Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
33. Vinkel mellem planer (rumgeometri)<br />
33a. Find vinklen v mellem normalvektorer n1 <strong>og</strong> n2 <br />
til to planer 1 <strong>og</strong> 2 .<br />
SÇ vil v <strong>og</strong> 180v vÅre de to vinkler som 1 <strong>og</strong> 2 danner. Se 16b.<br />
34. Vinkel mellem sideflader (rumgeometri)<br />
34a. Til den ene sideflade skal vi finde en normalvektor<br />
der peger ind i vinklen. (Brug hÑjrehÇndsreglen 24b)<br />
Til den anden sideflade skal vi finde en normalvektor<br />
der peger ud af vinklen. (Brug hÑjrehÇndsreglen 24b)<br />
Vinklen v mellem n1 <strong>og</strong> n2 er vinklen mellem sidefladerne.<br />
34b. (Hvis begge vektorer peger ind i vinklen, eller begge peger ud,<br />
finder vi en vinkel u som ikke dannes af sidefladerne. De to<br />
planer der indeholder sidefladerne, danner vinklerne u <strong>og</strong> v).<br />
35. Vinkel mellem linje <strong>og</strong> plan (rumgeometri)<br />
35a. Find vinklen v mellem en normalvektor n til planen <strong>og</strong> en retningsvektor r til linjen.<br />
TrÅk den mindste af vinklerne v <strong>og</strong> 90 fra den stÑrste. Resultatet er vinklen mellem linjen <strong>og</strong> planen.<br />
Se 16b.<br />
36. VilkÅrligt punkt pÅ linje<br />
36a. Vi omskriver parameterfremstillingen <strong>for</strong> en linje l:<br />
x<br />
5<br />
2<br />
5<br />
2t<br />
52t<br />
<br />
t<br />
<br />
<br />
y<br />
3<br />
1<br />
3<br />
t<br />
3t<br />
<br />
Et vilkÇrligt punkt pÇ l er ( x, y)<br />
( 52t<br />
, 3t)<br />
37. SkÄring mellem to linjer l <strong>og</strong> m<br />
37a. BÅde l <strong>og</strong> m er givet ved parameterfremstilling<br />
FÑrst finder vi et vilkÇrligt punt pÇ hver linje:<br />
l: ( x, y)<br />
( 2s,<br />
53s)<br />
<strong>og</strong> m: ( x, y)<br />
( 22t<br />
, 2t)<br />
Vi skal bestemme s <strong>og</strong> t sÇ de to punkter har ens x-koordinater <strong>og</strong> ens y-koordinater:<br />
2s 2<br />
2t<br />
5<br />
3s<br />
2<br />
t<br />
Vi lÑser dette ligningssystem mht. s <strong>og</strong> t <strong>og</strong> fÇr:<br />
s 2 <strong>og</strong> t<br />
1<br />
NÇr s 2 er ( x , y)<br />
( 2s<br />
, 53s)<br />
( 22,<br />
532)<br />
( 4,<br />
1)<br />
.<br />
SkÅringspunktet er ( x , y)<br />
( 4,<br />
1)<br />
.<br />
37b. BÅde l <strong>og</strong> m er givet ved ligning (plangeometri)<br />
Vi skal finde x <strong>og</strong> y sÇ begge ligninger er opfyldt:<br />
l: 3x 2y<br />
10<br />
0<br />
m: x<br />
2y 6<br />
0<br />
Vi lÑser dette ligningssystem mht. x <strong>og</strong> y <strong>og</strong> fÇr x 4 <strong>og</strong> y 1<br />
.<br />
SkÅringspunktet er ( x , y)<br />
( 4,<br />
1)<br />
.<br />
37c er pÇ nÅste side.<br />
<strong>Vektorer</strong> <strong>og</strong> <strong>koordinatgeometri</strong> <strong>for</strong> <strong>gymnasiet</strong> 16 2012 Karsten Juul<br />
n <br />
1<br />
n2 <br />
n1 <br />
n2 <br />
I rummet er udregningen den<br />
samme bortset fra at der er<br />
tre koordinater.<br />
I 36a stÇr hvordan vi gÑr.<br />
Parametrene s <strong>og</strong> t i de to punkter<br />
mÇ ikke vÅre samme b<strong>og</strong>stav.<br />
Skriv at Nspire lÑser ligningssystemet,<br />
eller skriv mellemregninger.<br />
I rummet er udregningerne de samme<br />
bortset fra at der er 3 koordinater.<br />
Skriv at Nspire lÑser ligningssystemet,<br />
eller skriv mellemregninger.