Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
25l. Eksempel<br />
En linje l gÇr gennem punkterne A( 15,<br />
20,<br />
20)<br />
<strong>og</strong> B ( 25,<br />
27,<br />
24)<br />
.<br />
For at bestemme en parameterfremstilling <strong>for</strong> l bruger vi 25j , 4d <strong>og</strong> 25d.<br />
Da A <strong>og</strong> B ligger pÇ l, er AB parallel med l.<br />
2515<br />
10<br />
x<br />
15<br />
10<br />
<br />
AB 2720<br />
7<br />
sÇ l har parameterfremstillingen y<br />
20<br />
t<br />
7<br />
.<br />
<br />
2420<br />
4 <br />
z<br />
20<br />
4<br />
26. Ligning <strong>for</strong> linje (plangeometri)<br />
a<br />
26a. NÇr ( x0, y0)<br />
er et punkt pÇ l <strong>og</strong> er vinkelret pÇ l,<br />
b<br />
sÇ kan vi bestemme en ligning <strong>for</strong> l ved fÑrst at sÅtte<br />
ind i <strong>for</strong>mlen<br />
a(<br />
x<br />
x0)<br />
b(<br />
y<br />
y0)<br />
0<br />
( 0, 0)<br />
<strong>og</strong> derefter gange ind i parenteserne <strong>og</strong> trÅkke sammen sÇ vi fÇr en ligning af typen<br />
y x<br />
a<br />
<br />
b<br />
ax by<br />
c<br />
0 .<br />
a<br />
26b. NÇr ax by<br />
c<br />
0 er en ligning <strong>for</strong> l, sÇ er vektoren vinkelret pÇ l.<br />
b<br />
26c. NÇr vi kender tallene a, b <strong>og</strong> c i en ligning ax by<br />
c<br />
0 <strong>for</strong> en linje l,<br />
sÇ kan vi undersÑge om et punkt ligger pÇ l ved at sÅtte punktets koordinater ind <strong>for</strong> x <strong>og</strong> y i ligningen.<br />
Hvis ligningen bliver sand, sÇ ligger punktet pÇ l.<br />
Hvis ligningen bliver falsk, sÇ ligger punktet ikke pÇ l.<br />
26d. En vektor der er vinkelret pÇ l kaldes en normalvektor <strong>for</strong> l.<br />
26e. Eksempel<br />
En linje l gÇr gennem punkterne A( 2,<br />
7)<br />
<strong>og</strong> B (3,<br />
1)<br />
.<br />
For at bestemme en ligning <strong>for</strong> l pÇ <strong>for</strong>men ax by<br />
c<br />
0 bruger vi 25j , 9a , 9d <strong>og</strong> 26a .<br />
A <strong>og</strong> B ligger pÇ l, sÇ l er parallel med<br />
3<br />
2<br />
5<br />
AB<br />
<br />
<br />
1<br />
7<br />
6<br />
SÇ er l vinkelret pÇ<br />
<br />
( 6)<br />
6<br />
AB<br />
<br />
<br />
5<br />
5<br />
SÇ har l ligningen 6 ( x<br />
2)<br />
( 5)<br />
(<br />
y<br />
7)<br />
0<br />
Denne omskriver vi til 6x 5y<br />
23<br />
0<br />
27. Ligning <strong>for</strong> plan (rumgeometri)<br />
<br />
27a. NÇr ( x0 , y0,<br />
z0)<br />
er et punkt i en plan , <strong>og</strong> er vinkelret pÇ ,<br />
<br />
sÇ kan vi bestemme en ligning <strong>for</strong> ved fÑrst at sÅtte<br />
ind i <strong>for</strong>mlen<br />
a(<br />
x<br />
x0)<br />
b(<br />
y<br />
y0)<br />
c(<br />
z<br />
z0)<br />
0<br />
<strong>og</strong> derefter gange ind i parenteserne <strong>og</strong> trÅkke sammen<br />
sÇ vi fÇr en ligning af typen<br />
a b<br />
c<br />
<br />
ax by<br />
cz<br />
d<br />
0 .<br />
<br />
27b. NÇr ax by<br />
cz<br />
d<br />
0 er en ligning <strong>for</strong> , sÇ er vektoren vinkelret pÇ .<br />
<br />
27c. NÇr vi kender tallene a, b, c <strong>og</strong> d i en ligning ax by<br />
cz<br />
d<br />
0 <strong>for</strong> en plan,<br />
a b<br />
c<br />
<br />
<br />
<br />
a b<br />
c<br />
( 0 0 0<br />
x , y , z )<br />
sÇ kan vi undersÑge om et punkt ligger i ved at sÅtte punktets koordinater ind <strong>for</strong> x, y <strong>og</strong> z i<br />
ligningen: Hvis ligningen bliver sand, sÇ ligger punktet i .<br />
Hvis ligningen bliver falsk, sÇ ligger punktet ikke i .<br />
<strong>Vektorer</strong> <strong>og</strong> <strong>koordinatgeometri</strong> <strong>for</strong> <strong>gymnasiet</strong> 13 2012 Karsten Juul<br />
l
Change language