Formelsamling til Fysik 8 - Bozack @ KU

Formelsamling til Fysik 8
Pia Jensen, www.fys.ku.dk/~bozack,
25. marts 2009,
Version 1.0.
– Eksamensnoter til Kvantemekanik II

2 Indholdsfortegnelse
Indledning
Dette dokument er en formelsamling til kurset Fysik 8, ogs˚a kaldt Kvantemekanik II, p˚a Københavns
Universitet. Dette kursus er en efterfølger til kurset Fysik 5, ogs˚a kaldt Kvantemekanik I, og som
s˚adan er der faktisk “bare” tale om en masse anvendelser af de metoder der blev lært i Fysik 5.
Den brugte bog er Introduction to Quantum Mechanics af David J. Griffiths, den samme bog som
blev brugt i Fysik 5, samt et par noter skrevet af forelæseren. I dette kursus er kapitlerne 6-9
blevet gennemg˚aet, hvilket kort opsummeret bare er pertubationsregning, variationsprincippet og
WKB-approksimationen. For at gøre formelsamlingen s˚a let og hurtig som mulig at bruge har jeg
fulgt opbygningen fra bogen, s˚a sektionsnumre svarer til kapitelnumrene heri. I starten af formelsamlingen,
i afsnit 1, gennemg˚ar jeg periodiske potentialer – et emne der ikke er i bogen, men som
vi fik udleveret et sæt ekstra noter til.
Jeg har i slutningen af formelsamlingen lavet et hurtigt oprids af Dirac-notationen og Diracformalismen,
lavet en liste over de integraler vi har udregnet og brugt under regneøvelserne (der
var jo en lille risiko for at de kunne dukke op igen), samt medtaget en række sm˚a vigtige matematiske
sammenhænge.
Og s˚a til sidst – lad være med at stole blindt p˚a denne formelsamling. Hvis der er noget der
virker underligt eller noget du husker som værende anderledes, s˚a er sandsynligheden der for at
jeg har skrevet forkert eller misforst˚aet et eller andet. Jeg vil ikke gøre ansvarlig for at der er nogen
der f˚ar en d˚arlig eksamen eller lignende, bare fordi de ikke tør sl˚a op i deres bog selv.
Indholdsfortegnelse
1 Periodiske potentialer 4
1.1 Brystværnspotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 To partikler 7
2.1 Identiske partikler – bosoner og fermioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
6 Tidsuafhængig pertubationsteori 9
6.1 Ikke-udartet pertubationsteori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
6.2 Udartet pertubationsteori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
7 Variationsprincippet 11
7.1 Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
8 WKB approksimationen 12
8.1 Det klassiske omr˚ade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
8.2 Tunnelering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
8.3 Sammenhængsformler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
9 Tidsafhængig pertubationsteori 14
9.1 Totilstandssystemer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
9.2 Emission og absorption af str˚aling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
9.3 Spontan emission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Indholdsfortegnelse 3
Appendikser
A Dirac-formalismen 18
A.1 Indre produkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
A.2 Hermitiske operatorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
A.3 Kommutatorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
B Brugte integraler 19
C Vigtige matematiske sammenhænge 19
C.1 Eulers formler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
C.2 Rækkeudviklinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
C.3 Lige og ulige funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Indeks 21

4 1 Periodiske potentialer
1 Periodiske potentialer
Teorien om periodiske potentialer omhandler elektroners bevægelse i faste stoffer. Man regner p˚a
et en-dimensionelt krystal, en kæde af atomer, som er dannet ved at tilføje atomer ét for ét.
N˚ar to atomer bringes nærmere dannes der en lige og en ulige tilstand ud af hver tilstand fra
atomerne, og de g˚ar henholdsvis ned og op i energi n˚ar atomerne kommer tættere p˚a hinanden.
N˚ar man har bragt rigtig mange atomer sammen er der energib˚and hvor tilstandene ligger s˚a tæt
at man ikke rigtig kan skelne dem, og imellem disse b˚and ligger der b˚andgab, hvor der ikke er
nogen tilladte egenenergier.
Sætning 1.1 (Antal tilstande) N˚ar man har N atomer, kan man fra 1s orbitalerne danne 2N
tilstande (og disse bliver selvfølgelig besat først), hvis man inkluderer spin. Man vil tilsvarende
kunne danne 2N tilstande fra 2s orbitalerne og 6N for 2p orbitalerne. ◭
Det vigtigste at bemærke for et s˚adant krystal er periodicitet. Potentialet m˚a være periodisk
med periode d, s˚a
V (x + d) = V (x), (1.1)
hvor d er afstanden mellem to atomer. Derudover er krystallet jo heller ikke uendeligt stort, s˚a for
at indg˚a dumme randbetingelser lader man det “bide sig selv i halen”, og arbejder alts˚a med det
som om der slet ikke var nogen rand. Randbetingelsen er s˚a
ϕ aN + d
= ϕ a1 −
2
d
,
2
d
dx ϕ
aN + d
=
2
d
dx ϕ
a1 − d
, (1.2)
2
hvor a1 er placeringen af det første atom og aN er placeringen af det N’te (sidste) atom. Denne
randbetingelse gør at bølgefunktionen ogs˚a bliver periodisk over et helt atom, og der skal alts˚a
gælde at
der kan normeres ved
ϕ(x + Nd) = ϕ(x), (1.3)
x0+Nd
1 = ϕ(x)dx. (1.4)
x0
Definition 1.2 (Parallelforskydningsoperatoren) Man definerer en krystalparallelforskydningsoperator
D som foretager en parallelforskydning af bølgefunktionen med længden d, alts˚a
Dϕ(x) ≡ ϕ(x − d). (1.5)
Denne operator kommuterer med Hamiltonoperatoren, fordi denne (grundet potentialets periodicitet)
er invariant overfor en parallelforskydning af bølgefunktionen, s˚a
[D,H] = 0. (1.6)
◭
Parallelforskydningsoperatoren har egenfunktioner af formen e −ikd , og der skal gælde at n˚ar
man har virket med operatoren N gange, s˚a er man tilbage til udgangspunktet, s˚a (e −iknd ) N = 1.

