Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet

Vektorer
og
koordinatgeometri
for gymnasiet
2012 Karsten Juul

Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet
Ä 2012 Karsten Juul
Dette hÅfte kan downloades fra mat1.dk/noter.htm
HÅftet mÇ bruges i undervisningen hvis lÅreren med det samme sender en e-mail til kj@mat1.dk som
oplyser at dette hÅfte benyttes (skriv filnavn), og oplyser om hold, niveau, lÅrer og skole.

VEKTORER
1. Koordinater til punkt i planen............................................................................3
2. Koordinater til punkt i rummet ..........................................................................3
3. Vektor: Definition og sprogbrug........................................................................4
4. Vektor: Koordinater...........................................................................................4
5. Koordinater til vektors endepunkt .....................................................................5
6. Nulvektor ...........................................................................................................5
7. LÅngde af vektor ...............................................................................................5
8. Modsat vektor ....................................................................................................6
9. TvÅrvektor (plangeometri)................................................................................6
10. Tal gange vektor ................................................................................................7
11. Vektor plus vektor .............................................................................................7
12. Vektor minus vektor ..........................................................................................8
13. Projektion...........................................................................................................8
14. Prikprodukt ........................................................................................................8
15. Prikprodukt: Vinkelret? .....................................................................................9
16. Prikprodukt: Vinkel mellem vektorer................................................................9
17. Prikprodukt: Projektion af vektor ......................................................................9
18. Determinant (plangeometri)............................................................................10
19. Determinant: Parallel? (plangeometri)............................................................10
20. Determinant: Areal (plangeometri).................................................................10
21. Krydsprodukt (rumgeometri)..........................................................................11
22. Krydsprodukt: Parallel? (rumgeometri)..........................................................11
23. Krydsprodukt: Areal (rumgeometri)...............................................................11
24. Krydsprodukt: Vinkelret vektor (rumgeometri)..............................................12
KOORDINATGEOMETRI
25. Parameterfremstilling for linje.........................................................................12
26. Ligning for linje (plangeometri) .....................................................................13
27. Ligning for plan (rumgeometri)......................................................................13
28. Ligning for cirkel (plangeometri) ...................................................................14
29. Ligning for kugle (rumgeometri)....................................................................15
30. Afstand fra punkt til linje (plangeometri) .......................................................15
31. Afstand fra punkt til plan (rumgeometri)........................................................15
32. Vinkel mellem linjer........................................................................................15
33. Vinkel mellem planer (rumgeometri) .............................................................16
34. Vinkel mellem sideflader (rumgeometri)........................................................16
35. Vinkel mellem linje og plan (rumgeometri) ...................................................16
36. VilkÇrligt punkt pÇ linje...................................................................................16
37. SkÅring mellem to linjer l og m ......................................................................16
38. SkÅring mellem linje og cirkel (plangeometri) ..............................................17
39. SkÅring mellem linje og kugle (rumgeometri)...............................................17
40. SkÅring mellem linje og plan (rumgeometri).................................................17
41. Projektion af punkt pÇ linje (plangeometri)....................................................17
42. Projektion af punkt pÇ plan (rumgeometri).....................................................18
43. Tangent til cirkel plangeometri) .....................................................................18
44. Tangentplan til kugle (rumgeometri)..............................................................18
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet 1 2012 Karsten Juul

BEVISER
45. Skrivning af formler ........................................................................................19
46. Bevis for formler til automatisk tegning af pil.................................................19
47. Automatisk tegning af pil pÇ Nspire................................................................20
48. Bevis for at vi mÇ prikke ind i en parentes ......................................................20
49. Bevis for formel 49a ........................................................................................21
50. Bevis for at vi fÇr nul nÇr vi prikker med nulvektor ........................................21
51. Bevis for at vinkelrette vektorer har skalarprodukt nul ...................................21
52. Bevis for formlen for projektion af vektor.......................................................21
53. Bevis for parameterfremstilling for en linje.....................................................22
54. Bevis for ligning for linje (plangeometri).......................................................22
55. Bevis for ligning for plan (rumgeometri)........................................................23
56. Bevis for ligning for cirkel (plangeometri).....................................................23
57. Bevis for ligning for kugle (rumgeometri)......................................................23
ÉVELSER ......................................................................................................... 23-41
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet 2 2012 Karsten Juul

1. Koordinater til punkt i planen
VEKTORER
1a. Koordinatsystem i planen
Figuren viser et koordinatsystem i planen.
De to koordinatakser er vinkelret pÇ hinanden.
1b. Begyndelsepunkt O
Begyndelsespunktet er koordinataksernes
skÅringspunkt. Bogstavet O bruges ofte til at
betegne begyndelsespunktet.
O har koordinatsÅttet (0,0).
1c. KoordinatsÄt til punktet Q
Vi anbringer et flytbart punkt i O.
Vi forskyder punktet 5 enheder i x-aksens retning sÇ det kommer fra O til P.
NÇr vi forskyder 5 enheder i x-aksens retning, sÇ bliver x-koordinaten 5 enheder stÑrre.
NÇr vi forskyder i x-aksens retning er det kun x-koordinaten der Åndres.
AltsÇ har P koordinatsÅttet ( 5,
0)
.
Fra P forskyder vi punktet 1 enhed i y-aksens retning sÇ det kommer fra P til Q.
NÇr vi forskyder 1 enhed i y-aksens retning, sÇ bliver y-koordinaten 1 enhed stÑrre.
NÇr vi forskyder i y-aksens retning er det kun y-koordinaten der Åndres.
AltsÇ har Q koordinatsÅttet ( 5,
1)
.
Det fÑrste tal i koordinatsÅttet er punktets x-koordinat.
Det andet tal i koordinatsÅttet er punktets y-koordinat.
2b. Begyndelsepunkt O
Begyndelsespunktet er koordinataksernes
skÅringspunkt. Bogstavet O bruges ofte til at
betegne begyndelsespunktet.
O har koordinatsÅttet (0,0,0).
Det hedder et plan, ikke en plan, men i geometri er
begge dele korrekt. I eksamensopgaver skrives en plan.
2c. KoordinatsÄt til punktet R
Q
Vi anbringer et flytbart punkt i O.
x
Vi forskyder punktet 5 enheder i x-aksens retning sÇ det kommer fra O til P.
NÇr vi forskyder 5 enheder i x-aksens retning, sÇ bliver x-koordinaten 5 enheder stÑrre.
NÇr vi forskyder i x-aksens retning er det kun x-koordinaten der Åndres.
AltsÇ har P koordinatsÅttet ( 5,
0,
0)
.
Fra P forskyder vi punktet 1 enhed i y-aksens retning sÇ det kommer fra P til Q.
NÇr vi forskyder 1 enhed i y-aksens retning, sÇ bliver y-koordinaten 1 enhed stÑrre.
NÇr vi forskyder i y-aksens retning er det kun y-koordinaten der Åndres.
AltsÇ har Q koordinatsÅttet ( 5,
1,
0)
.
Fra Q forskyder vi punktet 3 enheder i z-aksens retning sÇ det kommer fra Q til R.
NÇr vi forskyder 3 enheder i z-aksens retning, sÇ bliver z-koordinaten 3 enheder stÑrre.
NÇr vi forskyder i z-aksens retning, er det kun z-koordinaten der Åndres.
AltsÇ har R koordinatsÅttet ( 5,
1,
3)
.
Det fÑrste tal i koordinatsÅttet er punktets x-koordinat. Det andet tal i koordinatsÅttet er punktets
y-koordinat. Det tredje tal i koordinatsÅttet er punktets z-koordinat.
(BemÅrk at punkterne R og T ligger lige langt over xy-planen som indeholder x-aksen og y-aksen).
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet 3 2012 Karsten Juul
P
R
1
y
O 1
P
1
O
1
1
Q
( 5,
1)
R
(2
, 4)
1d. KoordinatsÄt til punktet R
PÇ den Ñverste figur kan vi kan komme til R ved at starte i O , forskyde –2 i x-aksens retning og
forskyde 4 i y-aksens retning. Derfor er R (2,
4)
.
R
( 5,
1,
3)
2. Koordinater til punkt i rummet
z
S
(2
, 4,
2)
2a. Koordinatsystem i rummet
Figuren viser et koordinatsystem i rummet.
T
De tre koordinatakser er vinkelret pÇ hinanden.
R S
Q
x
y

