Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
49. Bevis <strong>for</strong> <strong>for</strong>mel 49a<br />
49a.<br />
v1 <strong>og</strong> v2 er koordinater til v .<br />
( kv ) v kv1<br />
v1<br />
<br />
(<br />
2<br />
<br />
kv1)<br />
v1<br />
( kv2)<br />
v2<br />
k v1<br />
k v<br />
k<br />
v2<br />
v<br />
2<br />
<br />
2<br />
k v k<br />
2<br />
v 2<br />
v 2 k(<br />
v 2<br />
v 2 ) k v 2<br />
k v 2<br />
1<br />
2<br />
Da de to udtryk give samme resultat, er de ens, dvs.<br />
2<br />
( kv<br />
) v k v<br />
50. Bevis <strong>for</strong> at vi fÅr nul nÅr vi prikker med nulvektor<br />
v1 <strong>og</strong> v2 er koordinater til v .<br />
ov 0<br />
v <br />
<br />
0v1<br />
0v<br />
0<br />
v<br />
2<br />
<br />
50a. ov 0<br />
<br />
1<br />
2 <br />
51. Bevis <strong>for</strong> at vinkelrette vektorer har skalarprodukt nul<br />
u1 <strong>og</strong> u2 er koordinater til u , <strong>og</strong> tilsvarende <strong>for</strong> v .<br />
1<br />
NÇr vi afsÅtter u <strong>og</strong> v ud fra samme punkt,<br />
er v u<br />
vektoren fra u 's spids til v 's spids. Her har vi brugt 12d.<br />
<br />
NÇr u<br />
v kan vi bruge Pythagoras sÅtning pÇ den viste trekant:<br />
<br />
u 2 v 2 <br />
vu<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
u u v v ( v<br />
u ) ( v u<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
0<br />
sÇ<br />
2<br />
1<br />
u u v v ( v<br />
u ) ( v u<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
<strong>Vektorer</strong> <strong>og</strong> <strong>koordinatgeometri</strong> <strong>for</strong> <strong>gymnasiet</strong> 21 2012 Karsten Juul<br />
)<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2)<br />
u u v v v u 2v u v u 2v<br />
u<br />
v1u1<br />
v2u<br />
uv 0<br />
<br />
Nu har vi bevist at<br />
<br />
51a. hvis u<br />
v er uv 0<br />
2<br />
<br />
0<br />
Her har vi brugt 14b.<br />
52. Bevis <strong>for</strong> <strong>for</strong>mlen <strong>for</strong> projektion af vektor<br />
Se figuren til hÑjre.<br />
Projektionen af b pÇ a er en vektor der er o eller<br />
parallel med a , sÇ vi kan fÇ projektionen<br />
frem ved at gange a med et tal:<br />
<br />
b a ta<br />
NÇr c er vektoren pÇ figuren, er<br />
<br />
b ta<br />
c<br />
Begge sider i denne ligning prikker vi med a a<br />
<strong>og</strong> fÇr:<br />
<br />
b<br />
a ta c<br />
a<br />
Vi prikker ind i parentesen <strong>og</strong> fÇr:<br />
<br />
b<br />
a ( ta)<br />
a<br />
ca<br />
<br />
FÑrste led pÇ hÑjre side omskriver vi med 49a, <strong>og</strong> sidste led er 0 da a<br />
c :<br />
2<br />
b<br />
a t a<br />
<br />
2<br />
2<br />
Afsnit 52 <strong>for</strong>tsÄtter pÅ nÄste side!<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
Vi har brugt vektorregel 10b,<br />
14b <strong>og</strong> 7b, <strong>og</strong> talregler: ved<br />
gange er rÅkkefÑlge ligegyldig,<br />
x 2 =xx, kvadratrod i<br />
anden, <strong>og</strong> gange ind i<br />
parentes.<br />
I rummet er beviset det samme<br />
bortset fra at der er tre<br />
koordinater.<br />
Vi har brugt vektorregel 14b, <strong>og</strong><br />
talregel om nul gange tal.<br />
I rummet er beviset det samme<br />
bortset fra at der er tre koordinater.<br />
Her har vi brugt 7b <strong>og</strong> 12a.<br />
u <br />
b <br />
ta <br />
v u<br />
<br />
c <br />
v