Krumningsradius & superellipsen - Steen Toft Jørgensen
Krumningsradius & superellipsen - Steen Toft Jørgensen
Krumningsradius & superellipsen - Steen Toft Jørgensen
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>Krumningsradius</strong> & <strong>superellipsen</strong> Side 2/4 <strong>Steen</strong> <strong>Toft</strong> <strong>Jørgensen</strong><br />
Vi definerer så funktionen:<br />
• Beregn at<br />
• Beregn at<br />
f '( x)<br />
=<br />
f ''( x)<br />
=<br />
2 2<br />
f ( x) =− r −x for − r < x < r<br />
x<br />
r − x<br />
2<br />
r<br />
2 2<br />
2 2<br />
3<br />
2<br />
( r − x )<br />
(håndregning + tjek på TI-89)<br />
(håndregning + tjek på TI-89)<br />
• Beregn så f ''(0) og endelig krumningsradius R i punktet (0,-r)<br />
Stemmer den med det forventede?<br />
2 2<br />
⎛ x⎞ ⎛ y⎞<br />
Man kunne have skrevet cirklens ligning på følgende form: ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 1,<br />
og dermed have<br />
⎝ r ⎠ ⎝ r ⎠<br />
fundet et andet udtryk for funktionen<br />
2 2<br />
1<br />
2<br />
⎛ x⎞ ⎛ ⎛ x⎞<br />
⎞<br />
f ( x) = −r⋅ 1− ⎜ ⎟ =−r⋅⎜1−⎜ ⎟ ⎟ for − r < x<<br />
r.<br />
⎝r ⎠ ⎜ ⎝r ⎠ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
• Gennemfør igen beregningen ovenfor med dette funktionsudtryk<br />
Ellipsen<br />
Ellipsen er en oval. Den tilnærmer rimeligt æggeformen. Planetbanerne omkring solen er eksempler<br />
på ellipseform.<br />
2 2<br />
⎛ x⎞ Ellipsen har en ligning af formen: ⎜ ⎟<br />
⎝a⎠ ⎛ y⎞<br />
+ ⎜ ⎟<br />
⎝b⎠ = 1 , altså helt analogt med cirklens ligning, blot er<br />
’radius i x- og y-retningen forskellig (nemlig a hhv. b)’ – hvor a og b begge er > 0.<br />
• Isoler y i ellipsens ligning, og udled funktionsudtrykket for den nederste del af ellipsen: