Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet

More documents

Recommendations

Info

BEVISER 45. Skrivning af formler ........................................................................................19 46. Bevis for formler til automatisk tegning af pil.................................................19 47. Automatisk tegning af pil pÇ Nspire................................................................20 48. Bevis for at vi mÇ prikke ind i en parentes ......................................................20 49. Bevis for formel 49a ........................................................................................21 50. Bevis for at vi fÇr nul nÇr vi prikker med nulvektor ........................................21 51. Bevis for at vinkelrette vektorer har skalarprodukt nul ...................................21 52. Bevis for formlen for projektion af vektor.......................................................21 53. Bevis for parameterfremstilling for en linje.....................................................22 54. Bevis for ligning for linje (plangeometri).......................................................22 55. Bevis for ligning for plan (rumgeometri)........................................................23 56. Bevis for ligning for cirkel (plangeometri).....................................................23 57. Bevis for ligning for kugle (rumgeometri)......................................................23 ÉVELSER ......................................................................................................... 23-41 Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet 2 2012 Karsten Juul
1. Koordinater til punkt i planen VEKTORER 1a. Koordinatsystem i planen Figuren viser et koordinatsystem i planen. De to koordinatakser er vinkelret pÇ hinanden. 1b. Begyndelsepunkt O Begyndelsespunktet er koordinataksernes skÅringspunkt. Bogstavet O bruges ofte til at betegne begyndelsespunktet. O har koordinatsÅttet (0,0). 1c. KoordinatsÄt til punktet Q Vi anbringer et flytbart punkt i O. Vi forskyder punktet 5 enheder i x-aksens retning sÇ det kommer fra O til P. NÇr vi forskyder 5 enheder i x-aksens retning, sÇ bliver x-koordinaten 5 enheder stÑrre. NÇr vi forskyder i x-aksens retning er det kun x-koordinaten der Åndres. AltsÇ har P koordinatsÅttet ( 5, 0) . Fra P forskyder vi punktet 1 enhed i y-aksens retning sÇ det kommer fra P til Q. NÇr vi forskyder 1 enhed i y-aksens retning, sÇ bliver y-koordinaten 1 enhed stÑrre. NÇr vi forskyder i y-aksens retning er det kun y-koordinaten der Åndres. AltsÇ har Q koordinatsÅttet ( 5, 1) . Det fÑrste tal i koordinatsÅttet er punktets x-koordinat. Det andet tal i koordinatsÅttet er punktets y-koordinat. 2b. Begyndelsepunkt O Begyndelsespunktet er koordinataksernes skÅringspunkt. Bogstavet O bruges ofte til at betegne begyndelsespunktet. O har koordinatsÅttet (0,0,0). Det hedder et plan, ikke en plan, men i geometri er begge dele korrekt. I eksamensopgaver skrives en plan. 2c. KoordinatsÄt til punktet R Q Vi anbringer et flytbart punkt i O. x Vi forskyder punktet 5 enheder i x-aksens retning sÇ det kommer fra O til P. NÇr vi forskyder 5 enheder i x-aksens retning, sÇ bliver x-koordinaten 5 enheder stÑrre. NÇr vi forskyder i x-aksens retning er det kun x-koordinaten der Åndres. AltsÇ har P koordinatsÅttet ( 5, 0, 0) . Fra P forskyder vi punktet 1 enhed i y-aksens retning sÇ det kommer fra P til Q. NÇr vi forskyder 1 enhed i y-aksens retning, sÇ bliver y-koordinaten 1 enhed stÑrre. NÇr vi forskyder i y-aksens retning er det kun y-koordinaten der Åndres. AltsÇ har Q koordinatsÅttet ( 5, 1, 0) . Fra Q forskyder vi punktet 3 enheder i z-aksens retning sÇ det kommer fra Q til R. NÇr vi forskyder 3 enheder i z-aksens retning, sÇ bliver z-koordinaten 3 enheder stÑrre. NÇr vi forskyder i z-aksens retning, er det kun z-koordinaten der Åndres. AltsÇ har R koordinatsÅttet ( 5, 1, 3) . Det fÑrste tal i koordinatsÅttet er punktets x-koordinat. Det andet tal i koordinatsÅttet er punktets y-koordinat. Det tredje tal i koordinatsÅttet er punktets z-koordinat. (BemÅrk at punkterne R og T ligger lige langt over xy-planen som indeholder x-aksen og y-aksen). Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet 3 2012 Karsten Juul P R 1 y O 1 P 1 O 1 1 Q ( 5, 1) R (2 , 4) 1d. KoordinatsÄt til punktet R PÇ den Ñverste figur kan vi kan komme til R ved at starte i O , forskyde –2 i x-aksens retning og forskyde 4 i y-aksens retning. Derfor er R (2, 4) . R ( 5, 1, 3) 2. Koordinater til punkt i rummet z S (2 , 4, 2) 2a. Koordinatsystem i rummet Figuren viser et koordinatsystem i rummet. T De tre koordinatakser er vinkelret pÇ hinanden. R S Q x y
Page 1 and 2: Vektorer og koordinatgeometri for g
Page 3: VEKTORER 1. Koordinater til punkt i
Page 7 and 8: 5. Koordinater til vektors endepunk
Page 9 and 10: 10. Tal gange vektor 10a. Koordinat
Page 11 and 12: 15. Prikprodukt: Vinkelret? 15a.
Page 13 and 14: 21. Krydsprodukt (rumgeometri) 21a.
Page 15 and 16: 25l. Eksempel En linje l gÇr genne
Page 17 and 18: 29. Ligning for kugle (rumgeometri)
Page 19 and 20: 37c. l er givet ved ligning, m ved
Page 21 and 22: 44e. Eksempel: Planen : 2x y 2z 24
Page 23 and 24: 49. Bevis for formel 49a 49a. v1 og
Page 25 and 26: 55. Bevis for ligning for plan (rum
Page 27 and 28: 4.1 Évelse se 4a og 4b. Skriv koor
Page 29 and 30: 10.2 Évelse se 10d. (a) Tegn v 3
Page 31 and 32: 15.2 Évelse se 5c og 15c. a 2t
Page 33 and 34: 19.2 Évelse se 19c. 6 a 5 2t
Page 35 and 36: 25.1 Évelse se 10b og 11a. En linj
Page 37 and 38: 26.3 Évelse se 26b, 26d og 25e. (a
Page 39 and 40: (b) For at finde vinkel mellem og
Page 41 and 42: 44.1 Évelse se 44e. : x y z 1 0 er
Page 43 and 44: 53.3 Évelse se 10d, 25j og 25k. (a

Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?