuenden
8, og den resulterende difference er 5
6

1.2.4 multiplikation
At ‘gange’ vælger man indenfor aritmetikken at kalde ‘multiplikation’. Multiplikation
angives ved tegnet · eller tegnet ×, der placeres mellem operanderne.
Operanderne i multiplikationen kaldes ‘faktorer’. Resultatet af en multiplikation
kaldes et ‘produkt’
Eksempel: 3 · 2 = 6 her bliver faktoren 3 multipliceret med faktoren 2, og
det resulterende produkt er 6
Operatortegnet for multiplikation udelades ofte, n˚ar én eller flere af faktorerne
ikke er fastlagte tal. I s˚adanne tilfælde vælger man ofte at placere en faktor,
der er et fastlagt tal, før andre faktorer.
Eksempel: a · 2 vil kunne skrives som 2a, hvor a repræsenterer et tal, der ikke
er endeligt fastlagt
1.2.5 division
At ‘dele’ eller ‘dividere’ vælger man indenfor aritmetikken at kalde ‘division’.
Division angives ved tegnet / eller tegnet :, der placeres mellem operanderne,
eller ved tegnet —, hvor operanderne placeres over og under tegnet, der kaldes
en ‘brøkstreg’. Den operand, der skal deles, st˚ar til venstre for eller over stregen
og kaldes ‘dividenden’. Den operand, der skal deles med, st˚ar til højre for eller
under stregen og kaldes divisoren. Ved brug af brøkstreger vælger man at kalde
dividenden for ‘tælleren’ og divisoren for ‘nævneren’. Resultatet af en division
kaldes en ‘kvotient’
Eksempel: 24/8 = 3, 24 : 8 = 3 eller 24
= 3, her bliver dividenden 24 di-
8
videret med divisoren 8, og den resulterende kvotient er 3
Bemærk, at man betrager en division med 0 som divisor som meningsløs eller
umulig
Opstillingen med dividende, divisionsoperator og divisor kaldes samlet for en
‘brøk’, der sprogligt henviser til noget, der er blevet brudt op.
1.3 Operatorhierarki
1.3.1 standardhierarki
Flere operationer kan angives ved siden af hinanden. En parantes kan i s˚a fald
angive hvilken regneoperation, der skal udføres først
Eksempel: 2 + (5 − 3), her angiver parantesen, at subtraktionen 5 − 3 skal
udføres først, og den resulterende difference p˚a 2 bliver et led, der skal adderes
med 2
7

Med den vedtagne notation skal multiplikation og division som udgangspunkt
udføres før addition og subtraktion, hvis paranteser ikke angiver andet
Eksempel: 2 + 3 · 5, her er det s˚aledes underforst˚aet, at mulitplikationen 3 · 5
udføres først, og det resulterende produkt eferfølgende bliver et led, der skal
adderes med 2
Ved brug af brøkstreg er der en underforst˚aet parantes omkring tælleren og
en underforst˚aet parantes omkring nævneren
Eksempel:
3 + 9
= (3 + 9)/(2 + 2)
2 + 2
1.4 kvaliteter ved de fire regnearter
Følgende kvaliteter ved de fire regnearter kan forekomme selvfølgelige; men ved
at navngive disse egenskaber opbygges et ordforr˚ad, der skærper bevidstheden
om operationerne og letter arbejdet med mere komplicerede problemstillinger.
I det følgende vil der blive brugt bogstaver som a, b, c eller d i stedet for
tal, n˚ar en sammenhæng mellem tal og operator generaliseres
1.4.1 kommutativitet
For addition gælder, at operandernes position er ligegyldig. Denne kvalitet
kaldes kommutativ
Eksempel: 3 + 2 = 2 + 3
Dette er gyldigt for alle tal og kan generaliseres som a + b = b + a
For subtraktion gælder, at operandernes position ikke er ligegyldig, med mindre
operanderne er lige store. Denne kvalitet kaldes ikke-kommutativ eller antikommutativ
Eksempel: 5 − 3 = 3 − 5
Dette kan generaliseres som a − b = b − a og er gyldigt s˚a længe a = b
For multiplikation gælder, at operandernes position er ligegyldig. Denne kvalitet
kaldes kommutativ
Eksempel: 4 · 2 = 2 · 4
Dette er gyldigt for alle tal og kan generaliseres som a · b = b · a
8

For division gælder, at operanderns position ikke er ligegyldig, med mindre
operanderne er lige store. Denne kvalitet kaldes ikke-kommutativ eller antikommutativ
Eksempel: 6/3 = 3/6
Dette kan generaliseres som a/b = b/a og er gyldigt s˚a længe a = b
1.4.2 associativitet
For addition gælder, at man ved to additionsoperationer frit kan vælge, hvilken
der foretages først. Denne kvalitet kaldes associativ
Eksempel: 2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4
Dette kan generaliseres til a + (b + c) = (a + b) + c
For subtraktion gælder, at man ved to subtraktionsoperationer ikke frit kan
vælge, hvilken der foretages først. Denne kvalitet kaldes ikke-associativ eller
anti-associativ
Eksempel: 14 − (5 − 2) = (14 − 5) − 2
Dette kan generaliseres til a − (b − c) = (a − b) − c, med mindre c = 0
For multiplikation gælder, at man ved to multiplikationsoperationer frit kan
vælge, hvilken der foretages først. Denne kvalitet kaldes associativ
Eksempel: 4 · (3 · 5) = (4 · 3) · 5
Dette kan generaliseres til a · (b · c) = (a · b) · c
For division gælder, at man ved to divisionsoperationer ikke frit kan vælge,
hvilken der foretages først. Denne kvalitet kaldes ikke-associativ eller antiassociativ
Eksempel: 12/(6/2) = (12/6)/2
Dette kan generaliseres til a/(b/c) = (a/b)/c, med mindre c = 1
9

