Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
29. Ligning <strong>for</strong> kugle (rumgeometri)<br />
29a.<br />
( x r<br />
er ligning <strong>for</strong> en kugle med centrum C ) <strong>og</strong> radius r .<br />
x 2<br />
2<br />
2 2<br />
0 ) ( y<br />
y0)<br />
( z<br />
z0)<br />
.<br />
( x0<br />
, y0,<br />
z0<br />
29b. NÇr P er et punkt pÇ en kugle med centrum C, er kuglens radius r CP . Se 7c <strong>og</strong> 7d.<br />
29c. Eksempel<br />
En kugle har ligningen ( x 1) 2 y2<br />
( z<br />
5)<br />
2<br />
8 .<br />
Vi omskriver til <strong>for</strong>men 29a:<br />
Heraf ser vi at centrum er ( 1,<br />
0,<br />
5) <strong>og</strong> radius er 8 .<br />
2 2<br />
2 2<br />
( 1) ( y<br />
0)<br />
( y<br />
( 5)<br />
) 8<br />
x .<br />
29d. Metode: NÇr vi kender en ligning ( x x 2<br />
2<br />
2 2<br />
0 ) ( y<br />
y0)<br />
( z<br />
z0)<br />
r <strong>for</strong> en kugle,<br />
sÇ kan vi undersÑge om et punkt ligger pÇ kuglen ved at sÅtte punktets koordinater ind <strong>for</strong> x, y <strong>og</strong> z i<br />
ligningen.<br />
Hvis ligningen bliver sand, sÇ ligger punktet pÇ kuglen.<br />
Hvis ligningen bliver falsk, sÇ ligger punktet ikke pÇ kuglen.<br />
29e. Eksempel der <strong>for</strong>klarer en metode<br />
En kugle har ligningen x 2 2x<br />
y2<br />
z2<br />
10z<br />
18<br />
0 .<br />
For at bestemme centrum <strong>og</strong> radius omskriver vi ligningen til <strong>for</strong>men fra 29a. (Se <strong>for</strong>klaringen i 28e)<br />
x2<br />
2x<br />
y2<br />
z2<br />
10z<br />
18<br />
0<br />
x2<br />
1<br />
2x<br />
y2<br />
z2<br />
25<br />
10z<br />
1<br />
25<br />
18<br />
( x<br />
1)<br />
2 y2<br />
( z<br />
5)<br />
2 <br />
Heraf ser vi at centrum er ( 1,<br />
0,<br />
5) <strong>og</strong> radius er 8 .<br />
30. Afstand fra punkt til linje (plangeometri)<br />
30a. Afstanden d fra et punkt P x , ) til en linje l : ax<br />
by<br />
c<br />
0 er<br />
d<br />
ax1<br />
b y1<br />
c<br />
.<br />
a2<br />
b2<br />
( 1 y1<br />
8<br />
30b. Eksempel<br />
Afstanden d fra punktet P( 1,<br />
2)<br />
til linjen med ligningen 4x 3y<br />
6<br />
0 er<br />
41<br />
32<br />
6<br />
d <br />
4<br />
.<br />
42<br />
( 3)<br />
2 5<br />
31. Afstand fra punkt til plan (rumgeometri)<br />
31a. Afstanden h fra et punkt P( x1,<br />
y1,<br />
z1)<br />
til en<br />
plan : ax<br />
by<br />
cz<br />
d<br />
0 er<br />
ax1<br />
b y1<br />
cz1<br />
d<br />
h .<br />
a2<br />
b2<br />
c2<br />
32. Vinkel mellem linjer<br />
l d<br />
32a. Hvis vi kender retningsvektorer r1 <strong>og</strong> r2 <strong>for</strong> linjer l1 <strong>og</strong> l 2 , sÇ find vinklen v mellem r1 <strong>og</strong> r2 .<br />
SÇ vil v <strong>og</strong> 180v vÅre de to vinkler som l1 <strong>og</strong> l2 danner. Se 16b.<br />
32b. Hvis vi kender normalvektorer n1 <strong>og</strong> n2 <br />
<strong>for</strong> to linjer l1 <strong>og</strong> l2 i planen, sÇ find vinklen v mellem n1 <br />
<strong>og</strong> n2 . SÇ vil v <strong>og</strong> 180v vÅre de to vinkler som l1 <strong>og</strong> l2 danner. Se 16b.<br />
32c. Hvis vi <strong>for</strong> to linjer l1 <strong>og</strong> l2 i planen kender en retningsvektor r1 <strong>og</strong> en normalvektor n2 , sÇ find<br />
<br />
vinklen v mellem ˆr 1 <strong>og</strong> n2 . SÇ vil v <strong>og</strong> 180v vÅre de to vinkler som l1 <strong>og</strong> l2 danner. Se 9d <strong>og</strong><br />
16b.<br />
<strong>Vektorer</strong> <strong>og</strong> <strong>koordinatgeometri</strong> <strong>for</strong> <strong>gymnasiet</strong> 15 2012 Karsten Juul<br />
P<br />
h<br />
<br />
P