Forelæsning A2 i matematik, torsdag 28/8 2008

Anvendelseseksempel A.21: Høstudbytte (fortsat)
Udbyttet som funktion af gødningsmængden
Generelt om udbyttefunktioner
U(t): Udbyttefunktion i tons pr. ha
t: Gødningsmængde i tons pr. ha
Karakteristika Fortolkning
U(0) ugødet udbytte
limt→∞ U(t) asymptotisk udbytte
limt→∞ U(t) − U(0) asymptotisk merudbytte
U ′ (t) marginalt merudbytte
U ′ (t) > 0 voksende udbytte
U ′′ (t) < 0 aftagende effekt
Eksempel på udbyttefunktion U(t) =
Problemformulering
13
20 t
+ 10
t + 1
Anvendelseseksempel A.21: Høstudbytte (fortsat)
Matematisk modellering af fortjenesten
• Vi kender salgsprisen på udbyttet: 4000 kr. pr. tons
• Vi kender prisen på gødningen: 5000 kr. pr. tons
• Vi antager sammenhængen
20 t
U(t) = + 10
t + 1
mellem gødningsmængde og høstudbytte
• Formål Bestemme hvor meget gødning vi skal bruge for at tjene mest muligt
14
Anvendelseseksempel A.21: Høstudbytte (fortsat)
Matematisk beskrivelse og analyse af modellen
Størst fortjeneste ↔ maksimum for F(t).
Redskab: funktionsundersøgelse.
Resultat
Fortjeneste = Indtægt − udGift
20 t
I(t) = 4000 · U(t) = 4000 + 10
t + 1
G(t) = 5000 · t
20 t
F(t) = 4000 + 10 − 5000 t
t + 1
Fmax = F(3) = 85000
Fortolkning af resultatet 3 tons gødning pr. ha. Fortjeneste: 85000 kr. pr. ha.
15
Anvendelseseksempel A.21: Høstudbytte (fortsat)
Spørgsmål Hvordan afhænger det optimale gødningsniveau af prisen på gødning?
Prisen på gødning p (kr. pr. tons)
Fortjeneste
Resultat F(t) har maksimum i
20 t
F(t) = 4000 + 10 − pt
t + 1
topt =
80000
− 1
p
p 3000 4000 5000 6000 7000
topt 4.2 3.5 3.0 2.7 2.4
16