1 Periodiske potentialer 5
Dette giver kvasibølgetallet kn til at være
kn = n
N
2π
, hvor n ∈ Z. (1.7)
d
Man kan nu indføre en Bloch funktion u(x), der er periodisk med periode d, s˚a u(x+d) = u(x),
og da er egenfunktionerne til parallelforskydningsoperatoren, og dermed ogs˚a Hamiltonoperatoren
fordi de kommuterer, givet ved
1.1 Brystværnspotential
ϕ(x) = e ikx u(x). (1.8)
For at f˚a noget der er lidt lettere at arbejde med, og som stadig er nogenlunde tæt p˚a det potential
som en lang række atomer laver, definerer vi brystværnspotentialet, eller Kronig-Penney
potentialet, ved
V (x) =
0 for x ∈ · · · ,[−d, −d + a],[0,a],[d,d + a], · · ·
V0 for x ∈ · · · ,[−b,0],[a,d],[a + d,2d], · · ·
Dette er alts˚a en række brønde med bredden a, separeret af en række toppe med højden V0 og
bredden b, og der gælder at a + b = d. Dette er illustreret nedenfor:
b
V (x)
b
V0
a d
For energier højere end potentialbarierren, E > V0, er løsningerne givet ved
og der gælder at
ϕ(x) =
2 k 2 1
2m
Ae ik1x + Be −ik1x for 0 ≤ x ≤ a
Ce ik2x + De −ik2x for a ≤ x ≤ d
= E og
Denne bølgefunktion overholder dispersionsligningen
hvor
cos k1a cos k2b − k2 1 + k 2 2
2k1k2
a
x
(1.9)
(1.10)
2 k 2 2
2m = E − V0. (1.11)
sin k1asin k2a = cos kd. (1.12)
Tilsvarende, for energier lavere end potentialbarrieren, 0 < E < V0, er løsningerne givet ved
ϕ(x) =
2 k 2 1
2m
Ae ik1x + Be −ik1x for 0 ≤ x ≤ a
Ce κx + De −κx for a ≤ x ≤ d
= E og
(1.13)
2 κ 2
2m = V0 − E. (1.14)

6 1 Periodiske potentialer
Ogs˚a denne bølgefunktion skal overholde en dispersionligning, der er givet ved
cos k1a cosh κb − k2 1 + κ 2
2k1κ sin k1asinhκa = cos kd. (1.15)
For begge dispersionsligninger er det vigtigt at bemærke at højresiden er begrænset til at være
mellem −1 og 1, mens venstresiden ikke er det – s˚a man f˚ar lovlige energib˚and n˚ar venstresiden
faktisk er inden for dette interval, hvorimod man f˚ar b˚andgabene n˚ar venstresiden er uden for
intervallet.

2 To partikler 7
2 To partikler
2.1 Identiske partikler – bosoner og fermioner
N˚ar man har to partikler – kald dem partikel 1 og partikel 2 – sammen, og man kan kende dem
fra hinanden, og derudover ved at den ene er i tilstand ϕa, mens den anden er i tilstand ϕb, s˚a er
den samlede bølgefunktion (inklusive spin)
ψ(r1,r2,ms1,ms2) = ϕa(r1)ϕb(r2)χ(ms1,ms2). (2.1)
Hvis man derimod ikke kan kende de to partikler fra hinanden m˚a bølgefunktionen have en af de
to former
ψ(r1,r2,ms1,ms2) = A ϕa(r1)ϕb(r2) ± ϕb(r1)ϕa(r2) χ(ms1,ms2), (2.2)
og der findes alts˚a to forskellige typer identiske partikler; bosoner, hvor man bruger plus’et, og
fermioner, hvor man bruger minus’et. Der gælder at
alle partikler med heltalligt spin er bosoner, (2.3)
alle partikler med halvtalligt spin er fermioner. (2.4)
Fotoner og mesoner er bosoner, mens protoner og elektroner er fermioner.
Man definerer ombytningsoperatoren P s˚aledes at Pf(r1,r2,ms1,ms2) = f(r2,r1,ms2,ms1) –
den bytter simpelthen rundt p˚a de to partikler. Denne kommuterer med Hamiltonoperatoren, og
da den har lige og ulige funktioner som egenfunktioner gælder der alts˚a at Hamiltonoperatoren
ogs˚a har det. Der gælder derfor for identiske partikler at
ψ(r1,r2,ms1,ms2) = ±ψ(r2,r1,ms2,ms1), (2.5)
med plus’et for bosoner (symmetrisk under ombytning) og minus’et for fermioner (antisymmetrisk
under ombytning).
Sætning 2.1 (Singlet og triplet spin-tilstande) Hvis man har to spin-1/2 partikler kan de tilsammen
være i linearkombinationer af de fire forskellige tilstande ↑↑, ↑↓, ↓↑ og ↓↓. Disse har de
samlede kvantenumre ms givet ved
↑↑: ms = 1, ↑↓: ms = 0, ↓↑: ms = 0, ↓↓: ms = −1, (2.6)
men ms skulle gerne vokse i heltaltstrin fra −s til +s, hvor s er systemets samlede spin (her
enten 0 eller 1), s˚a man laver linearkombinationer af de fire tilstande s˚aledes at dette passer.
Dermed f˚ar man at for et samlet spin p˚a s = 1 er der de tre tilstande
|χT1 〉 = |11〉 = ↑↑ (2.7)
|χT0 〉 = |10〉 = 1 √ 2 (↑↓ + ↓↑) (2.8)
|χT−1 〉 = |1 − 1〉 = ↓↓, (2.9)
med notationen |sms〉 efter første lig-med tegn. Dette kaldes for triplet kombinationen. Derudover
f˚as ogs˚a en enkelt tilstand med samlet spin s = 0,
|χS〉 = |00〉 = 1
√ 2 (↑↓ − ↓↑), (2.10)
kaldt for en singlet tilstand. ◭