2d. KoordinatsÄt til punktet S
PÇ den nederste figur pÇ side 3 kan vi komme til S ved at
starte i O , forskyde –2 i x-aksens retning , 4 i y-aksens retning og 2 i z-aksens retning.
Derfor er S (2
, 4,
2)
.
3. Vektor: Definition og sprogbrug
3a. En vektor er en pil. Hvis vi forskyder en pil uden at dreje den, sÇ er pilen stadig samme vektor.
3b. En vektor kan betegnes med et lille bogstav med pil over.
3c. PÇ figurerne 3f og 3g gÅlder:
Vektorerne a og b er samme vektor, for de kan forskydes over i hinanden da de har samme lÅngde
og samme retning.
Vektorerne a og c er ikke samme vektor da de har forskellig lÅngde.
Vektorerne d og e er ikke samme vektor da de har forskellig retning.
3d. PÇ figur 3f gÇr vektoren a fra punktet P til punktet Q. SÇ kan denne vektor betegnes med PQ .
Der gÅlder at a PQ og b PQ .
3e. NÇr en vektor a er anbragt sÇ den gÇr fra et punkt P til et punkt Q, sÇ siger vi:
P er vektorens startpunkt og er Q vektorens endepunkt.
NÇr vi afsÅtter vektoren ud fra P, sÇ er dens endepunkt Q.
z
P
a
3
Figur 3f
4. Vektor: Koordinater
4a. Vi kan fÇ en vektors koordinatsÅt ved at
trÅkke startpunktets koordinater fra endepunktets koordinater.
4b. En vektors koordinatsÅt skrives lodret.
4c. NÇr , ) a A og ) , b B , er 4d. NÇr ) , , A a a a og B b , b , b ) , er
( 1 2 a
b1
a1
AB
b2
a2
( 1 2 b
( 1 2 3
b1
a1
AB
b2
a2
b3
a3
( 1 2 3
4e. Eksempel 4f. Eksempel
PÇ figur 3f er P (5,
1)
og Q (2
, 3)
PÇ figur 3g er R ( 3,
0,
0)
og S
( 0,
0,
2)
2
( 5)
3
sÇ PQ
sÇ
3 1 2
3
dvs. a
2
Q
2
b
3
a
2
c
3
og b
2
. dvs.
3
0
2 0
2
0 0
0 3
RS
3
d 0
2
.
4g. Dette koordinatsÅt fortÅller at a gÇr 4h. Dette koordinatsÅt fortÅller at d gÇr
3 i x-aksens retning og –3 i x-aksens retning,
2 i y-aksens retning. 0 i y-aksens retning og
Dette kan vi ogsÇ se pÇ figur 3f. 2 i z-aksens retning.
Dette kan vi ogsÇ se pÇ figur 3g.
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet 4 2012 Karsten Juul
x
R
d
1
e
S
1
1
3
d 0
2
Figur 3g
y

5. Koordinater til vektors endepunkt
5a. NÇr ( 1 , 2)
a a A og x
AB er
y
x
5b. NÇr A ( a1
, a2,
a3)
og AB y
er
z
B a x , a y )
B a x , a y , a z)
( 1 2
5c. I ord kan de to formler udtrykkes sÇdan:
NÇr en vektor er afsat ud fra et punkt,
og man lÅgger vektorens koordinater til punktets koordinater,
sÇ fÇr man koordinaterne til vektorens endepunkt.
5d. Eksempel 5e. Eksempel
( 1 2 3
Ud fra figuren slutter vi: P x , y , z ) ,
6. Nulvektor
( 0 0 0
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet 5 2012 Karsten Juul
0
r1
r r2
r3
, P ( x,
y,
z)
Med disse betegnelser fÇr vi ud fra figuren:
( 0 1 0 2 0 3
x, y,
z)
( x
r , y
r , z
r )
6a. Vekoren med lÅngde 0 kaldes nulvektor og betegnes med o som er bogstavet lille o med pil over.
0
6b. I planen er o
0
0
, og i rummet er o 0
0
.
6c. PÇ en figur er nulvektor et punkt.
7. LÄngde af vektor
7a. Symbolet v betyder lÅngden af vektoren v .
x
7b. NÇr v
y
, er 7c. NÇr
7d. Eksempel
( 4 , 1)
v x2
y
A (2,
11)
og B ( 6,
5)
.
2
.
For at finde lÅngden af AB udregner vi fÑrst koordinaterne til AB :
6
( 2)
8
AB
5
11
6
Nu fÇr vi
AB
A
8
5
2
2
( 6)
2
Vi har udregnet at afstanden mellem punkterne A og B er 10.
B
B
B ( 45
, 12
) ( 9 , 3)
10
A
P0
r P
P P
x
v y
z
, er
v x y2
B
2 z2
I rummet er udregningerne
de samme bortset fra at der
er tre koordinater.
r 0
.

8. Modsat vektor
8a. Koordinater til modsat vektor
x
En vektor a
y
x
har den modsatte vektor En vektor a y
z
har den modsatte vektor
x
8b. a
y
x
. 8c. a
y
.
z
8d. Modsat vektor pÅ figur
Den modsatte vektor til a har samme lÅngde som a
og har modsat retning af a
8e. Eksempel
4
PÇ figuren er a
2
.
4 4
SÇ er a
( 2)
2
.
9. TvÄrvektor (plangeometri)
9a. NÇr vi drejer en vektor 90 mod uret, sÇ fÇr vi vektorens
tvÅrvektor.
Vi skriver over en vektor for at betegne tvÅrvektoren.
â er tvÅrvektoren til a .
En vektor i rummet har IKKE en tvÅrvektor.
9c. Formel for tvÄrvektor
Vi udregner koordinaterne til tvÅrvektoren ved hjÅlp af
fÑlgende formel:
x
y
9d.
y
x
2
9e. Eksempel: Hvis a
3
3
, er â
2
. Se Figur 9b.
9f. Eksempel
Figur 9g viser et kvadrat.
Du skal IKKE huske at reglen
er nr. 9a. Du skal lÄse reglen,
Af 9a fÇr vi
huske den, og forstÅ at den
5
AB
1
bruges her. Det samme gÄlder
alle tilsvarende henvisninger.
Vi omskriver hÑjresiden med Formel 9d og fÇr
1
AB
5
Af dette og Formel 5a fÇr vi
B
AltsÇ er
( 7
1,
3
( 5)
)
B ( 8,
2)
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet 6 2012 Karsten Juul
a
D
a
C
â
5
1
a
Figur 9b
A(
7,
3)
B
Figur 9g

10. Tal gange vektor
10a. Koordinater til ka
Vi ganger en vektor med et tal ved at gange hver af vektorens koordinater med tallet:
10b.
a1
ka1
k
10c.
a2
ka2
10d. ka pÅ en figur
a
1, 5 er ensrettet med a da 1,5 er positiv.
a
1, 5 er 1,5 gange sÇ lang som a .
a
2 er modsat rettet a da –2 er negativ.
a
2 er 2 gange sÇ lang som a .
10e. a
0 er nulvektoren o .
10f. LÅngden af ka er k gange lÅngden af a . Se 20a.
a1
ka1
k
a2
k
a2
a3
ka3
10g. ka er ensrettet med a hvis k er positiv. ka er modsatrettet a hvis k er negativ.
10h. Hvis b er o eller parallel med a , sÇ findes et tal k sÇ b er ka .
11. Vektor plus vektor
11a.
Koordinater til a b
a1
b1
a1b1
a2
b2
a2b
2
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet 7 2012 Karsten Juul
11b.
11c. a b
pÅ en figur 11d. ab pÅ en figur
Hvis b er afsat i forlÅngelse af a
som pÇ figur 11e, sÇ er a b
vektoren PR
fra a 's startpunkt til b 's spids.
P
11g. Eksempel
Figur 11h viser tre vektorer.
Af regel 11c fÇr vi
8
7
a
1
3
Heraf og af 11a fÇr vi
a
Q
a b
8
( 7)
a
1
( 3)
AltsÇ er
1
a
4
b
R
a
2
a1
b1
a1b1
a2
b2
a2
b2
a3
b3
a3b3
Hvis a og b er afsat ud fra samme punkt
som pÇ figur 11f, og PQRS er et parallelogram,
sÇ er digonalen PR lig a b
.
b
P
Figur 11e Figur 11f
S
a
8
1
7
3
a
a
1,
5
Q
a b
a
Figur 11h
R

