Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet

29. Ligning for kugle (rumgeometri)
29a.
( x r
er ligning for en kugle med centrum C ) og radius r .
x 2
2
2 2
0 ) ( y
y0)
( z
z0)
.
( x0
, y0,
z0
29b. NÇr P er et punkt pÇ en kugle med centrum C, er kuglens radius r CP . Se 7c og 7d.
29c. Eksempel
En kugle har ligningen ( x 1) 2 y2
( z
5)
2
8 .
Vi omskriver til formen 29a:
Heraf ser vi at centrum er ( 1,
0,
5) og radius er 8 .
2 2
2 2
( 1) ( y
0)
( y
( 5)
) 8
x .
29d. Metode: NÇr vi kender en ligning ( x x 2
2
2 2
0 ) ( y
y0)
( z
z0)
r for en kugle,
sÇ kan vi undersÑge om et punkt ligger pÇ kuglen ved at sÅtte punktets koordinater ind for x, y og z i
ligningen.
Hvis ligningen bliver sand, sÇ ligger punktet pÇ kuglen.
Hvis ligningen bliver falsk, sÇ ligger punktet ikke pÇ kuglen.
29e. Eksempel der forklarer en metode
En kugle har ligningen x 2 2x
y2
z2
10z
18
0 .
For at bestemme centrum og radius omskriver vi ligningen til formen fra 29a. (Se forklaringen i 28e)
x2
2x
y2
z2
10z
18
0
x2
1
2x
y2
z2
25
10z
1
25
18
( x
1)
2 y2
( z
5)
2
Heraf ser vi at centrum er ( 1,
0,
5) og radius er 8 .
30. Afstand fra punkt til linje (plangeometri)
30a. Afstanden d fra et punkt P x , ) til en linje l : ax
by
c
0 er
d
ax1
b y1
c
.
a2
b2
( 1 y1
8
30b. Eksempel
Afstanden d fra punktet P( 1,
2)
til linjen med ligningen 4x 3y
6
0 er
41
32
6
d
4
.
42
( 3)
2 5
31. Afstand fra punkt til plan (rumgeometri)
31a. Afstanden h fra et punkt P( x1,
y1,
z1)
til en
plan : ax
by
cz
d
0 er
ax1
b y1
cz1
d
h .
a2
b2
c2
32. Vinkel mellem linjer
l d
32a. Hvis vi kender retningsvektorer r1 og r2 for linjer l1 og l 2 , sÇ find vinklen v mellem r1 og r2 .
SÇ vil v og 180v vÅre de to vinkler som l1 og l2 danner. Se 16b.
32b. Hvis vi kender normalvektorer n1 og n2
for to linjer l1 og l2 i planen, sÇ find vinklen v mellem n1
og n2 . SÇ vil v og 180v vÅre de to vinkler som l1 og l2 danner. Se 16b.
32c. Hvis vi for to linjer l1 og l2 i planen kender en retningsvektor r1 og en normalvektor n2 , sÇ find
vinklen v mellem ˆr 1 og n2 . SÇ vil v og 180v vÅre de to vinkler som l1 og l2 danner. Se 9d og
16b.
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet 15 2012 Karsten Juul
P
h
P