8 2 To partikler
Hvis man ser p˚a singlet tilstanden ovenfor, kan det ses at den er antisymmetrisk under ombytning,
hvorfor den skal sættes sammen med en symmetrisk positions-bølgefunktion for at hele
tilstanden er antisymmetrisk (hvilket det skal være da der arbejdes med et spin-1/2 partikler).
Tilsvarende ses det at alle tre triplettilstande er symmetriske under ombytningn, hvorfor de
skal sættes sammen med en antisymmetrisk positions-bølgefunktion for at hele tilstanden er antisymmetrisk.
Hvis to elektroner besætter to forskellige orbitaler der overlapper tilstrækkeligt meget, s˚a vil
tripletten have lavest energi.

6 Tidsuafhængig pertubationsteori 9
6 Tidsuafhængig pertubationsteori
Lad os sige at man har løst den tids-uafhængige Schrödingerligning for et eller andet potentiale
H 0 , s˚a man har et ortonormalt sæt af egenfunktioner ψ 0 n med tilhørende egenenergier E 0 n s˚aledes
at
og ψ0
0
n ψm H 0 ψ 0 n = E 0 nψ 0 n
= δnm. Hvis man nu ændrer Hamiltonoperatoren for systemet en lille smule – pertu-
berer den – s˚a den nu er givet ved
(6.1)
H = H 0 + H ′ , (6.2)
vil man gerne finde de nye egenfunktioner og egenenergier, ψn og En, s˚aledes at Hψn = Enψn.
Pertubationsteori giver en procedure til at finde disse tilstande og energier ud fra det system
man allerede kender som det ikke-pertuberede system. Man opskriver tilstandene og energierne
som en række
ψn = ψ 0 n + ψ 1 n + ψ 2 n + · · · og En = E 0 n + E 1 n + E 2 n + · · · , (6.3)
hvor 0-leddene tilhører det upertuberede system, mens de andre led er 1. ordens-, 2.ordens-, osv.korrektioner
til dette.
6.1 Ikke-udartet pertubationsteori
N˚ar de ikke-pertuberede tilstande ikke er udartede (alts˚a n˚ar de alle har forskellige egenenergier),
f˚ar man at førsteordens og andenordens korrektionerne til energierne er givet ved
E 1 n = ψ 0
′
n H
0
ψn og E 2 n =
m=n
mens man f˚ar at førsteordens korrektionen til bølgefunktionerne er
ψ 1 n =
m=n
| ψ0
′
m H
0 2 ψn |
E0 n − E0 , (6.4)
m
0 ψ H m
′ψ 0
n
E0 n − E0 ψ
m
0 m. (6.5)
Normalt er energierne gode korrektioner, s˚a En ≈ E 0 n + E 1 n + E 2 n, men ofte er bølgefunktionerne
ret d˚arlige.
Sætning 6.1 (Konstant pertubation) Hvis man bare lægger en konstant pertubation over et
potentiale, s˚a vil førsteordenskorrektionen til energien give den korrekte energi – alle større
korrektioner er alts˚a nul. Dette er en konklusion i eksempel 6.1 i bogen. ◭
6.2 Udartet pertubationsteori
Hvis man har ikke-pertuberede tilstande der er udartede (alts˚a s˚a flere af tilstandene har samme
energi) kan den ikke-udartede pertubationsteori ikke længere bruges (ikke uden et lille sidespring
i hvert fald).

10 6 Tidsuafhængig pertubationsteori
To gange udartet
Hvis man nu har to egentilstande ψ 0 a og ψ 0 b til Hamiltonoperatoren H0 , og de begge har samme
egenværdi E 0 , men stadig er orthonormale, s˚a er en hvilken som helst linearkombination af disse
(vel og mærke normaliseret) ogs˚a en egentilstand til H 0 med samme energi. Alts˚a, for
ψ 0 = αψ 0 a + βψ 0 b, (6.6)
gælder der at H 0 ψ 0 = E 0 ψ 0 .
N˚ar man sætter pertubationen p˚a systemet splittes den ene energi (som de to deler) op i to
forskellige energier. Hvis man g˚ar den anden vej g˚ar tilstanden med den øverste energi ned til en
lineær kombination mens tilstanden med nederste energi g˚ar op til en anden lineær kombination.
Men vi ved ikke hvilke linearkombinationer der er de “gode”, s˚a vi kan ikke bruge formlerne fra
den ikke-udartede pertubationsteori direkte.
N˚ar vi bruger notationen at E = E 0 + E 1 + E 2 + · · · og ψ = ψ 0 + ψ 1 + ψ 2 + · · · , og gerne vil
løse Hψ = Eψ for H = H 0 + H ′ , viser det sig at førsteordenskorrektionen til energierne er
hvor
E 1 ± = 1
Waa + Wbb ±
2
(Waa − Wbb) 2 + 4|Wab| 2
, (6.7)
Wij = ψ 0 ′
i H 0
ψj
, i,j ∈ {a,b} (6.8)
er matrixelementerne for den pertuberende del af Hamiltonoperatoren (bemærk at Wba = W ∗ ab ).
Teorem 6.1 Lad A være en hermitisk operator der kommuterer med H 0 og H ′ (s˚a der gælder
at [A,H 0 ] = [A,H ′ ] = 0). Hvis ψ 0 c og ψ 0 d (de udartede egenfunktioner til H0 ) ogs˚a er
egenfunktioner til A med forskellige egenværdier,
Aψ 0 c = µψ 0 c og Aψ 0 d = νψ 0 d, (6.9)
hvor µ = ν, s˚a er Wcd = 0, og da er ψ0 c og ψ0 d de “gode” egentilstande, s˚a man kan bruge
ikke-udartet pertubationsteori. ◭
Flere gange udartet
Generaliseringen til flere udartninger end to er nemmest at forst˚a hvis man starter med at skrive
situationen med en dobbelt udartning p˚a matriceform. Man har nemlig ligningen
Waa Wab α
β
= E 1
α
β
, (6.10)
Wba Wbb
s˚a førsteordenskorrektionerne til energien er egenværdierne til matricen W, mens de “gode” linearkombinationer
er egenvektorerne (der giver værdierne af α og β).
Hvis man vil generalisere til n udartninger laver man simpelthen bare n × n matricen W
defineret ved at elementerne i den er
, (6.11)
Wij = ψ 0 ′
i H 0
ψj og denne matrices egenværdier er s˚a førsteordenskorrektionerne til energien, mens dens egenvektorer
er de “gode” linearkombinationer.