12. Vektor minus vektor
12a.
Koordinater til a b
a1
b1
a1b1
a2
b2
a2b
2
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet 8 2012 Karsten Juul
12b.
a1
b1
a1b1
a2
b2
a2
b2
a3
b3
a3b3
12c. a b
pÅ en figur
Hvis a
12d. ab pÅ en figur
og b
er afsat i forlÅngelse af
hinanden som pÇ figur 12e, sÇ er
PT lig a b
.
Hvis a og b er afsat ud fra samme punkt,
sÇ er a b
vektoren fra b 's spids til a 's spids.
PÇ figur 12f, er SQ lig a b
.
a
Figur 12e Figur 12f
b
a b
T
Q
a
P
b
a b
Q
P
S
13. Projektion
13a. Projektion af punkt pÅ linje
NÇr vi fra et punkt P gÇr vinkelret ind pÇ en linje l,
kommer vi til et punkt P pÇ l som vi kalder
l
projektionen af P pÇ l.
13b. SÅdan kan vi tegne projektionen (plangeometri)
For at tegne projektionen af et punkt P pÇ en linje l
tegner vi den linje m som gÇr gennem P og er vinkelret
pÇ l. SkÅringspunktet mellem m og l er det punkt Pl
vi
kalder projektionen af P pÇ l.
13c. Projektion af vektor pÅ vektor
Linjen l er parallel med b .
NÇr vi projicerer startpunkt og endepunkt for a pÇ l,
sÇ fÇr vi startpunkt og endepunkt for en vektor
som vi kalder projektionen af a pÇ b
a
b
.
13d. Projektion af punkt pÅ plan
NÇr vi fra et punkt P gÇr vinkelret ind pÇ en plan ,
kommer vi til et punkt P
i som vi kalder
projektionen af P pÇ .
14. Prikprodukt
14a. Prikproduktet a b
af to vektorer a og b er et tal.
NÇr vi kender koordinaterne, kan vi udregne prikproduktet ved hjÅlp af formlerne i rammerne.
Prikproduktet kaldes ogsÇ skalarproduktet. ”Skalar” betyder tal.
a b
1 1
14b.
a1b1
a2b2
a
2 b
2
l
l
b
Pl
a b
1 1
14c. a2
b2
a1b1
a2b2
a3b3
a
3 b
3
P
P
a
a
b
P

15. Prikprodukt: Vinkelret?
15a.
Symbolet a
b lÅses ” a er vinkelret pÇ b ” eller ” a og b er ortogonale”.
15b.
a
b netop nÇr ab 0
hvis hverken a eller b er nulvektor.
15c. Eksempel
3
a
1
t
og b
2
.
a og b er ortogonale netop nÇr ab 0
, altsÇ nÇr
3t 1
2
0
dvs. nÇr t
2 .
3
16. Prikprodukt: Vinkel mellem vektorer
16a. NÇr vi afsÅtter to vektorer ud fra samme punkt, danner de to vinkler. Den af vinklerne der er mindre
end eller lig 180, kalder vi vinklen mellem vektorerne.
16b. NÇr v er vinklen mellem a og b , er
a
b
cos( v) .
a b
16c. Eksempel
8
a
2
1
og b
3
.
NÇr v er vinklen mellem a og b , er
a
b
cos( v)
a b
altsÇ
8(
1)
23
cos( v)
2 2 2 2
8
2 ( 1)
3
Nspire lÑser denne ligning mht. v for 0 v 180
og fÇr v 94,
3987
.
Vinklen mellem a og b er 94,4.
17. Prikprodukt: Projektion af vektor
17a. Projektionen af a pÇ b er 17b. LÅngden af projektionen af a pÇ b er
. 2 b
a b
a
a
b
b
a .
b
b b
17c. Eksempel
8
NÇr a
2
17d. Eksempel
0
NÇr a
5
1
og b
3
2
og b
1
I rummet er udregningen den
samme bortset fra at hver
vektor har tre koordinater.
er
a
b
8(
1)
23
1
2 2 2
( 1)
3 3
b
a b
b
5 3
1
5
.
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet 9 2012 Karsten Juul
3
1
5
1
a
b 02
5(
1)
5
er a 5 .
b b 22
( 1)
2 5
17c og 17d: I rummet er udregningen den samme bortset fra at hver vektor har tre koordinater.
b
v
I rummet er udregningen den
samme bortset fra at hver
vektor har tre koordinater.
a
a

18. Determinant (plangeometri)
18a. Determinanten det( a, b)
af to vektorer a pÇ b er et tal.
NÇr vi kender koordinaterne, kan vi udregne determinanten ved hjÅlp af formlen i rammen.
To vektorer i rummet har ikke en determinant.
a b
1 1
18b. det( ,
) a1b2
a2b
a
1
2 b
2
18c. Eksempel
8
a
2
1
og b
3
.
det( a, b)
8
3
2
( 1)
26
.
19. Determinant: Parallel? (plangeometri)
19a. Symbolet a b
|| lÅses ” a og b er parallelle”.
19b. a b
|| netop nÇr det( a, b)
0
hvis hverken a eller b er nulvektor.
19c. Eksempel
3
a
1
4
og b
.
2t
a og b er parallelle netop nÇr det( a, b)
0
, altsÇ nÇr
( 3) 2t
14
dvs. nÇr t
2 .
3
20. Determinant: Areal (plangeometri)
20a. Symbolet x lÅses ”den numeriske vÅrdi af x” .
0
Der gÅlder 0 0 , 4 4 , 4 4 , 0, 5 0,
5 , 0, 5 0,
5 , osv.
Arealet A af det parallelogram der udspÅndes af a og b er
20b. A
det( a,
b)
.
20c. Eksempel
1
a
3
8
og b
2
.
Arealet A af det parallelogram der udspÅndes af a og b er
A det( a,
b)
( 1)
2
38
26
26 .
20d. Eksempel
Arealet T af trekant ABC er
T
1
det( AB,
AC)
.
2
20e. Eksempel
C
En ”skÅv” firkant PQRS deler vi op i to trekanter for at finde arealet.
A
T
B
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet 10 2012 Karsten Juul
a
P
b
a
Q
A
S
b nÇr t
1
b nÇr t
0
b nÇr t
1
b nÇr t
2
R

21. Krydsprodukt (rumgeometri)
21a. Krydsproduktet a b
af to vektorer a og b er en vektor.
NÇr vi kender koordinaterne, kan vi udregne krydsproduktet ved hjÅlp af formlen i rammen.
Krydsproduktet kaldes ogsÇ vektorproduktet.
21b.
21c. Eksempel
a
1 b
1 a
2 b3
a3
b2
a2
b2
a3b1
a1b3
a3
b3
a1b
2
a2b1
2
3
34
1
6
23
5
4
9
22. Krydsprodukt: Parallel? (rumgeometri)
22a. a b
|| netop nÇr a
b
o
hvis hverken a eller b er nulvektor.
22b. Eksempel
23
a 19
16
92
og b 76
64
PÇ Nspire udregner vi
0
ab
0
0
.
Da a b
er nulvektor, er a og b parallelle.
23. Krydsprodukt: Areal (rumgeometri)
Arealet A af det parallelogram der udspÅndes af a og b er
23a. A a
b .
23b. Eksempel
2
a 0
1
2
og b 1
0
.
1
PÇ Nspire udregner vi ab 2
2
.
Arealet A af det parallelogram der
udspÅndes af a og b er
A ab
( 1)
22
2
2 2
3
.
Vi skal vide at denne formel findes.
Vi skal ikke huske formlen.
Vi vil altid bruge Nspire til at udregne krydsprodukt.
Dette er udregnet pÇ Nspire ved at taste
crossP({2,-1,5},{-3,6,4})
Afsnit 23 fortsÄtter pÅ nÄste side.
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet 11 2012 Karsten Juul
x
1
1
z
a
b
1
a b
y

