Matematikkens mysterier - KennethHansen.net

Grandtante Olga startede altså med at indsætte 2000,00 kr.
Opgave: I en reklame for en "Yngle-Penge-konto" lover Doggerbanken, at
"1000 kroner bliver til 3000 kroner på kun 20 år".
Hvor meget giver Doggerbanken i årlig rente på en sådan konto?
Svar: Vi skal nu finde r i renteformlen:
n
kn = k0 ⋅ ( 1+ r) ⇔
n kn
( 1+ r)
=
k
⇔
kn
1+
r = n
k
⇔
kn
r = n −1
k
Indsættes værdierne k 0
0
7
0 0
= 1000,
k20 = 3000 og n = 20, så fås
3000
r = 20 − 1≈ 0, 0564 = 5, 64%
1000
Den årlige rente er altså på ca. 5,64%.
Opgave: Hvor lang går der, før 1 krone er vokset til 1000000 kroner, når
den årlige rente er 1%.
Svar: Her skal vi finde n. Dette gøres vha. logaritmer:
n n kn
kn = k0 ⋅ ( 1+ r) ⇔ ( 1+
r)
= ⇔
k0
n kn
kn
log(( 1+ r)
) = log( ) ⇔ nlog( 1+
r)
= log( )
k0
k0
log( kn / k0
)
n =
log( 1+
r)
⇔
Indsættes de relevante værdier, så fås
log( 1000000/ 1)
n =
= 1157, 03
log( 1+ 0, 01)
Det varer altså godt 1157 år, får vi får en million kroner ud af en
krone!
Alle disse regnerier minder uhyggeligt meget om regnerierne omkring
eksponentielle udviklinger. Og dette er ikke noget tilfælde - renteformlen siger
jo netop, at kapitalen kn vokser eksponentielt med fremskrivningsfaktoren
a = 1 + r.