7 Variationsprincippet 11
7 Variationsprincippet
Variationsprincippet bruges n˚ar man gerne vil finde en øvre grænse for grundtilstandsenergien Egs
tilhørende en given Hamiltonoperator H, og man ikke kan løse Schrödingerligningen for den.
7.1 Teori
Variationsprincippet siger at hvis man vælger en hvilken som helst bølgefunktion ψ som sin testfunktion
(s˚a længe den er normaliseret), s˚a gælder der at
Egs ≤ 〈ψ|H|ψ〉 ≡ 〈H〉. (7.1)
S˚a forventningsværdien af H er altid større end eller lig med grundtilstandsenergien, lige meget
hvilken bølgefunktion man tester med.
Metode 7.1 (Variationsprincippet) N˚ar man skal bruge variationsprincippet starter man med
en Hamiltonoperator H = T +V og en testfunktion ψ. Man normaliserer først sin testfunktion,
hvorefter man kan bruge at 〈H〉 = 〈T 〉+〈V 〉. S˚a man kan alts˚a bare udregne de to sidstnævnte
for at finde 〈H〉.
Man udregner simpelthen de to integraler der dukker op ved 〈T 〉 = 〈ψ|T |ψ〉 og 〈V 〉 =
〈ψ|V |ψ〉, hvorved man har et udtryk for 〈H〉. Dette udtryk differentierer man s˚a mht. den
variabel man skal variere, sætter dette lig med nul, og isolerer den variable. S˚a har man den
værdi for variablen hvor 〈H〉 er minimal. Til sidst sætter man alts˚a simpelthen denne værdi
for den variable ind i 〈H〉, og har derved sin laveste øvre grænse for energien med den givne
testfunktion. ◭
Et populært valg af testfunktion er en Gaussisk funktion, fordi den er nem at arbejde med.
Den har formen
ψ(x) = Ae −bx2
,
1/4 2b
A = ,
π
(7.2)
hvor konstanten A er fundet ved normalisering (se udregningen i formel 7.3 i bogen). Nogle gange
kan man bruge en sfærisk Gaussisk funktion i stedet for, hvor man da har at
ψ(r) = Ae −br2
, A =
hvor A her blev fundet ved normaliseringen
1 = |A| 2
2π π ∞
0
fra opgave 7.13.
0
0
e −br2
r 2 dr sin θ dθ dϕ = 4π|A| 2
3/4 2b
, (7.3)
π
∞
0
e −br2
r 2 dr = |A| 2 π
3/2 2b
(7.4)

12 8 WKB approksimationen
8 WKB approksimationen
WKB approksimationen er en metode til at finde tilnærmede løsninger til den tidsuafhængige
Schrödingerligning i en dimension. Specielt bruger vi den til at finde energier og sandsynligheder
for tunnellering.
Metoden udvikles ud fra tanken om en partikel der bevæger sig igennem et omr˚ade med et
konstant potentiale. Hvis E > V er løsningen
ψ(x) = Ae ±ikx
2m(E − V )
, hvor k ≡ , (8.1)
og hvis E < V er løsningen
ψ(x) = Ae ±κx
2m(V − E)
, hvor κ ≡ . (8.2)
Hvis nu V (x) ikke er konstant, men ændrer sig meget langsomt i forhold til løsningernes bølgelængder
λ = 2π/k (og λ ∝ 1/κ), vil løsningerne stadig tilnærmelsesvist være som ovenfor, men bølgelængderne
og amplituderne vil ændre sig langsomt med x.
8.1 Det klassiske omr˚ade
I det klassiske omr˚ade er E > V . Vi bruger den tidsuafhængige Schrödingerligning p˚a formen
hvor p er den klassiske impuls, givet ved
p(x) ≡
d2ψ = −p2 ψ, (8.3)
dx2 2
2m E − V (x) , (8.4)
der alts˚a er reel i det klassiske omr˚ade. Man kan nu skrive bølgefunktionen som en funktion af
dens amplitude A(x) og dens fase φ(x), der begge er reelle, s˚a ψ(x) = A(x)eiφ(x) , og ved at sætte
dette ind i Schrödingerligningen f˚ar man to ligninger for A og φ, for hvilke løsningerne giver (efter
antagelsen om at A ændrer sig meget langsomt) at
ψ(x) =
8.2 Tunnelering
1
p(x)
C+e iφ(x) + C−e −iφ(x)
, hvor φ(x) = 1
p(x)dx. (8.5)
N˚ar man har en situation hvor energien er lavere end potentialenergien, E < V , er man ikke
længere i den klassiske region. Man kan dog stadig finde en løsning, nemlig
1
ψ(x) = C+e
|p(x)|
φ(x) + C−e −φ(x)
, hvor φ(x) = 1
|p(x)|dx, (8.6)
hvor
p(x) =
2m E − V (x)
= i 2m V (x) − E
alts˚a nu er kompleks.
Det kan vises at hvis man har en barriere med bredden a, og man uden om denne har et
potentiale p˚a nul, s˚a er transmissionssandsynligheden T givet ved
T ≈ e −2γ , hvor γ ≡ 1
(8.7)
a
|p(x)|dx. (8.8)
0