23c. Eksempel
Arealet T af trekant ABC er
T 1
2
AB
AC .
23d. Eksempel: En ”skÅv” firkant PQRS
deler vi op i to trekanter for at finde arealet.
24. Krydsprodukt: Vinkelret vektor (rumgeometri)
24a. Krydsproduktet af to vektorer er en vektor der er vinkelret pÇ begge vektorer:
ab
a og ab
b
24b. HÇjrehÅndsreglen:
Grib om a b
med hÑjre hÇnd sÇ fingrene peger fra a til b .
SÇ vil a b
pege i tommelfingerens retning.
KOORDINATGEOMETRI
25. Parameterfremstilling for linje
1
25a. 25b.
r
r1
r t
2
r2
, ) x
l
( x,
y)
r1
NÇr ( x0, y0)
er et punkt pÇ l og
r2
r1
NÇr ( x0, y0,
z0)
er et punkt pÇ l og r2
r3
er parallel med l, sÇ er fÑlgende er parallel med l, sÇ er fÑlgende
en parameterfremstilling for l: en parameterfremstilling for l:
x
x0
r1
25c.
t
y
y0
r2
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet 12 2012 Karsten Juul
25d.
x
x0
r1
y
y0
t
r2
z
z0
r3
25e. NÇr 25c er en parameterfremstilling for l, 25f. NÇr 25d er en parameterfremstilling
sÇ gÅlder: for l, sÇ gÅlder:
( 0 y0
( 0 0 y
x , ) er et punkt pÇ l. x , y , z ) er et punkt pÇ l.
r1
er parallel med l.
r2
25g. Antag at x0, y0, r1 r1 og r2 r2 i 22c 25c er erstattet med 25h.
bestemte erstattet med tal. SÇ bestemte gÅlder: tal. SÇ gÅlder:
Hvis vi indsÅtter et tal for t og udregner
hÑjresiden, sÇ fÇr vi koordinaterne til et
punkt der ligger pÇ linjen.
Hvis koordinaterne til et punkt ikke kan fÇs
pÇ denne mÇde, sÇ ligger punktet ikke pÇ
linjen linjen.
25i. En vektor der er parallel med l, kaldes en retningsvektor for l.
25j. NÇr A og B er to forskellige punkter pÇ l, sÇ er AB parallel med l.
( 0 0 0
( 0 0 0
x , y , z )
r1
r2
er parallel med l.
r3
Antag at x0, y0, z0, r1, r2 og r3 i 25d er
erstattet med bestemte tal. SÇ gÅlder:
Hvis vi indsÅtter et tal for t og udregner
hÑjresiden, sÇ fÇr vi koordinaterne til et
punkt der ligger pÇ linjen.
Hvis koordinaterne til et punkt ikke kan fÇs
pÇ denne mÇde, sÇ ligger punktet ikke pÇ
linjen.
25k. NÇr A er et punkt pÇ l og AB er parallel med l, sÇ er B et punkt pÇ l. Afsnit 25 fortsÄtter pÅ nÄste side!
A
T
B
1
r
r2
r3
C
t
r1
r2
r3
A
P
( x,
y,
z)
B
Q
l
S
l
R

25l. Eksempel
En linje l gÇr gennem punkterne A( 15,
20,
20)
og B ( 25,
27,
24)
.
For at bestemme en parameterfremstilling for l bruger vi 25j , 4d og 25d.
Da A og B ligger pÇ l, er AB parallel med l.
2515
10
x
15
10
AB 2720
7
sÇ l har parameterfremstillingen y
20
t
7
.
2420
4
z
20
4
26. Ligning for linje (plangeometri)
a
26a. NÇr ( x0, y0)
er et punkt pÇ l og er vinkelret pÇ l,
b
sÇ kan vi bestemme en ligning for l ved fÑrst at sÅtte
ind i formlen
a(
x
x0)
b(
y
y0)
0
( 0, 0)
og derefter gange ind i parenteserne og trÅkke sammen sÇ vi fÇr en ligning af typen
y x
a
b
ax by
c
0 .
a
26b. NÇr ax by
c
0 er en ligning for l, sÇ er vektoren vinkelret pÇ l.
b
26c. NÇr vi kender tallene a, b og c i en ligning ax by
c
0 for en linje l,
sÇ kan vi undersÑge om et punkt ligger pÇ l ved at sÅtte punktets koordinater ind for x og y i ligningen.
Hvis ligningen bliver sand, sÇ ligger punktet pÇ l.
Hvis ligningen bliver falsk, sÇ ligger punktet ikke pÇ l.
26d. En vektor der er vinkelret pÇ l kaldes en normalvektor for l.
26e. Eksempel
En linje l gÇr gennem punkterne A( 2,
7)
og B (3,
1)
.
For at bestemme en ligning for l pÇ formen ax by
c
0 bruger vi 25j , 9a , 9d og 26a .
A og B ligger pÇ l, sÇ l er parallel med
3
2
5
AB
1
7
6
SÇ er l vinkelret pÇ
( 6)
6
AB
5
5
SÇ har l ligningen 6 ( x
2)
( 5)
(
y
7)
0
Denne omskriver vi til 6x 5y
23
0
27. Ligning for plan (rumgeometri)
27a. NÇr ( x0 , y0,
z0)
er et punkt i en plan , og er vinkelret pÇ ,
sÇ kan vi bestemme en ligning for ved fÑrst at sÅtte
ind i formlen
a(
x
x0)
b(
y
y0)
c(
z
z0)
0
og derefter gange ind i parenteserne og trÅkke sammen
sÇ vi fÇr en ligning af typen
a b
c
ax by
cz
d
0 .
27b. NÇr ax by
cz
d
0 er en ligning for , sÇ er vektoren vinkelret pÇ .
27c. NÇr vi kender tallene a, b, c og d i en ligning ax by
cz
d
0 for en plan,
a b
c
a b
c
( 0 0 0
x , y , z )
sÇ kan vi undersÑge om et punkt ligger i ved at sÅtte punktets koordinater ind for x, y og z i
ligningen: Hvis ligningen bliver sand, sÇ ligger punktet i .
Hvis ligningen bliver falsk, sÇ ligger punktet ikke i .
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet 13 2012 Karsten Juul
l

