Forelæsning A2 i matematik, torsdag 28/8 2008
Forelæsning A2 i matematik, torsdag 28/8 2008
Forelæsning A2 i matematik, torsdag 28/8 2008
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Eksempel A.5.2(a) f (x) =<br />
x − 1<br />
x 2 + 3<br />
Funktionsundersøgelse<br />
(1) Definitionsmængde: f (x) defineret for alle x, men kun interesseret i x ≥ 0.<br />
(2) Nulpunkter: x = 1 eneste nulpunkt.<br />
(3) Maksimum i x = 3 med f (3) = 1 6 .<br />
Minimum i x = 0 med f (0) = − 1<br />
3 .<br />
(Endvidere vil f (x) → 0 når x → ∞.)<br />
(4) Grafen for f (x):<br />
0.2<br />
0.1<br />
0<br />
–0.1<br />
y<br />
–0.2<br />
–0.3<br />
x<br />
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10<br />
5<br />
Aktivering Funktionsundersøgelse<br />
Om funktionen<br />
oplyses det at<br />
samt følgende værdier af f ′ (x):<br />
f (x) = 3x 4 − 16x 3 + 30x 2 − 24x + 9<br />
f ′ (x) = 0 ⇔ x = 1 eller x = 2<br />
x 0.5 1.5 1.6 3<br />
f ′ (x) −4.5 −1.5 −1.7<strong>28</strong> 48<br />
Benyt disse oplysninger (ikke lommeregneren!) til at<br />
• lave en grov skitse af grafen for f (x)<br />
• drage konklusioner vedrørende maksimum og minimum for f (x)<br />
6<br />
Eksempel A.5.2(b) Funktionsundersøgelse<br />
Grafen for f (x) = x−a<br />
x2 for a = 0.5, 1 og 2:<br />
+3<br />
0.2<br />
y<br />
0.1<br />
0<br />
–0.1<br />
–0.2<br />
–0.3<br />
Grafen for f (x) = x−1<br />
x2 for b = 1, 3 og 10:<br />
+b<br />
0.2<br />
y<br />
0.1<br />
0<br />
–0.1<br />
–0.2<br />
–0.3<br />
x<br />
0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 1 2 3 4 5 6<br />
x<br />
0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 1 2 3 4 5 6<br />
7<br />
Brug af den dobbelt afledede f ′′ (x)) Funktionsundersøgelse<br />
Sætning A.5.2<br />
(a) Antag at f ′ (x0) = 0. Så gælder:<br />
f ′′ (x0) > 0 ⇒ f (x) har lokalt minimum i x0<br />
f ′′ (x0) < 0 ⇒ f (x) har lokalt maksimum i x0<br />
f ′′ (x0) = 0 ⇒ undersøges nærmere<br />
(b) f ′′ (x) > 0 for alle x ⇒ f (x) konveks (Grafen “krummer opad”)<br />
f ′′ (x) < 0 for alle x ⇒ f (x) konkav (Grafen “krummer nedad”)<br />
8