8 WKB approksimationen 13
8.3 Sammenhængsformler
Der kommer dog lidt problemer n˚ar man kommer tæt p˚a de klassiske vendepunkter, hvor E = V ,
(disse punkter er vist p˚a figuren nedenfor).
V (x)
E
x1
Klassiske vendepunkter
Det viser sig at problemet med hvordan bølgefunktionen skal hænge sammen i omr˚aderne omkring
de klassiske vendepunkter løses af de to Airy funktioner Ai(x) og Bi(x). Jeg vil dog ikke komme
nærmere ind p˚a dette, da det ikke er eksamensrelevant.
Man kan finde generelle udtryk for integralet for fasefunktionen φ(x) n˚ar man ved lidt om det
potentiale der arbejdes med: Hvordan det ender i begge sider. Dette har jeg vist nedenfor:
Sætning 8.1 Hvis man har potentialer der har enten to, en eller ingen vertikale vægge, har
bogen udledt formler for integralet over p(x). Hvis man har et potentiale med to vertikale
vægge, vist p˚a figur (a) nedenfor, bliver integralet givet ved
a
p(x)dx = nπ, n = 1,2,3, · · · . (8.9)
0
Hvis man har et potentiale med en enkelt vertikal væg, vist p˚a figur (b) nedenfor, bliver integralet
givet ved
x2
p(x)dx = n − 1
π,
4
n = 1,2,3, · · · . (8.10)
0
Og til sidst, hvis man har et potentiale uden vertikale vægge, vist p˚a figur (c) nedenfor, bliver
integralet givet ved
x2
p(x)dx = n − 1
π, n = 1,2,3, · · · . (8.11)
2
V (x)
(a)
E
0
a
x1
x
V (x)
(b)
E
0
x2
x
x2
x
V (x)
(c)
E
x1
x2
x
◭

14 9 Tidsafhængig pertubationsteori
9 Tidsafhængig pertubationsteori
9.1 Totilstandssystemer
Vi starter med et upertuberet system med to ortonormale egentilstande ψa og ψb til Hamiltonoperatoren
H 0 , s˚aledes at H 0 ψa = Eaψa og H 0 ψb = Ebψb. Enhver tilstand i dette egenrum kan da
skrives som en linearkombination af disse to egenfunktioner,
Ψ(0) = caψa + cbψb, (9.1)
og n˚ar tiden g˚ar (uden en pertubation), udvikler denne tilstand sig som
Ψ(t) = caψae −iEat/ + cbψbe −iEbt/ . (9.2)
Bemærk at der kræves at |ca| 2 + |cb| 2 = 1 for at tilstanden er normaliseret.
Nu sætter vi en tidsafhængig pertubation p˚a systemet. Nu bliver konstanterne ca og cb funktioner
af tiden t, og der gælder alts˚a at
Ψ(t) = ca(t)ψae −iEat/ + cb(t)ψbe −iEbt/ . (9.3)
S˚a nu er problemet blevet reduceret til at finde disse to konstanter som funktion af tiden. Det kan
vises at
˙ca = − i
caH
′ aa + cbH ′
−i(Eb−Ea)t/
abe (9.4)
˙cb = − i
cbH
′ bb + caH ′
i(Eb−Ea)t/
bae , (9.5)
hvor
H ′ ij ≡ 〈ψi|H ′ |ψj〉 . (9.6)
Ofte sker der dog det at diagonalerne for H ′ er nul, H ′ aa = H ′ bb
pænere udtryk
= 0, og da f˚ar man de lidt
˙ca = − i
H′ abe −iω0t cb og ˙cb = − i
H′ bae iω0t ca, (9.7)
hvor ω0 ≡ (Eb − Ea)/. Disse ligninger kan man løse eksakt, men det er ikke nemt. Hvis H ′ er
lille derimod, kan man bruge pertubationsteori til at finde løsningerne som første, anden, tredje
osv. orden. Denne metode beskriver jeg nedenfor:
Metode 9.1 (Løsning med pertubationsteori) Hvis jeg til tiden nul starter med at ca(0) = a
og cb(0) = b kan jeg vha. formlerne ovenfor finde ca og cb som funktioner af tiden, til nulte,
første og anden orden. Jeg har alst˚a at de to til nulte orden bare er
Til først orden f˚ar jeg at
c (0)
a (t) = a, c (0)
b
˙c (1)
a (t) = − i
H′ abe −iω0t b ⇒ c (1)
a (t) = a − ib
t
0
˙c (1) i
b (t) = −
H′ bae iω0t a ⇒ c (1)
t
ia
b (t) = b −
(t) = b. (9.8)
0
H ′ ab(t ′ )e −iω0t′
H ′ ba(t ′ )e iω0t′
dt ′ , (9.9)
dt ′ , (9.10)