27d. NÇr A og B er to forskellige punkter i , sÇ er AB parallel med.
27e. En vektor der er vinkelret pÇ , kaldes en normalvektor for .
27f. NÇr a og b er parallelle med , sÇ er a b
vinkelret pÇ
hvis a og b ikke er parallelle, dvs. hvis a b
ikke er nulvektor.
27g. Eksempel
Punkterne A ( 0,
3,
4)
, B ( 2,
2,
1)
, C(1, 4,
3)
ligger i planen .
For at bestemme en ligning for bruger vi 4d , 27d , 27f og 27a .
2 0
2
1
0
1
AB 2
3
5
og AC
4
3
1
1
4
3
3
4
1
En normalvektor til :
8
AB AC
5
3
(Udregnet pÇ Nspire)
Ligning for : 8 ( x
0)
5(
y
3)
( 3)
(
z
4)
0
Denne omskriver vi til 8x 5y
3z
3
0
28. Ligning for cirkel (plangeometri)
28a.
( x x 2
2
0 ) ( y
y0)
r2
.
er ligning for en cirkel med centrum C x , ) og radius r .
( 0 y0
28b. NÇr P er et punkt pÇ en cirkel med centrum C, er cirklens radius r CP . Se 7d.
28c. Eksempel
En cirkel har ligningen ( x 1) 2 ( y
5)
2
9 .
Vi omskriver til formen 28a : ( x 1) 2 ( y
( 5)
) 2
32
.
Heraf ser vi at centrum er ( 1,
5) og radius er 3 .
28d. Metode: NÇr vi kender en ligning for en cirkel, sÇ kan vi undersÑge om et punkt ligger pÇ cirklen ved
at sÅtte punktets koordinater ind for x og y i ligningen.
Hvis ligningen bliver sand, sÇ ligger punktet pÇ cirklen.
Hvis ligningen bliver falsk, sÇ ligger punktet ikke pÇ cirklen.
28e. Eksempel der forklarer en metode
En cirkel har ligningen x 2 2x
y2
10y
17
0 .
For at bestemme centrum og radius omskriver vi ligningen til formen ( x x 2
2 2
0 ) ( y
y0)
r
med metoden vi har vist i rammen nedenfor. Anden ligning i besvarelsen har vi fÇet sÇdan:
Koefficienten til x er –2. Halvdelen er –1, og –1 i anden er 1. Vi lÅgger 1 til begge sider.
Koefficienten til y er 10. Halvdelen er 5, og 5 i anden er 25. Vi lÅgger 25 til begge sider.
Konstantleddet er 17. Vi trÅkker 17 fra begge sider.
Tredje ligning i besvarelsen nedenfor har vi fÇet af formlerne
( a b)
2 a2
b2
2ab
og ( a b)
2 a2
b2
2ab
sÇdan:
Koefficienten til x er –2. Halvdelen er –1. Derfor skal der stÇ –1 i fÑrste parentes.
Koefficienten til y er 10. Halvdelen er 5. Derfor skal der stÇ +5 i anden parentes.
Besvarelsen:
x2
2x
y2
10y
17
0
x2
1
2x
y2
25
10y
1
25
17
( x
1)
2 ( y
5)
2 9
Heraf ser vi at centrum er ( 1,
5) og radius er 9 3.
Hvis x-led eller y-led mangler, ser omskrivningen lidt anderledes ud:
x2
y2
10y
17
0
x2
y2
25
10y
25
17
( x 0)
2 ( y
5)
2 8
Centrum er ( 0,
5) og radius er 8 .
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet 14 2012 Karsten Juul

29. Ligning for kugle (rumgeometri)
29a.
( x r
er ligning for en kugle med centrum C ) og radius r .
x 2
2
2 2
0 ) ( y
y0)
( z
z0)
.
( x0
, y0,
z0
29b. NÇr P er et punkt pÇ en kugle med centrum C, er kuglens radius r CP . Se 7c og 7d.
29c. Eksempel
En kugle har ligningen ( x 1) 2 y2
( z
5)
2
8 .
Vi omskriver til formen 29a:
Heraf ser vi at centrum er ( 1,
0,
5) og radius er 8 .
2 2
2 2
( 1) ( y
0)
( y
( 5)
) 8
x .
29d. Metode: NÇr vi kender en ligning ( x x 2
2
2 2
0 ) ( y
y0)
( z
z0)
r for en kugle,
sÇ kan vi undersÑge om et punkt ligger pÇ kuglen ved at sÅtte punktets koordinater ind for x, y og z i
ligningen.
Hvis ligningen bliver sand, sÇ ligger punktet pÇ kuglen.
Hvis ligningen bliver falsk, sÇ ligger punktet ikke pÇ kuglen.
29e. Eksempel der forklarer en metode
En kugle har ligningen x 2 2x
y2
z2
10z
18
0 .
For at bestemme centrum og radius omskriver vi ligningen til formen fra 29a. (Se forklaringen i 28e)
x2
2x
y2
z2
10z
18
0
x2
1
2x
y2
z2
25
10z
1
25
18
( x
1)
2 y2
( z
5)
2
Heraf ser vi at centrum er ( 1,
0,
5) og radius er 8 .
30. Afstand fra punkt til linje (plangeometri)
30a. Afstanden d fra et punkt P x , ) til en linje l : ax
by
c
0 er
d
ax1
b y1
c
.
a2
b2
( 1 y1
8
30b. Eksempel
Afstanden d fra punktet P( 1,
2)
til linjen med ligningen 4x 3y
6
0 er
41
32
6
d
4
.
42
( 3)
2 5
31. Afstand fra punkt til plan (rumgeometri)
31a. Afstanden h fra et punkt P( x1,
y1,
z1)
til en
plan : ax
by
cz
d
0 er
ax1
b y1
cz1
d
h .
a2
b2
c2
32. Vinkel mellem linjer
l d
32a. Hvis vi kender retningsvektorer r1 og r2 for linjer l1 og l 2 , sÇ find vinklen v mellem r1 og r2 .
SÇ vil v og 180v vÅre de to vinkler som l1 og l2 danner. Se 16b.
32b. Hvis vi kender normalvektorer n1 og n2
for to linjer l1 og l2 i planen, sÇ find vinklen v mellem n1
og n2 . SÇ vil v og 180v vÅre de to vinkler som l1 og l2 danner. Se 16b.
32c. Hvis vi for to linjer l1 og l2 i planen kender en retningsvektor r1 og en normalvektor n2 , sÇ find
vinklen v mellem ˆr 1 og n2 . SÇ vil v og 180v vÅre de to vinkler som l1 og l2 danner. Se 9d og
16b.
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet 15 2012 Karsten Juul
P
h
P

33. Vinkel mellem planer (rumgeometri)
33a. Find vinklen v mellem normalvektorer n1 og n2
til to planer 1 og 2 .
SÇ vil v og 180v vÅre de to vinkler som 1 og 2 danner. Se 16b.
34. Vinkel mellem sideflader (rumgeometri)
34a. Til den ene sideflade skal vi finde en normalvektor
der peger ind i vinklen. (Brug hÑjrehÇndsreglen 24b)
Til den anden sideflade skal vi finde en normalvektor
der peger ud af vinklen. (Brug hÑjrehÇndsreglen 24b)
Vinklen v mellem n1 og n2 er vinklen mellem sidefladerne.
34b. (Hvis begge vektorer peger ind i vinklen, eller begge peger ud,
finder vi en vinkel u som ikke dannes af sidefladerne. De to
planer der indeholder sidefladerne, danner vinklerne u og v).
35. Vinkel mellem linje og plan (rumgeometri)
35a. Find vinklen v mellem en normalvektor n til planen og en retningsvektor r til linjen.
TrÅk den mindste af vinklerne v og 90 fra den stÑrste. Resultatet er vinklen mellem linjen og planen.
Se 16b.
36. VilkÅrligt punkt pÅ linje
36a. Vi omskriver parameterfremstillingen for en linje l:
x
5
2
5
2t
52t
t
y
3
1
3
t
3t
Et vilkÇrligt punkt pÇ l er ( x, y)
( 52t
, 3t)
37. SkÄring mellem to linjer l og m
37a. BÅde l og m er givet ved parameterfremstilling
FÑrst finder vi et vilkÇrligt punt pÇ hver linje:
l: ( x, y)
( 2s,
53s)
og m: ( x, y)
( 22t
, 2t)
Vi skal bestemme s og t sÇ de to punkter har ens x-koordinater og ens y-koordinater:
2s 2
2t
5
3s
2
t
Vi lÑser dette ligningssystem mht. s og t og fÇr:
s 2 og t
1
NÇr s 2 er ( x , y)
( 2s
, 53s)
( 22,
532)
( 4,
1)
.
SkÅringspunktet er ( x , y)
( 4,
1)
.
37b. BÅde l og m er givet ved ligning (plangeometri)
Vi skal finde x og y sÇ begge ligninger er opfyldt:
l: 3x 2y
10
0
m: x
2y 6
0
Vi lÑser dette ligningssystem mht. x og y og fÇr x 4 og y 1
.
SkÅringspunktet er ( x , y)
( 4,
1)
.
37c er pÇ nÅste side.
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet 16 2012 Karsten Juul
n
1
n2
n1
n2
I rummet er udregningen den
samme bortset fra at der er
tre koordinater.
I 36a stÇr hvordan vi gÑr.
Parametrene s og t i de to punkter
mÇ ikke vÅre samme bogstav.
Skriv at Nspire lÑser ligningssystemet,
eller skriv mellemregninger.
I rummet er udregningerne de samme
bortset fra at der er 3 koordinater.
Skriv at Nspire lÑser ligningssystemet,
eller skriv mellemregninger.

