Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet

49. Bevis for formel 49a
49a.
v1 og v2 er koordinater til v .
( kv ) v kv1
v1
(
2
kv1)
v1
( kv2)
v2
k v1
k v
k
v2
v
2
2
k v k
2
v 2
v 2 k(
v 2
v 2 ) k v 2
k v 2
1
2
Da de to udtryk give samme resultat, er de ens, dvs.
2
( kv
) v k v
50. Bevis for at vi fÅr nul nÅr vi prikker med nulvektor
v1 og v2 er koordinater til v .
ov 0
v
0v1
0v
0
v
2
50a. ov 0
1
2
51. Bevis for at vinkelrette vektorer har skalarprodukt nul
u1 og u2 er koordinater til u , og tilsvarende for v .
1
NÇr vi afsÅtter u og v ud fra samme punkt,
er v u
vektoren fra u 's spids til v 's spids. Her har vi brugt 12d.
NÇr u
v kan vi bruge Pythagoras sÅtning pÇ den viste trekant:
u 2 v 2
vu
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
u u v v ( v
u ) ( v u
2
1
2
2
2
1
2
2
1
1
2
1
2
0
sÇ
2
1
u u v v ( v
u ) ( v u
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
1
2
1
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet 21 2012 Karsten Juul
)
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2)
u u v v v u 2v u v u 2v
u
v1u1
v2u
uv 0
Nu har vi bevist at
51a. hvis u
v er uv 0
2
0
Her har vi brugt 14b.
52. Bevis for formlen for projektion af vektor
Se figuren til hÑjre.
Projektionen af b pÇ a er en vektor der er o eller
parallel med a , sÇ vi kan fÇ projektionen
frem ved at gange a med et tal:
b a ta
NÇr c er vektoren pÇ figuren, er
b ta
c
Begge sider i denne ligning prikker vi med a a
og fÇr:
b
a ta c
a
Vi prikker ind i parentesen og fÇr:
b
a ( ta)
a
ca
FÑrste led pÇ hÑjre side omskriver vi med 49a, og sidste led er 0 da a
c :
2
b
a t a
2
2
Afsnit 52 fortsÄtter pÅ nÄste side!
2
2
2
2
Vi har brugt vektorregel 10b,
14b og 7b, og talregler: ved
gange er rÅkkefÑlge ligegyldig,
x 2 =xx, kvadratrod i
anden, og gange ind i
parentes.
I rummet er beviset det samme
bortset fra at der er tre
koordinater.
Vi har brugt vektorregel 14b, og
talregel om nul gange tal.
I rummet er beviset det samme
bortset fra at der er tre koordinater.
Her har vi brugt 7b og 12a.
u
b
ta
v u
c
v