9 Tidsafhængig pertubationsteori 15
og til anden orden f˚ar jeg at
˙c (2)
a (t) = − i
H′ abe −iω0t
b − ia
t
0
c (2)
a (t) = a − ib
t
H
0
′ ab(t ′ )e −iω0t′
dt − a
2 t
0
˙c (2) i
b (t) = −
H′ bae iω0t
a − ib
t
0
c (2)
t
ia
b (t) = b − H
′ ba(t ′ )e iω0t′
dt ′ − b
2 t
0
H ′ ba(t ′ )e iω0t′
H ′ ab(t ′ )e −iω0t′
0
dt ′
H ′ ab(t ′ )e −iω0t′
dt ′
H ′ ba(t ′ )e iω0t′
⇒ (9.11)
t ′
0
H ′ ba(t ′′ )e iω0t′′
dt ′′ dt ′ , (9.12)
⇒ (9.13)
t ′
0
H ′ ab(t ′′ )e −iω0t′′
dt ′′ dt ′ . (9.14)
Disse resultater blev udregnet i opgave 9.5 fra bogen. ◭
Sinusoidal tidsafhængighed
Hvis nu pertubationens tidsafhængighed er harmonisk,
H ′ (r,t) = V (r)cos ωt, (9.15)
s˚a H ′ ab = Vab cos ωt, hvor Vij = 〈ψi|V |ψj〉 (og diagonalerne igen antages lig nul), f˚ar man til første
orden at (herfra arbejdes der kun til første orden, og de hævede tal der fortæller ordenen droppes)
cb(t) ≈ − Vba
2
e i(ω0+ω)t − 1
ω0 + ω
+ ei(ω0−ω)t
− 1
. (9.16)
ω0 − ω
Hvis man kun koncenterer sig om frekvenser ω tæt p˚a ω0 kan man droppe termet hvor de to lægges
sammen, og man f˚ar derfor at
cb(t) ≈ − Vba e
2
i(ω0−ω)t − 1
= −
ω0 − ω
Vba
sin
2
(ω0−ω)t
2
ω0 − ω
e i(ω0−ω)t/2 , (9.17)
og sandsynligheden for at en partikel, der starter i tilstanden ψa, kan findes i tilstanden ψb til
tiden t, er da givet ved overgangssandsynligheden
Pa→b(t) = |cb(t)| 2 =
9.2 Emission og absorption af str˚aling
|Vba| 2
2
sin 2
(ω0−ω)t
2
(ω0 − ω) 2 . (9.18)
Et bølge af elektromagnetisk str˚aling, lys, sendt mod et atom, kan f˚a atomet til at ændre sin
tilstand. En s˚adan bølge er netop et sinusoidalt oscillerende elektrisk felt (det magnetiske felt
p˚avirker ikke atomet nær s˚a meget, s˚a vi ser kun p˚a det elektriske), givet ved E = ˆ kE0 cos ωt. Den
pertuberende Hamiltonoperator bliver da H ′ = −qE0z cos ωt, og derfor er dens matrixelementer
H ′ ba = −p E0 cos ωt, hvor p ≡ q 〈ψb|z|ψa〉 . (9.19)
Normalt er bølgefunktionerne lige eller ulige funktioner i z-retningen, og da bliver de diagonale
matrixelementer af H ′ lig nul som sædvanligt. Og da er atomets vekselvirkning med lys lige præcis
som beskrevet ovenfor med en sinusoidal tidsafhængighed, med Vba = −p E0.

16 9 Tidsafhængig pertubationsteori
Hvis et atom starter ud i den lave tilstand ψa og man sender polariseret monokromatisk lys
mod det, er sandsynligheden for en transition til den øvre tilstand ψb givet ved
2 |p |E0
sin
Pa→b(t) =
2
(ω0−ω)t
2
(ω0 − ω) 2 . (9.20)
I denne proces har atomet absorberet energien Eb − Ea = ω0 fra feltet; atomet har absorberet
en foton.
Hvis atomet i stedet starter i den øvre tilstand ψb og p˚avirkes af det samme elektriske felt, er
sandsynligheden for et henfald til den lave tilstande ψa givet ved (sjovt nok) præcist det samme
udtryk,
Pb→a(t) = Pa→b(t). (9.21)
Her afgiver atomet en elektron med energien Eb − Ea = ω0 til feltet. Denne proces kaldes for
stimuleret emission.
Inkoherente pertubationer
Men indtil videre er der kun blevet set p˚a polariseret monokromatisk lys. I virkeligheden er lys
jo ikke s˚adan; det indeholder forskellige bølgelængder (ikke-monokromatisk), er upolariseret og er
inkoherent. Derudover kommer det fra alle retninger i stedet for bare en enkelt retning.
Her finder man at overgangsraten (sandsynligheden differentieret mht. tiden) for stimuleret
emission fra tilstand b til tilstand a er givet ved
hvor
Rb→a = π
3ǫ0 2 |p|2 ρ(ω0), (9.22)
p ≡ q 〈ψb|r|ψa〉 (9.23)
og ρ(ω0) er energidensiteten i felterne per enhedsfrekvens, udregnet i ω0 = (Eb − Ea)/.
Overgangsraten for absorption, alts˚a overgang fra tilstand a til tilstand b, er den samme som
den for stimuleret emission ovenfor (dette bliver vist i det næste afsnit).
9.3 Spontan emission
Hvis man ser p˚a et system hvor man har en bunke atomer i en beholder, Na af dem i den lave
tilstand ψa og Nb af dem i den høje tilstand ψb, og man antager at de er i en dynamisk ligevægt,
s˚a de to tal Na og Nb er det samme hele tiden, f˚ar man at
ρ(ω0) =
A
e ω0/kBT Bab − Bba
, (9.24)
hvor A er overgangsraten for spontan emission, Babρ(ω0) er overgangsraten for stimuleret emission
og Bbaρ(ω0) er overgangsraten for absorption. Ved sammenligning med Planck’s formel for
sortlegemestr˚aling,
ρ(ω) =
π2c3 ω3 eω0/kBT , (9.25)
− 1
f˚ar man at Bab = Bba (og dermed at raten for stimuleret emission og absorption faktisk er ens)
og at A = ω 3 0Bba/π 2 c 3 . Ved sammenligning med det allerede kendte udtryk for den stimulerede