37c. l er givet ved ligning, m ved parameterfremstilling (plangeometri)
FÑrst finder vi et vilkÇrligt punkt pÇ m :
m: ( x, y)
( 22t
, 2t)
.
I 36a stÇr hvordan vi gÑr.
Vi indsÅtter dette punkt i ligningen
l: 3x 2y
10
0
og fÇr
3( 22t)
2(
2
t)
10
0
Vi lÑser denne ligning mht. t og fÇr t 1
.
NÇr t 1 er ( x , y)
( 22t
, 2t)
( 221,
21)
( 4,
1)
.
SkÅringspunktet er ( x , y)
( 4,
1)
.
38. SkÄring mellem linje og cirkel (plangeometri)
38a. Linjen er givet ved parameterfremstilling
FÑrst finder vi et vilkÇrligt punkt pÇ linjen :
( x, y)
( 22t
, 2t)
.
Vi indsÅtter dette punkt i cirklens ligning
og fÇr
x2
6x
y2
2y
0
( 22t)
2 6(
22t)
( 2t)
2
2(
2t)
Vi lÑser denne ligning mht. t og fÇr t0 eller t 2
.
NÇr t0 er ( x,
y)
( 22t
, 2t)
( 220
, 20)
( 2,
2)
NÇr t2 er ( x,
y)
( 22t
, 2t)
( 222,
22)
( 6,
0)
SkÅringspunkterne er ( 2,
2) og ( 6,
0)
.
38b. Linjen er givet ved ligning
Linjen og cirklen er givet ved ligningerne
x
2y 6
0
x2
6x
y2
2y
0
Vi lÑser dette ligningssystem mht. x og y og fÇr
x2 og y 2 eller x6 og y0
SkÅringspunktet er ( x, y)
( 2,
2)
og ( x , y)
( 6,
0)
.
39. SkÄring mellem linje og kugle (rumgeometri)
39a. Vi indsÅtter et vilkÇrligt punkt fra linjen i kuglens ligning, osv. Se 36a og 38a.
40. SkÄring mellem linje og plan (rumgeometri)
40a. Vi indsÅtter et vilkÇrligt punkt fra linjen i planens ligning, osv. Se 36a og 37c.
41. Projektion af punkt pÅ linje (plangeometri)
41a. Vi vil finde projektionen Q af punktet P( 2,
1)
pÇ linjen l: 2x 3y
20
0 .
Q er skÅringspunktet mellem l og linjen m der gÇr gennem P og er vinkelret pÇ l.
2
Af ligningen for l ser vi at vektoren er vinkelret pÇ l, sÇ m har parameterfremstillingen
3
x
2
2
m :
t
.
y
1
3
Herefter kan vi bruge metoden fra 37c til finde Q.
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet 17 2012 Karsten Juul
0
Skriv at Nspire lÑser ligningen,
eller skriv mellemregninger.
I 36a stÇr hvordan vi gÑr.
Skriv at Nspire lÑser ligningen,
eller skriv mellemregninger.
Skriv at Nspire lÑser ligningssystemet,
eller skriv mellemregninger.

42. Projektion af punkt pÅ plan (rumgeometri)
42a. Vi vil finde projektionen Q af punktet P( 6,
2,
5)
pÇ planen : 2x 3y
z
5
0 .
Q er skÅringspunktet mellem og linjen m der gÇr gennem P og er vinkelret pÇ .
2
Af ligningen forser vi at vektoren 3
er vinkelret pÇ , sÇ m har parameterfremstillingen
x
6 2
1
m : y
2
t
3
z
5 1
Herefter kan vi bruge metoden fra 40a til finde Q.
43. Tangent til cirkel (plangeometri)
43a. En tangent til en cirkel er en linje der har prÅcis àt punkt fÅlles med
cirklen. Dette punkt kaldes rÑringspunktet.
NÇr man siger ”tangenten i P”, betyder det at P er rÑringspunktet.
43b. En tangent til en cirkel er vinkelret pÇ linjen gennem centrum og
rÑringspunkt.
43c. En linje er tangent til en cirkel netop hvis afstanden fra centrum til
linjen er lig radius.
43d. Eksempel
Punktet P( 4,
5)
ligger pÇ en cirkel med centrum C ( 3,
1)
.
Vi vil finde en ligning for tangenten l i P.
IfÑlge 43b er CP vinkelret pÇ l, sÇ vi kan finde ligningen for l ved at bruge 4c og 26a.
43e. Eksempel
Linjen l: 3x 4y
24
0 er tangent til en cirkel med centrum C ( 2,
5)
.
Vi vil finde en ligning for cirklen.
IfÑlge 43c kan vi finde radius ved at finde afstanden fra C til l. Se 30a og 30b.
SÇ kan vi bestemme cirklens ligning ved at bruge 28a.
43f. Eksempel
Vi vil undersÑge om linjen l: 3x 4y
24
0 er tangent til cirlen M: ( x 2)
2 ( y
5)
2
81.
Metode 1: Vi finder centrum og radius som i 28c.
SÇ udregner vi afstanden fra centrum til l og bruger 43c.
Metode 2: Vi finder skÅringspunkterne mellem l og M og bruger 43a.
SkÅringspunkterne finder vi som i 38b.
44. Tangentplan til kugle (rumgeometri)
44a. En tangentplan til en kugle er en plan der har prÅcis àt punkt
fÅlles med kuglen. Dette punkt kaldes rÑringspunktet.
NÇr man siger ”tangentplanen i P”, betyder det at P er
rÑringspunktet.
44b. En tangentplan til en kugle er vinkelret pÇ linjen gennem
centrum og rÑringspunkt.
44c. En plan er tangentplan til en kugle netop hvis afstanden fra
centrum til planen er lig radius.
44d. Eksempel
Punktet P( 4,
5,
2)
ligger pÇ en kugle med centrum C ( 3,
1,
4)
.
Vi vil finde en ligning for tangentplanen i P.
IfÑlge 44b er CP vinkelret pÇ l, sÇ vi kan finde ligningen for ved at bruge 4d og 27a.
Afsnit 44 fortsÄtter pÅ nÄste side!
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet 18 2012 Karsten Juul
C
C
l
P
P