1.4.3 distributivitet
Multiplikationsoperatoren kaldes ‘distributiv’ over additionsoperatoren. Dette
betyder, at multiplikation kan ‘deles ud p˚a’ additionen. Denne distributivitet
gælder som følger:
4 · (2 + 3) = 4 · 2 + 4 · 3 eller generelt: a · (b + c) = a · b + a · c
Multiplikationsoperatoren er tilsvarende ‘distributiv’ over subtraktionsoperatoren,
da følgende er gyldigt:
4 · (6 − 2) = 4 · 6 − 4 · 2 eller generelt: a · (b − c) = a · b − a · c
Divisionssoperatoren kaldes ‘højre-distributiv’ over additionsoperatoren, da divisoroperanden,
der st˚ar til højre eller under brøkstregen, kan ‘deles ud p˚a’
leddene i dividendeoperanden:
5 + 3
2
5 3
= +
2 2
eller generelt: a + b
c
a b
= +
c c
Det modsatte er dog ikke tilfældet, da dividendeoperanden, der st˚ar til venstre
eller over brøkstregen, ikke kan ‘deles ud p˚a’ leddene i divisoroperanden.
Division er s˚aledes ikke ‘venstre-distributivt’:
2 2 2
= +
3 + 5 3 5
og generelt
a a a
= +
b + c b c
Divisionssoperatoren er tilsvarende ‘højre-distributiv’ og ikke ‘venstre-distributiv’
over subtraktionssoperatoren, da følgende er gyldigt:
6 − 3
2
6 3
= −
2 2
eller generelt: a − b
c
a b
= −
c c
Additions- og subtraktionsoperatorerne har ikke distributive kvaliteter
1.5 identitetselementer
Til enhver operation findes en operand, der gør operationen neutral. Denne
operand kaldes ‘det neutrale element’ eller ‘identitetselementet’. Ved at skærpe
bevidstheden om disse tals kvaliteter, banes vejen for at øjne mere underfundige
identitetselementer for de mindre intuitivt anskuelige operatorer, som beskrives
senere.
1.5.1 addition og subtraktion
For addition gælder, at tallet 0 er et neutralt element
Eksempel: 3 + 0 = 3, eller generelt a + 0 = a, hvor a repræsenterer et tal
10

For subtraktion gælder ligeledes, at tallet 0 er identitetselementet:
Eksempel: 4 − 0 = 4, eller generelt a − 0 = a, hvor a repræsenterer et tal
1.5.2 multiplikation og division
For multiplikation gælder, at tallet 1 er et neutralt element
Eksempel: 5 · 1 = 5, eller generelt a · 1 = a, hvor a repræsenterer et tal
For division gælder ligeledes, at tallet 1 er identitetselementet:
Eksempel: 9/1 = 9, eller generelt a/1 = a, hvor a repræsenterer et tal
1.6 modsatte regnearter
Til enhver operator findes en anden operator, der udlinger eller tilbagefører
den forvandling, den første operator har foretaget. En s˚adan udlignende, eller
‘omvendt’, operator kaldes en ‘invers operator’.
1.6.1 summation og subtraktion
Hvis man først lægger et tal til og derefter trækker det samme tal fra, s˚a har
man ikke ændret ved den oprindelige værdi:
Eksempel: 3+2−2 = 3, eller generelt a+b−b = a, hvor a og b repræsenterer tal
Tilsvarende gælder for subtraktion efterfulgt af summation med det samme tal:
Eksempel: 4−1+1 = 4, eller generelt a−b+b = a, hvor a og b repræsenterer tal
Da summation og subtraktion udligner hinanden, kaldes de s˚aledes ‘modsatte
regnearter’ eller hinandens ‘inverse operation’. N˚ar et tal p˚a denne m˚ade udlignes
af et andet tal, vælger man ofte at strege de tal, der g˚ar ud med hinanden, ud:
Eksempel: 12 + 8 − 8 = 12+ 8− 8
Bemærk, at summation og subtraktion med samme tal udligner hinanden ved,
at de til sammen svarer til at have adderet eller subtraheret identitetselementet
0
1.6.2 multiplikation og division
Hvis man først ganger noget med et tal og derefter dividerer med det samme
tal, s˚a har man ikke ændret ved den oprindelige værdi:
11

Eksempel:
5 · 8
8
= 5, eller generelt a · b
b
= a, hver a og b repræsenterer tal
tilsvarende gælder for division efterfulgt af multiplikation med det samme tal:
Eksempel: ( 12
) · 3 = 12, eller generelt (a ) · b = a, hvor a og b repræsen-
3 b
terer tal
Som ved summation og subtraktion vælger man ofte at angive de tal, der g˚ar
ud med hinanden, ved en overstregning:
Eksempel:
4 · 5
5
= 4· 5
5
eller (21
7
) · 7 = (21)·
7
7
Bemærk, at multiplikation og division med samme tal udligner hinanden ved,
at de tilsammen svarer til at have multipliceret eller divideret med identitetselementet
1
1.7 operationsoversigt
En sammenfatning af de kvaliteter, der i det foreg˚aende er blevet fremhævet og
navngivet:
operation kommutativ associativ distributiv identitet invers operation
addition ja ja nej 0 subtraktion
subtraktion nej nej nej 0 addition
multiplikation ja ja ja 1 division
division nej nej højre 1 multiplikation
1.8 inverse elementer, addition og subtraktion
1.8.1 de negative tal
De ‘naturlige tal’, vi tænker i til daglig, beskriver antal, vi kan observere og
forestille os. N˚ar vi lægger disse naturlige antal sammen, f˚ar vi altid et større
antal. Begrebet negative tal dækker over den abstrakte konstruktion, at vi antager
et ’tal’, vi ikke kan forestille os, men som lagt sammen med et normalt
tal giver en sum, der bliver mindre. Det svært, hvis ikke umuligt, at forestille
sig, og tidligere er den slags tal da ogs˚a blevet kaldt ‘absurde tal’. Det tal, der
ved summation med tallet a resulterer i summen 0, alts˚a identitetselementet for
summation, noteres ved et ‘minus tegn’ foran a, alts˚a −a. Dette er p˚a mange
m˚ader uheldigt, da man kan forveksle stregen foran a med operationen subtraktion.
Hvis der st˚ar en operand til venstre for det negative tal vælger man
derfor at sætte en parantes omkring tallet, for at undg˚a misforst˚aelse. Denne
parantes fjerner tvivlen om, hvorvidt der er tale om subtraktion eller et negativt
tal; men angiver ikke, som vanligt, et operatorhierarki. Definitionen for −a
opfylder s˚aledes:
12