9 Tidsafhængig pertubationsteori 17
emissionsrate Rb→a = Bbaρ(ω0) f˚as det da at raten for spontan emission er
Flere henfaldsmuligheder
A = ω3 0
3πǫ0c 3 |p|2 . (9.26)
Selvfølgelig er det muligt for et atom at have mere end de kun to overgange der tidligere er blevet
arbejdet med. For at en overgang skal kunne lade sig gøre imellem to tilstande ψn og ψm kræves
der at 〈ψn|r|ψm〉 ikke er nul (alle overgangsraterne er proportionale med denne størrelse – og hvis
raterne er nul er en overgang umulig).
Man kan alts˚a udvikle forskellige overgangregler for hvorn˚ar overgange er mulige, hvilket jeg
nu vil gøre for hydrogenatomet, hvis tilstande beskrives ved de tre kvantetal n, l og m.
Sætning 9.2 (Kvantetallene for hydrogen) Lige en reminder for de tre kvantetal n, l og m,
der beskriver hydrogens egentilstande og -energier. Der gælder at
og her er de mulige værdier af l s˚a
mens de mulige værdier af m er
n = 1,2,3,4, · · · , (9.27)
l = 0,1,2,3, · · · ,n − 1, (9.28)
m = −l, −l + 1, · · · , −1,0,1, · · · ,l − 1,l. (9.29)
S˚a for alle givne l er der 2l + 1 forskellige mulige værdier af m. ◭
Sætning 9.3 (Udvalgsregler) N˚ar vi er interesserede i hvordan hydrogen kan henfalde spontant,
er der visse udvalgsregler der fortæller hvilke overgange der er lovlige, og hvilke der er
forbudte. Der gælder følgende udvalgsregel for ændringen af kvantetallet m:
Der sker ikke nogen overgange med mindre ∆m = ±1 eller 0. (9.30)
P˚a samme m˚ade er der en udvalgsregel for ændringen af kvantetallet l, givet ved:
Der sker ikke nogen overgange med mindre ∆l = ±1. (9.31)
Bemærk at der ikke er nogen udvalgsregel p˚a n – den m˚a hoppe s˚a meget frem og tilbage som
den har lyst til. ◭

18 A Dirac-formalismen
Appendikser
A Dirac-formalismen
I Dirac-formalismen beskriver man tilstande med bra’er 〈ψ| og ket’er |ψ〉.
A.1 Indre produkter
I det følgende er græske bogstaver tilstande, mens normale sm˚a bogstaver er (evt. komplekse)
konstanter. Det indre produkt er lineært, s˚a der gælder at
〈α|cβ + dγ〉 = c 〈α|β〉 + d 〈α|γ〉 , (A.1)
dog er det kun lineært i den ene side – i den anden side er det indre produkt kun konjugeret
lineært, alts˚a
〈α|cβ〉 = c 〈α|β〉 og 〈cα|β〉 = c ∗ 〈α|β〉 . (A.2)
S˚a der gælder at
Derudover gælder der at
A.2 Hermitiske operatorer
〈cα + dβ|γ〉 = c ∗ 〈α|γ〉 + d ∗ 〈β|γ〉 . (A.3)
〈α|β〉 = 〈β|α〉 ∗
Der gælder at Hermitiske operatorer har reelle egenværdier – en Hermitisk operator svarer til noget
der er m˚albart. Der gælder desuden at egenvektorerne til en Hermitisk operator er ortogonale, s˚a
hvis man har en hermitisk Hamiltonoperator vil dens egentilstande være ortogonale.
A.3 Kommutatorer
Kommutatoren mellem to operatorer A og B er defineret som
(A.4)
[A,B] = AB − BA, (A.5)
og der gælder derfor desuden at [B,A] = −[A,B]. Der gælder følgende regneregler for kommutatorer
mellem sammensatte operatorer:
[AB,C] = A[B,C] + [A,C]B og [A,BC] = B[A,C] + [A,B]C. (A.6)
Sætning A.1 (Vigtige kommutatorer) Vi er blevet givet og har udregnet en række kommutatorer
der ofte bruges, og nogle af disse vil jeg opliste her. Den kanoniske kommutatorrelation
er som følger:
[rn,pm] = iδn,m, (A.7)
hvor n,m antager værdierne x, y eller z. For impulsmomentoperatorerne Lx = ypz − zpy,
Ly = zpx − xpz og Lz = xpy − ypx f˚as kommutatorerne
[Lx,Ly] = iLz, [Ly,Lz] = iLx, [Lz,Lx] = iLy, (A.8)

