Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Begge sider i denne ligning dividerer vi med<br />
<br />
b<br />
a<br />
t 2<br />
a<br />
2<br />
a <br />
<strong>og</strong> fÇr:<br />
Vi indsÅtter dette udtryk <strong>for</strong> t i fÑlgende ligning som vi begrundede oven<strong>for</strong>:<br />
<br />
b a ta<br />
<strong>og</strong> fÇr:<br />
<br />
<br />
b a<br />
52a. b<br />
<br />
a<br />
2 a .<br />
a<br />
53. Bevis <strong>for</strong> parameterfremstilling <strong>for</strong> en linje<br />
r1<br />
l er linjen som gÇr gennem ( x0 , y0<br />
) <strong>og</strong> er parallel med .<br />
r2<br />
Et punkt ( x, y)<br />
ligger pÇ l<br />
vektoren fra ( x0 , y0<br />
) til ( x, y)<br />
er o r1<br />
eller parallel med <br />
r2<br />
r1<br />
vektoren fra ( x0 , y0<br />
) til ( x, y)<br />
er lig t , hvor t er et tal<br />
r2<br />
r1<br />
vi fÇr ( x, y)<br />
nÇr vi lÅgger t 's koordinater til ( 0, 0)<br />
r2<br />
y x<br />
netop nÇr<br />
dvs.<br />
dvs.<br />
altsÇ<br />
x<br />
x0<br />
r1<br />
53a. <br />
<br />
t<br />
<br />
y<br />
y0<br />
r2<br />
sÇ vi har bevist at 53a er en parameterfremstilling <strong>for</strong><br />
r1<br />
linjen l som gÇr gennem ( x0, y0<br />
) <strong>og</strong> har retningsvektoren .<br />
r2<br />
54. Bevis <strong>for</strong> ligning <strong>for</strong> linje (plangeometri)<br />
a<br />
<br />
l er linjen som gÇr gennem ( x0 , y0<br />
) <strong>og</strong> er vinkelret pÇ .<br />
b<br />
xx0<br />
Vektoren fra ( x0, y0<br />
) til ( x, y)<br />
er . Se figur.<br />
y<br />
y0<br />
netop nÇr<br />
Et punkt ( x, y)<br />
ligger pÇ l<br />
xx0<br />
<br />
y<br />
y0<br />
<strong>og</strong> dette gÅlder netop nÇr<br />
1<br />
<br />
<br />
r<br />
r1<br />
r t<br />
2 <br />
r2<br />
a<br />
xx0<br />
<br />
0<br />
b<br />
y<br />
y0<br />
dvs.<br />
54a. a xx<br />
) b(<br />
y<br />
y ) 0<br />
( 0<br />
0<br />
( 0, 0)<br />
y x<br />
( x,<br />
y)<br />
er o a<br />
eller vinkelret pÇ <br />
b<br />
l<br />
( 0, 0)<br />
y x<br />
Se figur.<br />
I rummet er beviset det<br />
samme bortset fra at der<br />
er tre koordinater.<br />
Vi har nu bevist at 54a er en ligning <strong>for</strong> linjen der gÇr gennem ( 0, 0)<br />
y x <strong>og</strong> har normalvektoren a<br />
<br />
.<br />
b<br />
<strong>Vektorer</strong> <strong>og</strong> <strong>koordinatgeometri</strong> <strong>for</strong> <strong>gymnasiet</strong> 22 2012 Karsten Juul<br />
a<br />
<br />
b<br />
x<br />
x0<br />
<br />
y<br />
y0<br />
( x,<br />
y)<br />
l