a + (−a) = 0 og et konkret eksempel: 2 + (−2) = 0
Det negative tal til et negativt tal er, fra ovenst˚aende definition, et tal, der
ved summation med det negative tal giver 0. Det tal, der opfylder dette er netop
det tilsvarende ‘naturlige’ tal. Det vil sige, at hvis vi med notationen −(−a)
forst˚ar det negative tal til −a, s˚a opfylder a kravene til −(−a), da −a + a = 0
Eksempel: −(−2) = 2, da 2 opfylder, at −2 + 2 = 0
Med andre ord bliver et negativt negativt tal positivt
For at gøre forvirringen komplet lider vores sprogbrug af samme forvekslingsmulighed
som notationerne. Udtrykket ‘minus 3’ kan s˚aledes dække over s˚avel det
negative tal -3 som operationen ‘at trække 3 fra’, alst˚a subtrahere 3. Heldigvis
er de to forhold beslægtede
Kvaliteten ved −a, at a adderet med −a giver identitetselementet 0, a + (−a) =
0, gør, at −a i denne sammenhæng kaldes ‘det inverse element’ for addition
Kvaliteten ved a, at a subtraheret fra a giver identitetselementet 0, a − a = 0,
gør, at a i denne sammenhæng kaldes ‘det inverse element’ for subtraktion
1.8.2 summation og subtraktion med negative tal
Vi har fra definitionen af negative tal, at a + (−a) = 0 og fra definitionen ved
vi, at de omvendte regnearter summation og subtraktion udligner hinanden til
identitetselementet 0, dvs. a − a = 0. Ved den transitive egenskab gives herved
a + (−a) = a − a. Uden at g˚a videre kan vi intuitivt se fra denne sammenhæng,
at det at lægge −a til noget, er det samme som at trække a fra
Eksempel: 7 + (−4) = 7 − 4 eller generelt a + (−b) = a − b
Da det at trække fra s˚aledes er det samme som det at lægge et negativt tal
til, kan vi f˚a:
8 − (−2) = 8 + (−(−2)) og da vi ved fra tidligere, at et negativt negativ tal,
i dette tilfælde −(−2), er ‘positivt’, giver det 8 − (−2) = 8 + 2 eller generelt
a − (−b) = a + b
At trække et negativt tal fra er alts˚a det samme som at lægge det tilsvarende
positive tal til
13

1.8.3 multiplikation og division med negative tal
At ‘omvendt omvendt’ giver det, man starter med, lyder intuitivt tiltalende,
men kan være svært at udlede fra den tidligere definition af de negative tal;
derfor følger her de nødvendige regler for multiplikation og division med negative
tal uden forudg˚aende forklaring:
Multiplikation af to negative tal: (−a) · (−b) = a · b
‘minus gange minus giver plus’
Eksempel: (−2) · (−1) = 2 · 1
Multiplikation af et positivt tal med et negativt tal: (a) · (−b) = −a · b
‘plus gange minus giver minus’
Eksempel: 4 · (−3) = −4 · 3
Division af to negative tal: (−a) a
=
(−b) b
‘minus divideret med minus giver plus’
Eksempel: (−12)
(−2)
= 12
2
Division af et negativt tal med et positivt: (−a)
b
‘minus divideret med plus giver minus’
Eksempel: (−6)
4
= −6
4
Division af et positivt tal med et negativt:
‘plus divideret med minus giver minus’
Eksempel:
5
= −5
(−3) 3
= −a
b
a
= −a
(−b) b
Det anbefales dog i høj grad at huske samtlige fem ovenst˚aende regler samlet
p˚a denne simple og udvidede m˚ade: hvis der for multiplikation eller division
indg˚ar et lige antal negative tal, s˚a bliver resultatet positivt. Tilsvarende gælder
for multiplikation og division, at hvis der indg˚ar et ulige antal negative tal, s˚a
bliver resultatet negativt.
’lige antal minus giver plus - ulige antal minus giver minus’
For fuldstændighedens skyld følger som eksempel her en udledning af reglen
for multiplikation af to negative tal, ud fra definitionen af et negativt tal:
Antag, at vi definerer en størrelse c ved: c = a · b + (−a) · (b) + (−a) · (−b)
14

Heraf følger, at:
c = a · b + (−a) · (b) + (−a) · (−b)
= a · b + (−a) · ((b) + (−b)), her sættes (−a) udenfor parantes
= a · b + (−a) · 0, fra definitionen af − b
= a · b + 0
= a · b
Samtidigt gælder følgende
c = a · b + (−a) · (b) + (−a) · (−b)
= (a + (−a)) · b + (−a) · (−b)), her sættes b udenfor parantes
= 0 · b + (−a) · (−b)), fra definitionen af − a
= 0 + (−a) · (−b))
= (−a) · (−b))
Ved den transitive egenskab gives s˚aledes, at da c = a · b samt c = (−a) · (−b),
s˚a er (−a) · (−b) = a · b
1.8.4 sammenfatning af regler for negative tal
operation regel eksempel
adition af neg. tal a + (−b) = a − b 8 + (−3) = 8 − 3
subtraktion af neg. tal a − (−b) = a + b 15 − (−2) = 15 + 2
multiplikation af to neg. tal (−a) · (−b) = a · b (−3) · (−2) = 3 · 2
multiplikation af pos. og neg. tal (a) · (−b) = −a · b (6) · (−5) = −6 · 5
division med to neg. tal
division af neg. med pos. tal
division af pos. med neg. tal
(−a) a
=
(−b) b
(−a)
b
= −a
b
a
= −a
(−b) b
15
(−4) 4
=
(−3) 3
(−11)
4
(−5)
2
= −11
4
= −5
2
(1)
(2)

