Transienter og RC-kredsløb

Niels Bohr Institutet , November 3, 2008 (J.H.M.) 1
Fysik 6, Laboratorieøvelse 1
Transienter og RC-kredsløb
1 Transienter
I denne øvelse skal vi m˚ale p˚a et kredsløb best˚aende af en modstand R og en kapacitor
C — et s˚akaldt RC-kredsløb. Vi skal se nærmere p˚a kredsløbets transiente
respons og undersøge hvorledes det kan anvendes som et frekvensfilter.
Figur 1: (a) RC kredsløb til undersøgelse af transient opførsel. (b) RC kredsløb drevet af harmonisk
varierende spænding.
Betragt figur 1a. Lad os forestille os at vi til tiden t = 0 slutter kontakten S til positionen 2, s˚aledes
at spændingsfaldet over resistoren R og kapacitoren C er
Differentierer vi (1) med hensyn til t, f˚as diffentialligningen
som har løsning
Vi ser, at
og
U = UC(t) + UR(t) = Q(t)/C + RI(t). (1)
0 = 1 dQ(t) dI(t) 1 dI(t)
+ R = I(t) + R , (2)
C dt dt C dt
I(t) = I0 exp − t
. (3)
RC
UR(t) = RI0 exp − t
= U exp −
RC
t
, (4)
RC
UC(t) = U − UR = U − U exp − t
= U 1 − exp −
RC
t
. (5)
RC
Funktionerne (4) og (5) er plottet p˚a figur 2. Fysisk er denne opførsel et udtryk for, hvorledes kapacitoren
efterh˚anden lades op til forsyningsspændingen U, hvilket sker efter en karakteristisk tid τ = RC. For
t ≫ τ har system indstillet sig p˚a den nye tilstand og opn˚aet ligevægt. Den dynamiske opførsel, indtil
ligevægt har indstillet sig, kaldes transient. Lad os antage at vi, efter at kapacitoren er ladet op til en given
spænding, vipper kontakten tilbage til position 1. Hvorledes er afladningen beskrevet [opstil ligninger for
UC(t) og UR(t)]?
2 Vekselspænding
Vi skal nu undersøge effekten af at drive vores RC kredsløb med en harmonisk varierende spænding
U(t) = V0 cos ωt med fast frekvens f = ω/2π. U(t) er realdelen af den komplekse spænding U(t) =

Transienter og RC-kredsløb 2
Figur 2: Opladning af kapacitor i RC kredsløb. Resistorspændingen VR er proportional med strømmen,
som løber i kredsen.
V0e−iωt = V0(cos ωt − i sin ωt). Idet vi antager at alle indsvingningsfænomener (transienter) er døet ud
opfylder den komplekse spænding12 U
U(t) = I(t)(ZR + ZC) = I(t) R + i
. (6)
ωC
Heraf f˚as at den komplekse strøm for RC kredsen er
2.1 Højpasfilter
I(t) =
Den komplekse spænding over R er givet ved
UR(t) = ZRI(t) = R
1
R + i
i R − ωC
U(t) =
ωC R2 +
1 2 U(t). (7)
ωC
R − i
ωC
R 2 + 1
ωC
2 U(t) =
hvor θ = arctan(1/ωRC). Vi konkluderer, at spændingen over R er
UR(t) = Re [UR(t)] =
ωRC
1 + (ωRC) 2 e−iθ U(t), (8)
ωRC
1 + (ωRC) 2 V0 cos(ωt + θ). (9)
Af (9) ses, at i forhold til U(t) er amplituden af spændingen over R skaleret med faktoren g =
ωRC/ 1 + (ωRC) 2 og fasen forskudt med θ. P˚a figur 3 er g(ω) og θ(ω) plottet. Som du kan se, er
spændingsamplituden over R kraftigt dæmpet (i forhold til generatorspændingen U(t)) ved lave frekvenser
sammenlignet med ω0 ≡ 1/RC. For høje frekvenser ω ≫ ω0 er amplituden nærmest udæmpet (g = 1).
Konfigurationen p˚a figur 4a kaldes derfor for et højpasfilter.
2.2 Lavpasfilter
Den komplekse spændning over C er givet ved
UC(t) = U(t) − UR(t) =
1 − R
R − i
ωC
2 R 2 + 1
ωC
1 2 iR
ωC + ωC
U(t) =
R2 +
1 2 U(t). (10)
ωC
1Vi minder om, at ideen med at kompleksificere s˚adanne vekselstrømsproblemer blot er en smart m˚ade at løse en
differentialligning p˚a. I dette tilfælde ville ligningen være ωV0sinωt = 1
dI(t)
I(t) + R . Ved denne metode ses bortfra den
C dt
transiente del af løsningen. Den transiente del kan findes ved at løse differentialligningen p˚a sædvanlig vis (summen af en
partikulær løsning og den fuldstændinge løsning til den homogene ligning).
2Bemærkning: Kompleks impedans er her defineret i overensstemmelse med kursets teoriforløb for ikke at skabe unødig
forvirring. Vær opmærksom p˚a at al teknisk litteratur har modsat fortegn i forhold dette, hvilket skal henføres til den
alternative kompleksificering U(t) = V0eiωt = V0(cos ωt + i sin ωt). Fysikken er naturligvis ligeglad med s˚adanne kunstgreb
og i sidste ende opn˚ar vi samme resultat, n˚ar vi tager realdelen af den komplekse spænding.