C Vigtige matematiske sammenhænge 19
og operatoren L 2 = L 2 x + L 2 y + L 2 z kommuterer med b˚ade Lx, Ly og Lz. For spin-operatorerne
Sx, Sy og Sz gælder der at
B Brugte integraler
[Sx,Sy] = iSz, [Sy,Sz] = iSx, [Sz,Sx] = iSy. (A.9)
◭
Først og fremmest har jeg det meget generelle Gaussiske integrale, som en af regneøvelseslærerne
skrev en større note om hvordan man løste. Jeg har kun taget selve resultatet med, der giver at
∞
e −(ax2 b +bx+c) −c
dx = e e 2
π
2a , (B.1)
a
−∞
hvor man vel og mærke har antaget at a,b,c ∈ C, at Re [a] > 0 og at Re[ √ x] > 0. Et vigtigt
specialtilfælde af dette integrale er det typiske Gaussiske integrale, der har løsningen
∞
e −ax2
π
dx = . (B.2)
a
−∞
Bemærk at integranten er en lige funktion, s˚a hvis man kun integrerer over intervallet [0, ∞[ f˚ar
man bare den halve værdi.
Et andet integrale (brugt under løsningen af opgave 7.1) er det følgende
∞
0
x 2n e −x2 /a 2
dx = √ π (2n)!
n!
0
a
2
2n+1
. (B.3)
Bemærk at integranten ogs˚a her er en lige funktion, hvorfor man kan integrere over hele intervallet
] − ∞, ∞[ og f˚a den dobbelte værdi. De tre tilfælde n = 0, n = 1 og n = 2 dukker ofte op, hvorfor
disse er specifikt regnet ud nedenfor:
∞
n = 0 : e
0
−x2 /a 2
dx = √ π 0!
a
1 =
0! 2
1√
π a, (B.4)
2
∞
n = 1 : x
0
2 e −x2 /a 2
dx = √ π 2!
a
3 =
1! 2
1√
3
π a , (B.5)
4
∞
n = 2 : x 4 e −x2 /a 2
dx = √ π 4!
a
5 =
2! 2
3√
5
π a . (B.6)
8
C Vigtige matematiske sammenhænge
C.1 Eulers formler
Eulers formel siger at
e ±iϕ = cos ϕ ± isin ϕ, (C.1)
hvor det kan vises at den komplekse eksponentialfunktion har en periode p˚a 2π, s˚a
e i(ϕ+2πk) = e iϕ
for k ∈ Z. (C.2)
De trigonometriske funktioner er defineret ved eksponentialfunktioner som følger
sinϕ = eiϕ − e−iϕ , cos ϕ =
2i
eiϕ + e−iϕ 2
og tan ϕ = sinϕ
cos ϕ = eiϕ − e−iϕ i(eiϕ + e−iϕ , (C.3)
)

20 C Vigtige matematiske sammenhænge
mens de hyperbolske trigonometriske funktioner er defineret ved
sinhϕ = eϕ − eiϕ , cosh ϕ =
2
eϕ + eiϕ 2
C.2 Rækkeudviklinger
og tanhϕ = sinhϕ
cosh ϕ = eϕ − eiϕ eϕ . (C.4)
+ eiϕ For sm˚a x er rækkeudviklingen af (1±x) n til anden orden (vi skal næsten aldrig bruge mere) givet
ved
(1 ± x) n n(n − 1)
≈ 1 ± nx + x
2!
2 . (C.5)
C.3 Lige og ulige funktioner
En lige funktion er symmetrisk omkring y-aksen, som f.eks. cosinus er det. En ulige funktion
derimod er symmetrisk omkring (0,0), som f.eks. sin. Dette svarer til en 180 ◦ drejning omkring
(0,0). Regneregler for de lige og ulige funktioner er som følger:
lige × lige = lige, (C.6)
ulige × ulige = ulige, (C.7)
ulige × lige = ulige, (C.8)
En lige funktion har den egenskab at hvis man integrerer over et interval symmetrisk omkring
x = 0, kan man halvere integralet og gange med to, alts˚a
a a
[lige]dx = 2 [lige]dx, (C.9)
−a
da den jo er symmetrisk omkring y-aksen. P˚a samme m˚ade gælder der for en ulige funktion, der
er spejlet i x-aksen efter symmetrien omkring y-aksen, at
a
[ulige]dx = 0. (C.10)
−a
0

Indeks 21
Indeks
Absorption, 15, 16
Airy funktioner, 13
B˚andgab, 4
Bloch funktion, 5
Boson, 7
Bra, 18
Brystværnspotential, 5
Det klassiske omr˚ade, 12
Dirac-formalisemn, 18
Dispersionsligning, 5
Egenenergi, 9
Egenfunktion, 9
Emission, 15
Energib˚and, 4
Energidensitet, 16
Eulers formlers, 19
Fermion, 7
Gaussisk funktion, 11
Gaussisk integrale, 19
Gode linearkombinationer, 10
Harmonisk, 15
Henfald, 16
Hermitisk operator, 18
Hydrogen, 17
Hyperbolske funktioner, 20
Ikke-monokromatisk, 16
Ikke-udartet pertubationsteori, 9
Impuls, 12
Impulsmoment, 18
Indre produkt, 18
Inkoherent pertubation, 16
Integraler, 19
Kanonisk kommutatorrelation,
Ket, 18
18
Klassisk impuls, 12
Klassiske vendepunkter, 13
Kommutator, 18
Konstant pertubation, 9
Kronig-Penney potentiale, 5
Krystal, 4
Kvantetal, 17
Lige funktion, 20
Linearkombination, 10
Matrixelement, 10, 15
Monokromatisk lys, 16
Ombytningsoperator, 7
Opsplitning af energi, 10
Overgangsrate, 16
Overgangsregler, 17
Overgangssandsynlighed, 15
Parallelforskydningsoperator, 4
Periodicitet, 4
Periodisk potentiale, 4
Pertubationsteori
Ikke-udartet, 9
Tidsafhængig, 14
Tidsuafhængig, 9
Udartet, 9
Polarisering, 16
Rækkeudvikling, 20
Sammenhængsformel, 13
Singlet, 7
Sinusoidal tidsafhængighed, 15
Sortlegemestr˚aling, 16
Spin, 7, 19
Spontan emission, 16
Stimuleret emission, 16
Str˚aling, 15
Tidsafhængig pertubationsteori,
14
Tidsuafhængig pertubationsteo-
ri, 9
To partikler, 7
Transition, 16
Transmissionssandsynlighed, 12
Trigonometriske funktioner, 19
Triplet, 7
Tunnelering, 12
Udartet pertubationsteori, 9
Udartning, 9
Udvalgsregler, 17
Ulige funktion, 20
Upolariseret lys, 16
Variationsprincippet, 11
WKB approksimationen, 12