1.9 inverse elementer for multiplikation og division
1.9.1 brøker
Brøker spiller samme rolle i forhold til multiplikation som negative tal gør for
addition: de er multiplikationens inverse elementer:
Fra afsnittet om modsatte regnearter er givet, at a · 1
= 1, hvilket vil sige,
a
at 1
ved multiplikation er det inverse element til a, da produktet af multiplika-
a
tionen er det neutrale element, 1, for multiplikation.
Disse brøker, kaldet ’stambrøker’ n˚ar tælleren er 1, lader dog ikke til at volde
lige s˚a store kvaler som tanken om negative tal, og man har fundet arkæologiske
eksempler p˚a anvendelse af dette koncept s˚a langt tilbage som for ca. 4.800 ˚ar
siden i Indus dalen.
For division gælder, at a/a = 1, hvilket vil sige, at a ved division er det inverse
element til a, da kvotienten ved divisionen giver det neutrale element, 1,
for division.
I det følgende angives regler for, hvorledes brøker opfører sig under de fire regnearter
addition, subtraktion, multiplikation og division samt en beskrivelse af
processerne forlængelse og forkortning af en brøk.
1.9.2 multiplikation af brøker
Man foretager en multiplikation af brøker ved at danne en ny brøk, hvor tælleren
er produktet af de to brøkers tællere, og nævneren er produktet af de to brøkers
nævnere
Eksempel: 5 2 5 · 2
· =
3 4 3 · 4
10
a c a · c
= , eller generelt · =
12 b d b · d
Hvis en af operanderne ikke er en brøk, kan vi alligevel behandle den som
en brøk, ved at dividere operanden med identitetselementet 1, som er neutralt
mht. division
Eksempel: 7 · 4 7 4 7 · 4 28
= · = =
3 1 3 1 · 3 3
b a b a · b a · b
eller generelt a · = · = =
c 1 c 1 · c c
Læg mærke til at resultatet af at multiplicere et tal med en brøk er, at man
ganger tælleren i brøken med tallet
1.9.3 division af brøker
Man foretager en division af brøker ved at danne en ny brøk, hvor tælleren er
produktet af dividendebrøkens tæller og divisorbrøkens nævner, og nævneren er
produktet af dividendebrøkens nævner og divisorbrøkens tæller
16

Eksempel: 5 3 5 · 4
: =
2 4 2 · 3
20
a c a · d
= , eller generelt : =
6 b d b · c
En populær mellemregningsmetode er at bytte om p˚a tæller og nævner i divisorbrøken
og behandle det som en multiplikation, med samme resultat. At
bytte om p˚a tæller og nævner for en brøk kaldes ogs˚a at danne den ‘reciprokke’
brøk. Man kan sige, at man kan dividere med en brøk ved at gange med den
reciprokke brøk
Eksempel: 7 9 7 4 7 · 4 28
: = · = =
2 4 2 9 2 · 9 18
eller generelt: a c a d a · d
: = · =
b d b c b · c
Hvis en af operanderne ikke er en brøk, kan vi alligevel behandle den som en
brøk ved at dividere operanden med identitetselementet 1, som er neutralt mht.
division
Eksempel: 4 4 2 4 1 4 · 1 4
: 2 = : = · = =
3 3 1 3 2 3 · 2 6
eller generelt: a a c a 1 a · 1 a
: c = : = · = =
b b 1 b c b · c b · c
Læg mærke til at resultatet af at dividere en brøk med et tal er, at man ganger
nævneren i brøken med tallet. Læg endvidere mærke til at det at dividere med
c er det samme som at gange med 1
, en omstændighed der gælder, uanset om
c
det er brøker eller andre operander, der optræder som dividender.
Eksempel: 3 : 4 = 3 · 1
4
1.9.4 forlængelse af en brøk
eller generelt a : b = a · 1
b
Skulle det være hensigtsmæssigt, kan man multiplicere og dividere en brøk med
samme tal, uden at det ændrer brøkens størrelse. Fra tidligere ved vi, at vi kan
gange et tal med 1, uden at det ændrer værdien, da 1 er det neutrale element
for multiplikation:
1 · a a
=
b b
1-tallet kan vi skrive om til et tredie tal, c, divideret med sig selv:
1 = c
c
Da 1 · a
b
c a a
· =
c b b
= a
b
og 1 = c
c
kan vi derfor skrive:
c · a a
hvilket medfører at: =
c · b b
17

Dette kaldes ’at forlænge brøken a
b
Eksempel: 3 2 · 3 6
= =
4 2 · 4 8
med c’
1.9.5 summation og subtraktion af brøker
Fra den tidligere nævnte højre-distributive kvalitet for divisionsoperatoren over
additionsoperatoren gives, at hvis de to operandbrøker har samme nævner, kan
man foretage en summation af brøkerne ved at danne en ny brøk, hvor tælleren
er summen af de to brøkers tællere og nævneren er den samme nævner, som de
to brøker havde i forvejen
Eksempel: 3 7 3 + 7
+ =
4 4 4
eller generelt a c a + c
+ =
b b b
Hvis de to brøker ikke har samme nævner, kan en s˚adan konstrueres ved, at
man forlænger den ene brøk med den anden brøks nævner og omvendt
Eksempel: 3 5 6 · 3 4 · 5
+ = +
4 6 6 · 4 4 · 6
Her her brøken til venstre blevet forlænget med 6, brøken til højres nævner,
og brøken til højre er blevet forlænget med 4, brøken til venstres nævner. Da
nævnerne 6 · 4 og 4 · 6 er de samme, givet ved multiplikations kommutative
egenskab, har brøkerne nu nævnere med samme størrelse, en ‘fælles nævner’, og
reglen ovenfor kan anvendes:
6 · 3 4 · 5 6 · 3 + 4 · 5
+ = =
6 · 4 4 · 6 6 · 4
18 + 20 38
=
24 24
Generelt gælder følgende: a c d · a b · c d · a + b · c
+ = + =
b d d · b b · d d · b
For subtraktion gæder de samme regler som ved summation:
a c a − c
− =
b b b
og a c d · a b · c d · a − b · c
− = − =
b d d · b b · d d · b
1.9.6 forkortning af brøker
Det kan ofte være hensigtsmæssigt at undersøge, om en brøk kan skrives om til
en brøk af mere simple, mindre, tal. Man kan gøre dette ved at dividere s˚avel
tæller som nævner med et hensigtsmæssigt tal. At denne operation ikke ændrer
ved brøkens værdi kan vi se ved følgende betragtning:
18

