Forelæsning A2 i matematik, torsdag 28/8 2008
Forelæsning A2 i matematik, torsdag 28/8 2008
Forelæsning A2 i matematik, torsdag 28/8 2008
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Anvendelseseksempel A.21: Høstudbytte (fortsat)<br />
Udbyttet som funktion af gødningsmængden<br />
Generelt om udbyttefunktioner<br />
U(t): Udbyttefunktion i tons pr. ha<br />
t: Gødningsmængde i tons pr. ha<br />
Karakteristika Fortolkning<br />
U(0) ugødet udbytte<br />
limt→∞ U(t) asymptotisk udbytte<br />
limt→∞ U(t) − U(0) asymptotisk merudbytte<br />
U ′ (t) marginalt merudbytte<br />
U ′ (t) > 0 voksende udbytte<br />
U ′′ (t) < 0 aftagende effekt<br />
Eksempel på udbyttefunktion U(t) =<br />
Problemformulering<br />
13<br />
20 t<br />
+ 10<br />
t + 1<br />
Anvendelseseksempel A.21: Høstudbytte (fortsat)<br />
Matematisk modellering af fortjenesten<br />
• Vi kender salgsprisen på udbyttet: 4000 kr. pr. tons<br />
• Vi kender prisen på gødningen: 5000 kr. pr. tons<br />
• Vi antager sammenhængen<br />
20 t<br />
U(t) = + 10<br />
t + 1<br />
mellem gødningsmængde og høstudbytte<br />
• Formål Bestemme hvor meget gødning vi skal bruge for at tjene mest muligt<br />
14<br />
Anvendelseseksempel A.21: Høstudbytte (fortsat)<br />
Matematisk beskrivelse og analyse af modellen<br />
Størst fortjeneste ↔ maksimum for F(t).<br />
Redskab: funktionsundersøgelse.<br />
Resultat<br />
Fortjeneste = Indtægt − udGift<br />
<br />
20 t<br />
I(t) = 4000 · U(t) = 4000 + 10<br />
t + 1<br />
G(t) = 5000 · t<br />
<br />
20 t<br />
F(t) = 4000 + 10 − 5000 t<br />
t + 1<br />
Fmax = F(3) = 85000<br />
Fortolkning af resultatet 3 tons gødning pr. ha. Fortjeneste: 85000 kr. pr. ha.<br />
15<br />
Anvendelseseksempel A.21: Høstudbytte (fortsat)<br />
Spørgsmål Hvordan afhænger det optimale gødningsniveau af prisen på gødning?<br />
Prisen på gødning p (kr. pr. tons)<br />
Fortjeneste<br />
Resultat F(t) har maksimum i<br />
<br />
20 t<br />
F(t) = 4000 + 10 − pt<br />
t + 1<br />
topt =<br />
<br />
80000<br />
− 1<br />
p<br />
p 3000 4000 5000 6000 7000<br />
topt 4.2 3.5 3.0 2.7 2.4<br />
16