Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet

2d. KoordinatsÄt til punktet S
PÇ den nederste figur pÇ side 3 kan vi komme til S ved at
starte i O , forskyde –2 i x-aksens retning , 4 i y-aksens retning og 2 i z-aksens retning.
Derfor er S (2
, 4,
2)
.
3. Vektor: Definition og sprogbrug
3a. En vektor er en pil. Hvis vi forskyder en pil uden at dreje den, sÇ er pilen stadig samme vektor.
3b. En vektor kan betegnes med et lille bogstav med pil over.
3c. PÇ figurerne 3f og 3g gÅlder:
Vektorerne a og b er samme vektor, for de kan forskydes over i hinanden da de har samme lÅngde
og samme retning.
Vektorerne a og c er ikke samme vektor da de har forskellig lÅngde.
Vektorerne d og e er ikke samme vektor da de har forskellig retning.
3d. PÇ figur 3f gÇr vektoren a fra punktet P til punktet Q. SÇ kan denne vektor betegnes med PQ .
Der gÅlder at a PQ og b PQ .
3e. NÇr en vektor a er anbragt sÇ den gÇr fra et punkt P til et punkt Q, sÇ siger vi:
P er vektorens startpunkt og er Q vektorens endepunkt.
NÇr vi afsÅtter vektoren ud fra P, sÇ er dens endepunkt Q.
z
P
a
3
Figur 3f
4. Vektor: Koordinater
4a. Vi kan fÇ en vektors koordinatsÅt ved at
trÅkke startpunktets koordinater fra endepunktets koordinater.
4b. En vektors koordinatsÅt skrives lodret.
4c. NÇr , ) a A og ) , b B , er 4d. NÇr ) , , A a a a og B b , b , b ) , er
( 1 2 a
b1
a1
AB
b2
a2
( 1 2 b
( 1 2 3
b1
a1
AB
b2
a2
b3
a3
( 1 2 3
4e. Eksempel 4f. Eksempel
PÇ figur 3f er P (5,
1)
og Q (2
, 3)
PÇ figur 3g er R ( 3,
0,
0)
og S
( 0,
0,
2)
2
( 5)
3
sÇ PQ
sÇ
3 1 2
3
dvs. a
2
Q
2
b
3
a
2
c
3
og b
2
. dvs.
3
0
2 0
2
0 0
0 3
RS
3
d 0
2
.
4g. Dette koordinatsÅt fortÅller at a gÇr 4h. Dette koordinatsÅt fortÅller at d gÇr
3 i x-aksens retning og –3 i x-aksens retning,
2 i y-aksens retning. 0 i y-aksens retning og
Dette kan vi ogsÇ se pÇ figur 3f. 2 i z-aksens retning.
Dette kan vi ogsÇ se pÇ figur 3g.
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet 4 2012 Karsten Juul
x
R
d
1
e
S
1
1
3
d 0
2
Figur 3g
y