Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet

Begge sider i denne ligning dividerer vi med
b
a
t 2
a
2
a
og fÇr:
Vi indsÅtter dette udtryk for t i fÑlgende ligning som vi begrundede ovenfor:
b a ta
og fÇr:
b a
52a. b
a
2 a .
a
53. Bevis for parameterfremstilling for en linje
r1
l er linjen som gÇr gennem ( x0 , y0
) og er parallel med .
r2
Et punkt ( x, y)
ligger pÇ l
vektoren fra ( x0 , y0
) til ( x, y)
er o r1
eller parallel med
r2
r1
vektoren fra ( x0 , y0
) til ( x, y)
er lig t , hvor t er et tal
r2
r1
vi fÇr ( x, y)
nÇr vi lÅgger t 's koordinater til ( 0, 0)
r2
y x
netop nÇr
dvs.
dvs.
altsÇ
x
x0
r1
53a.
t
y
y0
r2
sÇ vi har bevist at 53a er en parameterfremstilling for
r1
linjen l som gÇr gennem ( x0, y0
) og har retningsvektoren .
r2
54. Bevis for ligning for linje (plangeometri)
a
l er linjen som gÇr gennem ( x0 , y0
) og er vinkelret pÇ .
b
xx0
Vektoren fra ( x0, y0
) til ( x, y)
er . Se figur.
y
y0
netop nÇr
Et punkt ( x, y)
ligger pÇ l
xx0
y
y0
og dette gÅlder netop nÇr
1
r
r1
r t
2
r2
a
xx0
0
b
y
y0
dvs.
54a. a xx
) b(
y
y ) 0
( 0
0
( 0, 0)
y x
( x,
y)
er o a
eller vinkelret pÇ
b
l
( 0, 0)
y x
Se figur.
I rummet er beviset det
samme bortset fra at der
er tre koordinater.
Vi har nu bevist at 54a er en ligning for linjen der gÇr gennem ( 0, 0)
y x og har normalvektoren a
.
b
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet 22 2012 Karsten Juul
a
b
x
x0
y
y0
( x,
y)
l