Matematikkens mysterier - KennethHansen.net

Tit og ofte kommer man ud for, at rentesatserne ikke er konstante, men varierer
fra termin til termin. Her kan det betale sig at snakke om den gennemsnitlige
rente.
Eksempel
På en bankkonto er renten 3%, 5%, 2% og 6% i løbet af de fire
første år. Hvor stor var den gennemsnitlige rente?
Med den gennemsnitlige rente forstås den rentesats som ville give
der samme indestående som ovenstående, men hvor rentesatsen er
konstant. For at finde denne, forestiller vi os, at vi indsætter f.eks.
100 kr. på kontoen.
I løbet af de fire første år trækker de 100 kr. renter og vokser til
100⋅ ( 1+ 3%) ⋅ ( 1+ 5%) ⋅ ( 1+ 2%) ⋅ ( 1+ 6%)
Var rentesatsen konstant lig med r, så skulle indestående ifølge
4
renteformlen være 100⋅ ( 1+
r ) . Sætter vi disse indeståender lig
hinanden, så fås
4
100⋅ ( 1+ 3%) ⋅ ( 1+ 5%) ⋅ ( 1+ 2%) ⋅ ( 1+ 6%) = 100⋅ ( 1+
r )
eller
1+ r = 4 ( 1+ 3%)( 1+ 5%)( 1+ 2%)( 1+ 6%) = 1, 0398
Den gennemsnitlige rente var altså på 3,98%.
Bemærk, at startbeløbet på 100 kr. ikke betød noget for selve
udregningen. Derfor undlader man normalt at anvende et startbeløb,
men regner direkte på fremskrivningsfaktorerne.
Ovenstående eksempel giver anledning til følgende definition:
Definition 2
Den gennemsnitlige rente r af de n rentesatser
r1 , r2 , r3 , ... , rn er bestemt ved
1+ r = n ( 1+ r1 )( 1+ r2 )( 1+ r3 )...( 1+
rn )
Bemærk, at der er forkert bare at tage gennemsnittet af rentesatserne - der er jo
tale om 'gangevækst' ved kapitalfremskrivning, ikke om 'plusvækst'
8