Hvis vi forlænger brøken a 1
a
med , s˚a f˚ar vi:
b c b =
1
· a
c
1
· b
c
Fra reglen om multiplikation af et tal med en brøk kan vi nu gange a og b
ind p˚a tælleren i 1
s˚a vi f˚ar:
c
a a/c
=
b b/c
Eksempel: 24 24/6 4
= = her forkortes brøken med 6, der er hensigtsmæssigt
18 18/6 3
valgt, da 6 g˚ar op i s˚avel 24 som 18 uden rest
1.9.7 sammenfatning af brøkregningsregler
Meget af det foreg˚aende er unødigt at huske, s˚a længe man husker følgende
sammenhænge:
operation generelle forhold konkret eksempel
multiplikation med brøk
a c a · c
· =
b d b · d
multiplikation med tal a · b a · b
=
c c
division med brøk
division med tal
forlængelse
forkortelse
addition fælles nævner
addition generelt
subtraktion fælles nævner
subtraktion generelt
a c a · d
: =
b d b · c
a a
: c =
b b · c
a c · a
=
b c · b
a a/c
=
b b/c
a c a + c
+ =
b b b
a c d · a + b · c
+ =
b d d · b
a c a − c
− =
b b b
a c d · a − b · c
− =
b d d · b
19
5 2 5 · 2 10
· = =
3 4 3 · 4 12
7 · 4 7 · 4 28
= =
3 3 3
5 3 5 · 4 20
: = =
2 4 2 · 3 6
4 4 4
: 2 = =
3 3 · 2 6
3 2 · 3 6
= =
4 2 · 4 8
24 24/6 4
= =
18 18/6 3
3 7 3 + 7 11
+ = =
4 4 4 4
3 5 6 · 3 + 4 · 5
+ = =
4 6 6 · 4
18 + 20 38
=
24 24
21
3
− 19
3
= 21 − 19
3
= 2
3
7 2 3 · 7 − 4 · 2
− = =
4 3 4 · 3
21 − 8 13
=
12 12

1.10 antal regnearter
Vi har tidligere set, at det at trække a fra noget er det samme som at lægge −a
til. Tilsvarende har vi set, at det at dividere med a er det samme som at gange
med 1
. Man kan s˚aledes med rimelighed argumentere for, at man kan slippe
a
afsted med kun at bruge to regnearter: addition og multiplikation. En fordel
ved dette er, at addition og multiplikation begge er kommutative og associative
operatorer, og man behøver derfor ikke tænke over rækkefølgen af operander
eller operationer, som man skal holde nøje øje med ved subtraktion og division.
Disse behagelige kvaliteter ved addition og multiplikation har ført til, at
mange matematiske sammenhænge, s˚a vidt muligt, formuleres ud fra disse to
regnearter. Som vi vil se senere, vælger man f.eks. ofte at betragte en s˚akaldt
’førstegradsligning‘ p˚a denne generelle form:
a · x + b = 0 vel vidende, at s˚avel a som b i s˚a fald kan være brøker eller
negative tal.
For eksempel anses udtrykket x
−2 = 0 i denne sammenhæng for: (1
6 6 )·x+(−2),
hvorved man undg˚ar at forholde sig til division og subtraktion
1.11 paranteser
1.11.1 opløsning af paranteser
Fra den førnævnte distributive kvalitet for multiplikation ved vi, at hvis der
st˚ar et tal ganget med en parantes med summation eller subtraktion, kan man
‘gange ind’ p˚a hver operand i summationen eller subtraktionen. Hvis der st˚ar to
s˚adanne paranteser med multiplikation som operator, s˚a kan man gøre følgende:
(4+3)·(2+5) = (4+3)·2+(4+3)·5, her ser vi (4+3) som én operand, der er blevet
‘ganget ind’ p˚a hvert led i paratesen (2 + 5). Efterfølgende kan man ‘opløse’ de
to nye paranteser p˚a samme m˚ade: (4+3)·2+(4+3)·5 = 4·2+3·3+4·5+3·3.
Generelt gælder, at (a + b) · (c + d) = a · c + a · d + b · c + b · d. Læg mærke til at
resultatet er, at hvert led fra den ene parantes er blevet ‘ganget ind’ p˚a hvert
led i den anden parantes. Samme metode gælder for paranteser med flere end
to led og for mere end to paranteser. Paranteser med subtraktion behandles p˚a
tilsvarende m˚ade.
For ’minus paranteser’, −(a+b), gælder, at hvis vi ganger dem med det neutrale
element 1 f˚ar vi:
−(a + b) = −1 · (a + b)
Hvilket vi, ud fra reglen om multiplikation af et negativt og et positivt tal,
20

