Matematikkens mysterier 3. Differentialligninger - KennethHansen.net

Metoden er ikke særligt præcis, som et senere eksempel vil vise, men vælger man
skridtlængden lille, så kan man alligevel få brugbare resultater.
Eulers metode er generelt opskrevet:
Metode 18
Givet differentialligningen
Eksempel/øvelse
Vi vil betragte differentialligningen
dy
dx
= y
y′ = F( x, y)
og begyndelsesbetingelsen
f ( x ) = y
0 0
så kan f approximeres ved:
0) Vælg en skridtlængde h og sæt n = 0
1) Sæt xn+ 1 = xn + h
2) Sæt yn+ 1 = yn + F( xn, yn) ⋅h
3) Sæt n = n + 1
4) Gå tilbage til 1).
med begyndelsesbetingelsen f ( 0) = 1
a) Vis, at løsningen til denne differentialligning er f x e x
( ) =
b) I nedenstående skema er udregnet nogle approximerede funktionsværdier med
h = 0, 5.
Undersøg, hvorledes skemaet er opbygget. (I sidste søjle er angivet den
eksakte værdi til sammenligning).
n xn yn F ( xn , yn
) e x
0 0 1 1 1
1 0,5 1,5 1,5 1,6487
2 1 2,25 2,25 2,7183
3 1,5 3,375 3,375 4,4817
4 2 5,0625 5,0625 7,3891
5 2,5 7,59375 7,59375 12,1825
43