44e. Eksempel: Planen : 2x y
2z
24
0 er tangentplan til en kugle med centrum C (1,
0,
5)
.
Vi vil finde en ligning for kuglen. IfÑlge 44c kan vi finde radius ved at finde afstanden fra C til . Se
31a . SÇ kan vi bestemme kuglens ligning ved at bruge 29a.
44f. Eksempel: Vi vil undersÑge om planen : 2x y
2z
24
0 er tangentplan til kuglen med
centrum C(1, 0,
5)
og radius 4. Vi udregner afstanden fra C til og bruger 44c. Se 31a .
45. Skrivning af formler
BEVISER
I et eksempel som 26e skrev vi udregningerne med bestemte tal.
Hvis vi skal lave samme udreninger med mange forskellige tal, sÇ er det smart at
– starte med at betegne tallene med bogstaver og
– skrive udregningerne med disse bogstaver.
SÇ kan vi fÇ Nspire til at udregne et resultatet hver gang vi Åndrer de givne tal.
Denne metode bruger vi i eksempel 46
46. Bevis for formler til automatisk tegning af pil
v1
Figuren viser en vektor SE v
v
2
med startpunkt S ( s1,
s2
) .
NÇr vi taster bestemte tal for
vektorens koordinater v1 og v2 og
startpunktets koordinater 1 s og s 2 ,
sÇ skal Nspire tegne pilen.
Vi skal skrive formler som Nspire kan bruge til at udregne koordinaterne
til E, C og D.
For at fÇ E 's koordinater lÅgger vi v 's koordinater til S 's :
e1 s1
v1
( 1)
e s v
Her har vi brugt 5c.
2
2
2
Vi vÅlger at lade pilespidsens lÅngde vÅre 0,1 gange pilens lÅngde. SÇ mÇ
SA
0,
9v
.
Her har vi brugt 10f og 10g.
For at fÇ SA 's koordinater skal vi gange v 's koordinater med 0,9:
0,
9v1
SA
0,
9v2
For at fÇ A 's koordinater lÅgger vi SA 's koordinater til B 's :
a s
1
Vi ser at
2
1
a s
2
0, 9v
1
0, 9v
2
AC har samme retning som v ˆ .
Her har vi brugt 10a.
Her har vi brugt 5c.
Her har vi brugt 9a.
Vi vÅlger at lade pilespidsens halve bredde vÅre 0,05 gange pilens lÅngde, sÇ
AC
0,
05vˆ
.
Her har vi brugt 10f og 10g.
og
v2
0,
05v2
AC
0,
05
v1
0,
05v
Her har vi brugt 9d og 10b.
1
Afsnit 46 fortsÄtter pÅ nÄste side!
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet 19 2012 Karsten Juul
S
C E
A D
Du skal IKKE huske at reglen er
nr. 5c. Du skal slÅ op pÅ reglen,
huske den, og forstÅ at den
bruges her. Det samme gÄlder
alle tilsvarende henvisninger.

For at fÇ C 's koordinater lÅgger vi AC 's koordinater til A 's :
(2)
c s 0, 9v
0,
05v
1
2
1
c s 0, 9v
0,
05v
2
Vi ser at
0,
05v2
AD
AC
.
0,
05v1
1
2
2
1
For at fÇ D 's koordinater lÅgger vi AD 's koordinater til A 's :
(3)
d s 0, 9v
0,
05v
1
2
1
d s 0, 9v
0,
05v
2
1
2
2
1
I afsnit 47 bruger vi formlerne (1), (2) og (3) til at fÇ Nspire til at tegne pilen.
47. Automatisk tegning af pil pÅ Nspire
Her har vi brugt 5c.
Her har vi brugt 8d og 8b.
Her har vi brugt 5c.
47a. Venstre skÅrmbillede viser de formler der udregner koordinaterne til punkterne E, C og D fra
afsnit 46.
47b. HÑjre skÅrmbillede viser pilen fra afsnit 46.
NÇr vi pÇ venstre skÅrmbillede Åndrer s 1,
s 2 , v1 og/eller v 2 , sÇ Åndres pilen automatisk.
47c. Forbindelsen mellem venstre og hÑjre skÅrmbillede laver vi sÇdan:
Vi sÅtter markÑren pÇ et punkt, hÑjreklikker (pÇ lommeregner taster vi i stedet ctrl menu), vÅlger Koord og Lign,
flytter markÑr til x-koordinat, hÑjreklikker, vÅlger Variable / KÄd til og vÅlger den relevante variable,
osv.
48. Bevis for at vi mÅ prikke ind i en parentes
u1 og u2 er koordinater til u , og tilsvarende for v og w .
u1
v1
w1
( u v)
w
( u1v1)
w1
( u2v
2)
w2
u1w1
v1
w1
u2
w2
v2
w
u
2v2
w2
u1
w1
v1
w1
u w
v
w
u1w1
u2
w2
v1w1
v2
w2
u
2
w2
v
2
w2
Vi har brugt vektorregel 11a og 14b,
Da de to udtryk give samme fire led, er de ens, dvs.
og talregler: gange ind i parentes, og
48a. ( u
v)
w
u
w
v
w
ved plus er rÅkkefÑlge ligegyldig.
I rummet er beviset det samme
bortset fra at der er tre koordinater.
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet 20 2012 Karsten Juul
2

49. Bevis for formel 49a
49a.
v1 og v2 er koordinater til v .
( kv ) v kv1
v1
(
2
kv1)
v1
( kv2)
v2
k v1
k v
k
v2
v
2
2
k v k
2
v 2
v 2 k(
v 2
v 2 ) k v 2
k v 2
1
2
Da de to udtryk give samme resultat, er de ens, dvs.
2
( kv
) v k v
50. Bevis for at vi fÅr nul nÅr vi prikker med nulvektor
v1 og v2 er koordinater til v .
ov 0
v
0v1
0v
0
v
2
50a. ov 0
1
2
51. Bevis for at vinkelrette vektorer har skalarprodukt nul
u1 og u2 er koordinater til u , og tilsvarende for v .
1
NÇr vi afsÅtter u og v ud fra samme punkt,
er v u
vektoren fra u 's spids til v 's spids. Her har vi brugt 12d.
NÇr u
v kan vi bruge Pythagoras sÅtning pÇ den viste trekant:
u 2 v 2
vu
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
u u v v ( v
u ) ( v u
2
1
2
2
2
1
2
2
1
1
2
1
2
0
sÇ
2
1
u u v v ( v
u ) ( v u
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
1
2
1
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet 21 2012 Karsten Juul
)
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2)
u u v v v u 2v u v u 2v
u
v1u1
v2u
uv 0
Nu har vi bevist at
51a. hvis u
v er uv 0
2
0
Her har vi brugt 14b.
52. Bevis for formlen for projektion af vektor
Se figuren til hÑjre.
Projektionen af b pÇ a er en vektor der er o eller
parallel med a , sÇ vi kan fÇ projektionen
frem ved at gange a med et tal:
b a ta
NÇr c er vektoren pÇ figuren, er
b ta
c
Begge sider i denne ligning prikker vi med a a
og fÇr:
b
a ta c
a
Vi prikker ind i parentesen og fÇr:
b
a ( ta)
a
ca
FÑrste led pÇ hÑjre side omskriver vi med 49a, og sidste led er 0 da a
c :
2
b
a t a
2
2
Afsnit 52 fortsÄtter pÅ nÄste side!
2
2
2
2
Vi har brugt vektorregel 10b,
14b og 7b, og talregler: ved
gange er rÅkkefÑlge ligegyldig,
x 2 =xx, kvadratrod i
anden, og gange ind i
parentes.
I rummet er beviset det samme
bortset fra at der er tre
koordinater.
Vi har brugt vektorregel 14b, og
talregel om nul gange tal.
I rummet er beviset det samme
bortset fra at der er tre koordinater.
Her har vi brugt 7b og 12a.
u
b
ta
v u
c
v

Begge sider i denne ligning dividerer vi med
b
a
t 2
a
2
a
og fÇr:
Vi indsÅtter dette udtryk for t i fÑlgende ligning som vi begrundede ovenfor:
b a ta
og fÇr:
b a
52a. b
a
2 a .
a
53. Bevis for parameterfremstilling for en linje
r1
l er linjen som gÇr gennem ( x0 , y0
) og er parallel med .
r2
Et punkt ( x, y)
ligger pÇ l
vektoren fra ( x0 , y0
) til ( x, y)
er o r1
eller parallel med
r2
r1
vektoren fra ( x0 , y0
) til ( x, y)
er lig t , hvor t er et tal
r2
r1
vi fÇr ( x, y)
nÇr vi lÅgger t 's koordinater til ( 0, 0)
r2
y x
netop nÇr
dvs.
dvs.
altsÇ
x
x0
r1
53a.
t
y
y0
r2
sÇ vi har bevist at 53a er en parameterfremstilling for
r1
linjen l som gÇr gennem ( x0, y0
) og har retningsvektoren .
r2
54. Bevis for ligning for linje (plangeometri)
a
l er linjen som gÇr gennem ( x0 , y0
) og er vinkelret pÇ .
b
xx0
Vektoren fra ( x0, y0
) til ( x, y)
er . Se figur.
y
y0
netop nÇr
Et punkt ( x, y)
ligger pÇ l
xx0
y
y0
og dette gÅlder netop nÇr
1
r
r1
r t
2
r2
a
xx0
0
b
y
y0
dvs.
54a. a xx
) b(
y
y ) 0
( 0
0
( 0, 0)
y x
( x,
y)
er o a
eller vinkelret pÇ
b
l
( 0, 0)
y x
Se figur.
I rummet er beviset det
samme bortset fra at der
er tre koordinater.
Vi har nu bevist at 54a er en ligning for linjen der gÇr gennem ( 0, 0)
y x og har normalvektoren a
.
b
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet 22 2012 Karsten Juul
a
b
x
x0
y
y0
( x,
y)
l