kan skrive som:
−(a + b) = (−1) · (a + b), og herfra kan vi opløse p˚a sædvanlig vis:
(−1) · (a + b) = (−1) · a + (−1) · b, og da 1 er neutralt mht. mulitiplikation
giver det:
(−1) · a + (−1) · b = −a − b. Dette resultat er generelt: at man opløser en
’minus parantes’ ved at vende fortegnet for hvert led inde i parantesen:
Eksempel: −(7 + 5 − 2) = −7 − 5 + 2
1.11.2 at sætte udenfor parantes
Hvis man arbejder med led af faktorer, hvor en af faktorerne optræder gentagne
gange, kan det være hensigtsmæssigt at konstruere en parantes med led, der
ganges med denne faktor
Eksempel: 2 · 3 + 2 · 4, her er 2 en faktor, der g˚ar igen og man kan konstruere en
parantes, der ganget med denne faktor har samme værdi som den oprindelige
sum af multiplikationer: 2 · 3 + 2 · 4 = 2 · (3 + 4). At den højre side er lig den
venstre gives ved den distributive kvalitet for multiplikation.
En generel metode til at ‘sætte udenfor parantes’ er at beslutte sig for, hvad der
skal st˚a udenfor’ parantesen, en faktor man ganger med, og samtidigt dividere
parantesen med den samme faktor. S˚a vil multiplikationen ‘g˚a ud med’ divisionen,
da de er modsatte regnearter, og værdien s˚aledes ikke være ændret
4 · 5 + 4 · 6
Eksempel: 4 · 5 + 4 · 6 = 4 · ( ), her er 4 blevet ‘sat udenfor’ parantesen
4
som faktor, og selve parantesen er tilsvarende divideret med 4. fra reglen om
højredistributivitet for division over summation kan vi omforme det til:
4 · 5 + 4 · 6 4 · 5 4 · 6
4 · ( ) = 4 · ( + ) Da multiplikation og division med samme
4
4 4
4 · 5 4 · 6
tal g˚ar lige op, kan udtrykket reduceres: 4 · ( + ) = 4 · (5 + 6)
4 4
Den letteste operationelle tilgang er dog at vælge en faktor, der g˚ar igen i
flere led, sætte den ‘uden for parantes’ og lade de oprindelige led st˚a tilbage i
parantesen, uden den faktor
Eksempel: 8 · 3 + 8 · 4 = 8 · (3 + 4) her er 8 blevet udpeget som den faktor,
der g˚ar igen, og placeret ‘udenfor parantesen’. Inde i parantesen st˚ar de
oprindelige led, men uden faktoren 8.
21

1.12 eksponenter
1.12.1 definition
Et produkt af flere faktorer af samme størrelse kan noteres ved at angive en
‘potens’ oppe til højre for faktoren.
Eksempel: 2 · 2 · 2 · 2 · 2 kan skrives som 2 5 , da der er 5 faktorer, hver med
en størrelse p˚a 2
Udtrykket a b st˚ar s˚aledes for, at vi har b antal a’ere, der ganges sammen,
hvis der er flere end én. a kaldes ved denne notation ‘grundtallet’, ‘roden’ eller
‘basen’, og b kaldes ‘potensen’, ‘potenseksponenten’ eller ‘eksponenten’. Sprogligt
kalder man a b ‘a i b’e’ eller ‘a opløftet til b’e potens’
Eksempel: 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 , kaldet ‘tre i fjerde’ eller ‘tre opløftet til fjerde
potens’
Ligesom vi tidliere har set p˚a de fire regnearter som operatorer, der ud fra
to tal danner et tredie, vil vi nu undersøge denne ’eksponentoperator’.
1.12.2 kvaliteter ved eksponentoperatoren
Potensoperatoren er ikke kommutativ, da a b = b a , med mindre a = b
Eksempel: 2 3 = 3 2 da 2 3 = 2 · 2 · 2 = 6, men 3 2 = 3 · 3 = 9
Potensoperatoren er ikke associativ, da (ab ) c = abc, med mindre c = 1
Eksempel: (2 4 ) 3 = 2 (43 ) , da:
(2 4 ) 3 = 16 3 = 4096, men 2 (43 ) = 2 64 = 18446744073709551616
Potensoperatoren har et neutralt element, 1, da a 1 betyder, at vi har én a.
Eksempler: 2 1 = 2, 3 1 = 3 og 6 1 = 1
1.12.3 egenskaber ved eksponentoperatoren
Ved eksempel angives her en fundamental egenskab ved eksponentoperatoren,
illustreret ved et eksempel:
2 5 · 2 3 = (2 · 2 · 2 · 2 · 2
2 5
) · (2 · 2 · 2
2 3
) = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 2 8 = 2 (5+3)
Læg mærke til at den resulterende ekponent, 8, er summen af de to oprindelige
22

eksponenter, 5 og 3. Dette er generelt, at produktet af to potensopløftninger
med samme grundtal bliver en ny potensopløfning med samme grundtal og en
eksponent, der er summen af de oprindelige eksponenter:
a b · a c = a (b+c)
Tilsvarende kan følgende eksempel illustrere det tilsvarende forhold for division
af potensopløftninger med samme grundtal:
37 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3
= =
32 3 · 3
3 · 3 · 3 · 3 · 3· 3· 3
= 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 3
3· 3
5 = 3 (7−2)
Læg mærke til at den resulterende eksponent, 5, er differencen af de to oprindelige
eksponenter, 7 og 2. Dette er generelt, at kvotienten af to potensopløftninger
med samme grundtal bliver en ny potensopløftning med samme grundtal og en
eksponent, der er givet ved differencen mellem tællerens og nævnerens eksponent:
ab = a(b−c)
ac Ud fra dette forhold kan vi angive det inverse element til det højre-neutrale
element, 1, p˚a følgende m˚ade:
Da ab ab
= 1 og
ab ab = a(b−b) = a0 , kan vi ved den transitive egenskab for ‘lig med’
f˚a: a0 = 1, hvilket vil sige, at 0 er det inverse element til det højre-neutrale
element 1. Læg endvidere mærke til at ethvert tal opløftet til eksponenten 0
bliver 1
Vi kan nu endvidere anskueliggøre potensopløftninger med negativ eksponent:
a (−b) = a (0−b) = a0 1
=
ab ab og generelt: a(−b) = 1
ab Eksempel: 4 (−3) = 1
43 , 5(−2) = 1
52 og 10(−6) = 1
106 Et andet eksempel illustrerer endnu et forhold:
(23 ) 4 = (2 · 2 · 2)
4 = (2 · 2 · 2) · (2 · 2 · 2) · (2 · 2 · 2) · (2 · 2 · 2) = 212 = 2 (3·4)
2 3
Læg mærke til at den resulterende eksponent, 12, er produktet af de to oprindelige
eksponenter, 3 og 4. Dette er generelt, at potensopføtningen af en potensopløftning
giver en ny potensopløftning med samme grundtal som den første
opløftning og en eksponent, der er givet ved produktet af de to eksponenter:
(a b ) c = a (b·c)
23