Transienter og RC-kredsløb 3
Figur 3: RC-højpasfilter: Amplitude gain g og faseforskydning for spændingen over resistoren R.
Heraf findes (øvelse - ikke svær)
Figur 4: (a)Diagram for højpasfilter. (b) Diagram for lavpasfilter.
UC(t) = Re [UC(t)] = (11)
Heraf kan amplitudegainfaktoren g og faseforskydningen θ findes. De er plottet p˚a figur 5. Hvorfor kaldes
konfigurationen p˚a figur 4b et lavpasfilter?
Figur 5: RC-lavpasfilter: Amplitude gain g og faseforskydning for spændingen over kapacitoren C.

Transienter og RC-kredsløb 4
3 Øvelsesprogram
1. Vi vil nu undersøge den transiente opførsel af et RC-kredsløb som beskrevet i afsnit 1 af denne
vejledning. I stedet for en kontakt til at skifte mellem de to tilstande (som vist p˚a figur 1a) vil vi
benytte vores pulsgenerator.
• I det vi forsat ønsker at have et overblik over signalet, som pulsgeneratoren udsender, forbindes
et RC-kredsløb best˚aende af en 47 nF kapacitor og en 10 kΩ resistor til generatorens udgang
ved hjælp af et BNC T-stykke.
• M˚al p˚a konfigurationen figur 4a n˚ar pulsgeneratoren forbindes til Vin. Med skopets kanal B
at probes spændingsfaldet over R (s˚aledes at kanal A og B har den samme jordreference).
Pulsperioden justeres til en passende værdi, s˚aledes at hele op-og afladningsforløbet kan følges.
Gem spændingskurverne i .txt-format.
• I forhold til forrige punkt byttes rundt p˚a R og C s˚aledes at der nu m˚ales p˚a konfigurationen
figur 4b (s˚aledes at kanal A og B stadig har den samme jordreference). Gem spændingskurverne
i .txt-format.
• Plot Vin, VR og VC p˚a samme graf som funktion af tid. Find tidskonstanten τ = RC og
sammenlign med den teoretiske værdi.
2. RC-kredsløbets egenskaber som frekvensfilter undersøges nu. Pulsgeneratoren udskiftes med en
funktionsgenerator, der sættes op til at udsende en sinus-spænding med en amplitude p˚a 1 VPP
ved frekvensen f ω0
2π
• M˚al p˚a konfigurationen figur 4a (højpasfilter) bestem overføringsfunktionen g(f) og faseforskydningen
θ(f). Sammenlign med de teoretiske kurver. (Dvs. man skal tage data for
omkring 10 forskellige frekvenser. Hvis du laver en fit til den forventede Amplitude gain g
og til faseforskydningen θ med ω0 som frit parameter, s˚a kan du bruge fitresultater til en
nøjagtig bestemmelse af kapasitansen.)
• M˚al p˚a konfigurationen figur 4b (lavpasfilter) bestem overføringsfunktionen g(f) og faseforskydningen
θ(f). Sammenlign med de teoretiske kurver.
3. Ekstra: Hvis du har tid tilovers, kan du prøve at frembringe en trekantspænding ved hjælp af
lavpasfilteret (hvilken input funktion vælges?). Hvorledes modificeres frekvensspektret af input
funktionen?