Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet

More documents

Recommendations

Info

42. Projektion af punkt pÅ plan (rumgeometri) 42a. Vi vil finde projektionen Q af punktet P( 6, 2, 5) pÇ planen : 2x 3y z 5 0 . Q er skÅringspunktet mellem og linjen m der gÇr gennem P og er vinkelret pÇ . 2 Af ligningen forser vi at vektoren 3 er vinkelret pÇ , sÇ m har parameterfremstillingen x 6 2 1 m : y 2 t 3 z 5 1 Herefter kan vi bruge metoden fra 40a til finde Q. 43. Tangent til cirkel (plangeometri) 43a. En tangent til en cirkel er en linje der har prÅcis àt punkt fÅlles med cirklen. Dette punkt kaldes rÑringspunktet. NÇr man siger ”tangenten i P”, betyder det at P er rÑringspunktet. 43b. En tangent til en cirkel er vinkelret pÇ linjen gennem centrum og rÑringspunkt. 43c. En linje er tangent til en cirkel netop hvis afstanden fra centrum til linjen er lig radius. 43d. Eksempel Punktet P( 4, 5) ligger pÇ en cirkel med centrum C ( 3, 1) . Vi vil finde en ligning for tangenten l i P. IfÑlge 43b er CP vinkelret pÇ l, sÇ vi kan finde ligningen for l ved at bruge 4c og 26a. 43e. Eksempel Linjen l: 3x 4y 24 0 er tangent til en cirkel med centrum C ( 2, 5) . Vi vil finde en ligning for cirklen. IfÑlge 43c kan vi finde radius ved at finde afstanden fra C til l. Se 30a og 30b. SÇ kan vi bestemme cirklens ligning ved at bruge 28a. 43f. Eksempel Vi vil undersÑge om linjen l: 3x 4y 24 0 er tangent til cirlen M: ( x 2) 2 ( y 5) 2 81. Metode 1: Vi finder centrum og radius som i 28c. SÇ udregner vi afstanden fra centrum til l og bruger 43c. Metode 2: Vi finder skÅringspunkterne mellem l og M og bruger 43a. SkÅringspunkterne finder vi som i 38b. 44. Tangentplan til kugle (rumgeometri) 44a. En tangentplan til en kugle er en plan der har prÅcis àt punkt fÅlles med kuglen. Dette punkt kaldes rÑringspunktet. NÇr man siger ”tangentplanen i P”, betyder det at P er rÑringspunktet. 44b. En tangentplan til en kugle er vinkelret pÇ linjen gennem centrum og rÑringspunkt. 44c. En plan er tangentplan til en kugle netop hvis afstanden fra centrum til planen er lig radius. 44d. Eksempel Punktet P( 4, 5, 2) ligger pÇ en kugle med centrum C ( 3, 1, 4) . Vi vil finde en ligning for tangentplanen i P. IfÑlge 44b er CP vinkelret pÇ l, sÇ vi kan finde ligningen for ved at bruge 4d og 27a. Afsnit 44 fortsÄtter pÅ nÄste side! Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet 18 2012 Karsten Juul C C l P P
44e. Eksempel: Planen : 2x y 2z 24 0 er tangentplan til en kugle med centrum C (1, 0, 5) . Vi vil finde en ligning for kuglen. IfÑlge 44c kan vi finde radius ved at finde afstanden fra C til . Se 31a . SÇ kan vi bestemme kuglens ligning ved at bruge 29a. 44f. Eksempel: Vi vil undersÑge om planen : 2x y 2z 24 0 er tangentplan til kuglen med centrum C(1, 0, 5) og radius 4. Vi udregner afstanden fra C til og bruger 44c. Se 31a . 45. Skrivning af formler BEVISER I et eksempel som 26e skrev vi udregningerne med bestemte tal. Hvis vi skal lave samme udreninger med mange forskellige tal, sÇ er det smart at – starte med at betegne tallene med bogstaver og – skrive udregningerne med disse bogstaver. SÇ kan vi fÇ Nspire til at udregne et resultatet hver gang vi Åndrer de givne tal. Denne metode bruger vi i eksempel 46 46. Bevis for formler til automatisk tegning af pil v1 Figuren viser en vektor SE v v 2 med startpunkt S ( s1, s2 ) . NÇr vi taster bestemte tal for vektorens koordinater v1 og v2 og startpunktets koordinater 1 s og s 2 , sÇ skal Nspire tegne pilen. Vi skal skrive formler som Nspire kan bruge til at udregne koordinaterne til E, C og D. For at fÇ E 's koordinater lÅgger vi v 's koordinater til S 's : e1 s1 v1 ( 1) e s v Her har vi brugt 5c. 2 2 2 Vi vÅlger at lade pilespidsens lÅngde vÅre 0,1 gange pilens lÅngde. SÇ mÇ SA 0, 9v . Her har vi brugt 10f og 10g. For at fÇ SA 's koordinater skal vi gange v 's koordinater med 0,9: 0, 9v1 SA 0, 9v2 For at fÇ A 's koordinater lÅgger vi SA 's koordinater til B 's : a s 1 Vi ser at 2 1 a s 2 0, 9v 1 0, 9v 2 AC har samme retning som v ˆ . Her har vi brugt 10a. Her har vi brugt 5c. Her har vi brugt 9a. Vi vÅlger at lade pilespidsens halve bredde vÅre 0,05 gange pilens lÅngde, sÇ AC 0, 05vˆ . Her har vi brugt 10f og 10g. og v2 0, 05v2 AC 0, 05 v1 0, 05v Her har vi brugt 9d og 10b. 1 Afsnit 46 fortsÄtter pÅ nÄste side! Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet 19 2012 Karsten Juul S C E A D Du skal IKKE huske at reglen er nr. 5c. Du skal slÅ op pÅ reglen, huske den, og forstÅ at den bruges her. Det samme gÄlder alle tilsvarende henvisninger.
Page 1 and 2: Vektorer og koordinatgeometri for g
Page 3 and 4: VEKTORER 1. Koordinater til punkt i
Page 5 and 6: 1. Koordinater til punkt i planen V
Page 7 and 8: 5. Koordinater til vektors endepunk
Page 9 and 10: 10. Tal gange vektor 10a. Koordinat
Page 11 and 12: 15. Prikprodukt: Vinkelret? 15a.
Page 13 and 14: 21. Krydsprodukt (rumgeometri) 21a.
Page 15 and 16: 25l. Eksempel En linje l gÇr genne
Page 17 and 18: 29. Ligning for kugle (rumgeometri)
Page 19: 37c. l er givet ved ligning, m ved
Page 23 and 24: 49. Bevis for formel 49a 49a. v1 og
Page 25 and 26: 55. Bevis for ligning for plan (rum
Page 27 and 28: 4.1 Évelse se 4a og 4b. Skriv koor
Page 29 and 30: 10.2 Évelse se 10d. (a) Tegn v 3
Page 31 and 32: 15.2 Évelse se 5c og 15c. a 2t
Page 33 and 34: 19.2 Évelse se 19c. 6 a 5 2t
Page 35 and 36: 25.1 Évelse se 10b og 11a. En linj
Page 37 and 38: 26.3 Évelse se 26b, 26d og 25e. (a
Page 39 and 40: (b) For at finde vinkel mellem og
Page 41 and 42: 44.1 Évelse se 44e. : x y z 1 0 er
Page 43 and 44: 53.3 Évelse se 10d, 25j og 25k. (a

Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?