Krumningsradius & superellipsen - Steen Toft Jørgensen

More documents

Recommendations

Info

Krumningsradius & superellipsen Side 2/4 Steen Toft Jørgensen Vi definerer så funktionen: • Beregn at • Beregn at f '( x) = f ''( x) = 2 2 f ( x) =− r −x for − r < x < r x r − x 2 r 2 2 2 2 3 2 ( r − x ) (håndregning + tjek på TI-89) (håndregning + tjek på TI-89) • Beregn så f ''(0) og endelig krumningsradius R i punktet (0,-r) Stemmer den med det forventede? 2 2 ⎛ x⎞ ⎛ y⎞ Man kunne have skrevet cirklens ligning på følgende form: ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 1, og dermed have ⎝ r ⎠ ⎝ r ⎠ fundet et andet udtryk for funktionen 2 2 1 2 ⎛ x⎞ ⎛ ⎛ x⎞ ⎞ f ( x) = −r⋅ 1− ⎜ ⎟ =−r⋅⎜1−⎜ ⎟ ⎟ for − r < x< r. ⎝r ⎠ ⎜ ⎝r ⎠ ⎟ ⎝ ⎠ • Gennemfør igen beregningen ovenfor med dette funktionsudtryk Ellipsen Ellipsen er en oval. Den tilnærmer rimeligt æggeformen. Planetbanerne omkring solen er eksempler på ellipseform. 2 2 ⎛ x⎞ Ellipsen har en ligning af formen: ⎜ ⎟ ⎝a⎠ ⎛ y⎞ + ⎜ ⎟ ⎝b⎠ = 1 , altså helt analogt med cirklens ligning, blot er ’radius i x- og y-retningen forskellig (nemlig a hhv. b)’ – hvor a og b begge er > 0. • Isoler y i ellipsens ligning, og udled funktionsudtrykket for den nederste del af ellipsen:
Krumningsradius & superellipsen Side 3/4 Steen Toft Jørgensen 2 2 1 2 f ( x) =−b⋅ ⎛ x⎞ 1− ⎜ ⎟ ⎝a⎠ ⎛ ⎛ x⎞ =−b⋅⎜1− ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ⎝a⎠ ⎞ ⎟ ⎠ for − a< x< a. • Beregn f '( x) (håndregning + tjek på TI-89) • Beregn f ''( x) (håndregning + tjek på TI-89) • Beregn f ''(0) (håndregning + tjek på TI-89) 2 a • Vis at krumningsradius R = i punktet (0,-b) b NB: hvis a = b, så bliver R = r, dvs. det passer med udregningen for cirklen! Ellipsens massemidtpunkt (tyngdepunkt) ligger i origo, dvs. (0,0). Krumningscirklen centrum ligger 2 a i (0,-b + ). Hvis a > b, så vil R > b, så tyngdepunktet ligger UNDER krumningscentret. I så b tilfælde er ellipsen stabil, dvs. en lille afvigelse vil forårsage et sving tilbage til ligevægten. Derfor kan ellipsen ligge stabilt, når a > b. Hvis a < b, bliver ligevægten ustabil, idet en lille afvigelse får ellipsen til at vælte Dette forklarer, hvorfor et æg kan ligge ned på siden, men ikke stå på enden! NB: Du kan læse mere om ellipsen og se flot grafik på www.matematiksider.dk/ellipser.html (Websitet er lavet af Erik Vestergård, Haderslev Katedralskole). Superellipsen Piet Hein har arbejdet med den såkaldte superellipse, der er mere rektangulær end ellipsen. Han har brugt formen til at fremstille et berømt mødebord, og mange kender den 3-dim. udgave kaldet superellipsoiden fra Piet Heins superæg, som typisk kan købes i en flot messingudgave. 2.5 2.5 ⎛ x ⎞ ⎛ y ⎞ Superellipsens ligning ligner ellipsens - blot er eksponenten 2.5 i stedet for 2: ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 1 ⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠
Page 1: Krumningsradius & superellipsen Sid

Krumningsradius & superellipsen - Steen Toft Jørgensen

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?