Endnu et eksempel der illustrerer en egenskab ved eksponentoperatoren:
(2 · 3) 4 = (2 · 3) · (2 · 3) · (2 · 3) · (2 · 3) = 2 · 2 · 2 · 2
2 4
· 3
· 3
· 3 · 3
34 = 24 · 34 Dette gælder generelt: at eksponentoperatoren er distributiv over multiplikationsoperatoren:
(a · b) c = a c · b c
Tilsvarende gælder ved et eksempel med division:
( 6
3 )2 = ( 6
3
6 · 6 62
) · (6 ) = =
3 3 · 3 32 Dette er igen et generelt forhold: at eksponentoperatoren er distributiv over
divisionsoperatoren:
( a
b )c = ac
bc Afsluttende kan vi nu undersøge den inverse operator til eksponentopløftning
til b: Et tal, a, opløftet til b’e tilbageføres til a ved at opløftes videre med eksponenten
(1/b):
(a b ) (1
b )
= a (b·1
b )
= a (b
b )
= a 1 = a
Denne inverse operator til opløftning kaldes ogs˚a ‘roden’. Den inverse operator
til opløftning til eksponenten b kaldes den b’e rod:
Eksempler: Den inverse operator til opløftning til fjerde kaldes ‘den fjerde rod’:
16 (1
4 )
kaldes ‘den fjerde rod’ af 16. Den inverse operator til opløftning til niende
kaldes ‘den femte rod’: 243 (1
5 )
kaldes ‘den femte rod’ af 243
To tilfælde har opn˚aet særskilte navne: den anden rod af et tal kaldes ogs˚a
‘kvadratroden’, da den anden rod af et tal, a, giver sidelængden p˚a kvadratet
med arealet a. Den tredie rod af et tal kaldes ogs˚a ‘kubikroden’, da den tredie
rod af et tal, a, giver sidelængden p˚a en kube/terning med rumfanget a. Man
har endvidere udfærdiget et specielt symbol for rødder, et tegn, der ligner et
‘r’, der er forlænget foroven - muligvis fra ordet ‘radix’, der betyder ‘rod’ p˚a latin:
Tegnet 2√ a angiver s˚aledes den inverse operator til opløftning af a til anden
potens, alts˚a a (1
2 )
, og generelt kan man frit skifte mellem de to notationer:
24

√ a = a ( 1
b )
Da ‘roden’ af et tal er den inverse operator til potensopløftningen, er f.eks.
2√ 4 det tal, der opløftet til anden potens giver fire. Hvis notationen ikke angiver
rodens størrelse, menes der en kvadratrod.
1.12.4 sammenfatning af eksponentregler
Det er hesigtsmæssigt at gøre sig fortrolig med følgende sammenhænge:
generelle forhold konkret eksempel
a b = a · a · a. . . · a
b antal a ′ ere
a 1 = a 8 1 = 8
a 0 = 1 8 0 = 1
2 5 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2
a b · a c = a (b+c) 3 4 · 3 5 = 3 (4+5)
ab 9
= a(b−c)
ac a (−b) = 1
a b
5
= 9(5−3)
93 6 (−2) = 1
6 2
(a b ) c = a (b·c) (5 3 ) 2 = 5 (3·2)
(a · b) c = a c · b c (9 · 5) 2 = 9 2 · 5 2
( a
b )c = ac
bc b√ a = a ( 1
b )
2 udsagn
2.1 generelle udsagn
( 7
4 )3 = 73
43 2√ 36 = 36 ( 1
2 )
Udsagn er meningsfulde udtryk, der m˚a være enten sande eller falske. Eksempler
p˚a sproglige udsagn kunne være:
’Alle bananer svæver i luften‘ (falsk)
25

’Nogle mennesker er højere end klokkeblomster‘ (sandt)
’Himmelbjerget ligger i Jylland‘ (sandt)
Udtryk der ikke kan være enten sande eller falske er s˚aledes ikke egentlige udsagn.
Eksempler p˚a ikke-udsagn kunne være:
’Hvorfor regner det‘ (hverken sandt eller falsk)
’Skynd dig at hoppe i vandet‘ (hverken sandt eller falsk)
’Det bl˚a hus‘
Eksempler p˚a udsagn med matematikkens sprog kunne være:
2 + 12 = 14 (sandt)
21 2 = 1 (falsk)
3 · (2 + 5) = 21 (sandt)
Eksempler p˚a ikke-udsagn i matematikken kunne være:
7 (hverken sandt eller falsk)
2 + 3 (hverken sandt eller falsk)
a − 2 (hverken sandt eller falsk)
2.2 syllogismer
Hvis to forskellige udsagn tilsammen gør, at et trejde udsagn m˚a være sandt,
s˚a kaldes de to oprindelige udsagn ’præmisser’ og det resulterende udsagn ’konklusionen’.
Eksempel:
Præmis A: ’Alle svaner er sorte’
Præmis B: ’Intet sort forhindrer folk i Skotland i at være glade’
Konklusion: ’Svaner forhindrer ikke folk i Skotland i at være glade’
Læg mærke til følgende:
Der er overlap mellem præmis A og præmis B: ’sort‘
Der er overlap mellem præmis A og konklusionen: ’svaner‘
Der er overlap mellem præmis B og konklusionen: ’at være glade‘
26

Overlappet mellem præmis A og præmis B optræder ikke i konklusionen.
Der er i den traditionelle logik, hos Aristoteles og Kant m.fl., tradition for at dele
det meningsfulde udsagn op i et subjekt og et prædikat. I ovenst˚aende eksempel
vil ’svaner’ være subjekt for præmis A og ’sort’ det tilhørende prædikat. For
præmis B er ’sort’ subjekt og ’forhindrer ikke folk i Skotland i at være glade‘ er
prædikatet. Læg mærke til, at konklusionen kobler præmis A’s subjekt sammen
med præmis B’s prædikat.
Traditionelt kalder man det, der ender som konklusionens prædikat, for ’oversætningen‘.
Det, der ender som konklusionens subjekt, kaldes ’undersætningen‘.
Det, der binder de to præmisser sammen men som ikke optræder i konklusionen,
kaldes ’mellembegrebet‘. Eksempel:
Præmis A: Alle killinger
undersaetning
Præmis A: Alle smaa laadne dyr
mellembegreb
Konklusion: Alle killinger
undersaetning
er smaa laadne dyr
mellembegreb
er soede
oversaetning
er soede
oversaetning
Skulle man samle disse tre udsagn i én sætning kunne man skrive:
Hvis alle killinger er smaa laadne dyr og alle smaa laadne dyr er soede s˚a medfører
praemisA
praemisB
det, at alle killinger er soede
konklusion
Foran s˚avel subjekter som prædikater st˚ar ofte ’alle‘, ’ingen‘, ’nogle‘ eller ’denne‘.
Mellem præmisserne vil der ofte st˚a enten ’og‘ eller ’eller‘
2.3 logiske symboler
Grundskemaet for syllogismen med kattene kunne skitseres p˚a følgende m˚ade:
(præmis A) OG (præmis B) MEDFØRER (konklusion)
Der er, i matematikken, en tilbøjelighed til at erstatte hverdagsord med symboler,
og det gælder ogs˚a indenfor de matematiske udsagn. Der er s˚aledes ofte
brugte symboler for begreberne ’og‘, ’eller‘, ’ikke‘, ’medfører‘, ’ensbetydende
med‘, ’alle‘ og ’nogle‘:
Fra Arend Heytings værk ’Die formalen Regeln der intuitionistischen Logik‘
fra 1930 f˚ar vi symbolerne:
27

OG: ∧, Eksempel: (hyæner kan grine) ∧ (dyr der kan grine har to ører=
IKKE: ¬ Eksempel: ¬(Danmark vinder de næste ti mesterskaber i fodbold)
Fra Bertrand Russel’s ’The Theory of Implication‘ fra 1906 f˚ar vi dette symbol:
ELLER: ∨ Eksempel: (eleven sover videre) ∨ (eleven forstyrres i sin søvn)
Fra David Hilberts ’Nebegründung der Mathematik‘ fra 1922 f˚ar vi symbolet:
MEDFØRER: → Eksempel: (køer er dyr) ∧ (dyr kan dø) → (køer kan dø)
Men symboler med tilsvarende mening fra Nicholas Bourbakis ’Theorie des ensembles‘
fra 1954 bruges oftere:
MEDFØRER: ⇒ Eks: (Bo kan flyve) ∧ (flyvende kan falde) ⇒ (Bo kan falde)
ENSBETYDENDE MED: ⇔ Eksempel: (x plus to er fem) ⇔ (to plus x er fem)
Fra Gerhard Gentzens ’Untersuchungen ueber das logische Schliessen‘ fra 1935
f˚ar vi:
FOR ALLE: ∀: Eksempel: ∀æbler er sunde. læses ’alle æbler er sunde‘
Og fra Giuseppe Peanos ’Calcolo geometrico secondo l’Ausdehnungslehre di H.
Grassmann‘fra 1888:
DER EKSISTERER / NOGLE: ∃: Eks. ∃anemoner er bl˚a. læses ’nogle
anemoner er bl˚a‘
Oversigt over logiske symboler for udsagn:
∧ OG
∨ ELLER
¬ IKKE
⇒ MEDF OERER
⇔ ENSBET Y DENDE MED
∀ F OR ALLE
∃ F OR NOGLE
2.4 matematiske udsagn
Hidtil har vi hovedsagligt set p˚a udsagn gennem det danske sprog, nu vil vi se
p˚a meningsfyldte udsang i matematikkens sprog:
Udtrykket 7 = 2 + 5 er et egentligt udsagn, da det er en p˚astand, der kan
være enten sand eller falsk. I dette tilfælde en sand p˚astand.
Udtrykket x = 3 + 5 er en p˚astand om, at x er lige s˚a stor som summen af
28

3 og 5. Det er et udsagn, da det kan være sandt eller falsk. I dette tilfælde vil
udtrykket være sandt, hvis x er 8, men falsk for samtlige andre værdier af x
Ved omskrivninger af et matematisk udsagn, der ikke ændrer ved den oprindelige
p˚astand i udsagnet, anvendes ’medfører‘-pilen og de enkelte udsagn skrives under
hinanden Eksempel:
x + 12 = 23 ⇒
x + 12 − 12 = 23 − 12 ⇒
x = 11
Et eksempel med to udsagn sat sammen med et ’og‘:
y = x · 2 ∧ x = 3 ⇒
y = 3 · 2 ⇒
y = 6
Eksempel hvor ét udsagn kan medføre to udsagn, koblet sammen med et ’eller‘:
x 2 = 4 ⇒
x = ± 2√ 4 ⇒
x = ±2 ⇒
x = 2 ∨ x = −2
29