55. Bevis for ligning for plan (rumgeometri)
Beviset er magen til beviset i afsnit 54 bortset fra at der er tre koordinater og vi siger ”plan” i stedet
for ”linje” .
56. Bevis for ligning for cirkel (plangeometri)
M er cirklen med centrum C( x0,
y0)
og radius r .
Et punkt P( x,
y)
ligger pÇ M netop nÇr
dvs.
lÅngden af CP er r
xx
lÅngden af 0 er r .
y
y
0
Ved hjÅlp af lÅngdeformlen (se 7b) kan vi skrive dette sÇdan:
( xx ) 2
( y
y ) 2
0
0
Da begge sider er 0 , kan vi oplÑfte til anden. SÇ fÇr vi
( xx 2
2 2
0 ) ( y
y0)
r
Dette er cirklens ligning (se 28a).
57. Bevis for ligning for kugle (rumgeometri)
r
Beviset er magen til beviset i afsnit 56 bortset fra at der er tre koordinater og vi siger kugle i stedet for
cirkel.
Dette betyder at du i
afsnit 1d kan lÅse
hvordan du skal gÑre.
1.1 Évelse se 1d.
AfsÅt fÑlgende punkter i koordinatsystemet:
( 0,
h)
( 2k
,
0)
( 2h,
2k)
( hk
, 0)
1.2 Évelse se 1d.
Skriv koordinater ved hjÅlp af p og q:
B( , )
C( , )
D( , )
E( , )
ÉVELSER
A(
5,
11)
( h,
k)
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet 23 2012 Karsten Juul
E
D
p
Brug blyant og viskelÅder
nÇr du udfylder.
Kuglepen o.l. er
FORBUDT!
B
q
C

2.1 Évelse se 2d.
Skriv koordinater:
2.2 Évelse se 2d.
A( , , )
B( , , )
C( , , )
AfsÅt fÑlgende punkter i koordinatsystemet:
P(
2,
3,
0)
Q(
2,
3,
1)
R(
0,
1,
3)
S(
2,
2,
3)
T ( 1,
2,
2)
3.1 Évelse se 3c.
(a) Hvilke af vektorerne er ens?
(b) Hvilke af vektorerne har samme lÅngde?
(c) Hvilke af vektorerne har samme retning?
(d) Hvilke af vektorerne har modsat retning?
3.2 Évelse se 3e.
(a) AfsÅt u ud fra A.
(b) AfsÅt u ud fra B.
(c) NÇr v afsÅttes ud fra , er endepunktet C.
(d) NÇr v afsÅttes ud fra , er endepunktet A.
(e) NÇr endepunktet for v er D, er startpunktet .
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet 24 2012 Karsten Juul
A
x
x
1
1
z
z
1
a b
e
c
v
u
C
B
B
A
C
D
y
y
d
f

4.1 Évelse se 4a og 4b.
Skriv koordinater:
P
(
Q
(
a
b
R
(
S
(
c
d
4.2 Évelse se 4g.
2
(a) KoordinatsÅttet a
3
fortÅller at a gÇr i x-aksens retning
og i y-aksens retning.
(b) AfsÅt a ud fra P.
3
(c) KoordinatsÅttet b
1
fortÅller at b gÇr i x-aksens retning
og i y-aksens retning.
(d) AfsÅt b ud fra P.
5.1 Évelse se 5c.
Skriv koordinater:
P = ( , ) = ( , )
Q = (
6.1 Évelse se 6a, 6b, 4a og 5c.
A ( 8,
3)
og B
( 4,
6)
(a) AA
(b) Hvis BC o
, er C = (
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet 25 2012 Karsten Juul
d
R
b
z
1
P
c
1
x
1
y
P
( 4,
5)
-2
-7
P
a
h
k
S
Q
Q

7.1 Évelse se 7c og 7d.
(a) Skriv koordinater:
A = (
B = (
AB
(b) u
(c) Udregn lÅngden af v .
7.2 Évelse se 7b
2t
NÇr a
1t
2
, er a
8.1 Évelse se 8b.
k3 NÇr u
9
, er u
8.2 Évelse se 8d.
AfsÅt den modsatte vektor til c ud fra P.
9.1 Évelse se 9d.
12
(a) NÇr a
5
k
3
(b) NÇr b
k1
, er â
, er b ˆ
9.2 Évelse se 9a og 8d.
(a) AfsÅt tvÅrvektoren til v ud fra A.
(b) AfsÅt den modsatte vektor til v ud fra A.
(c) AfsÅt vˆ ud fra A.
9.3 Évelse se 9a, 4c, 9d og 5c.
Figuren viser to ens kvadrater.
A ( 15,
0)
, B ( 0,
7)
.
(a) Skriv sand eller falsk ved hver ligning:
AB AC , BA AC , AB CD , BA CD .
(b) Udregn koordinatsÅttet til C.
(c) Udregn koordinatsÅttet til D.
10.1 Évelse se 10b.
3
(a) NÇr a
1
, er a
2
6 (b) NÇr a
1t
, er a
4
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet 26 2012 Karsten Juul
x
v
P
v
B
c
z
A
B
u
A
y
A
C
D

10.2 Évelse se 10d.
(a) Tegn v
3 .
(b) Tegn v
0 , 5 .
(c) Tegn v
4 .
11.1 Évelse se 11a og 10b.
3
a
1
5
, b
2
t
og c
4
.
(a) a
b
(b) b
3 (e) ta
b
(c) a
3 b
(f) a
2c
11.2 Évelse se 11c og 11d.
(a) Tegn vektoren a b
.
(b) Tegn vektoren b c
.
(c) Tegn vektoren b d
.
11.3 Évelse se 11c og 5c.
3
a
5
2
, b
3
og P ( 1,
2)
.
(a) Udregn koordinatsÅttet til c .
(b) Udregn koordinatsÅttet til Q .
12.1 Évelse se 12a og 10b.
2
a
7
4
, b
3
3
og c
k2
.
(a) a
b
12.2 Évelse se 12c og 12d.
(a) Tegn vektoren a b
.
(b) Tegn vektoren b c
.
(c) Tegn vektoren b d
.
13.1 Évelse se 13b.
(d) 2a
b
(b) a
5c
(a) Tegn den linje n som gÇr gennem P og er vinkelret pÇ l.
(b) Tegn det punkt Pl som er projektionen af P pÇ l.
(c) Tegn det punkt Pm som er projektionen af P pÇ m.
v
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet 27 2012 Karsten Juul
a
a
P
b
b
a
c
c
c
l
b
Q
m
P
d
d

13.2 Évelse se 13b og 13c.
(a) Tegn en linje l som er parallel med b .
(b) Tegn a 's startpunkt, og tegn det punkt som er
projektionen af dette punkt pÇ l.
(c) Tegn projektionen af a 's endepunkt pÇ l.
(d) Tegn den vektor som er projektionen af a pÇ b .
(e) Tegn projektionen af b pÇ a .
13.3 Évelse se 13b og 13c
(a) Tegn projektionen af P pÇ l
(b) Tegn projektionen af P0 P
pÇ n .
14.1 Évelse se 14a, 14b og 14c.
2
a
1
3
, b
4
6
og c
4
.
(a) Skriv sand eller falsk ved hver af fÑlgende 5 pÇstande:
(1) Prikproduktet af a og b er c .
(2) Prikproduktet af a og b er 14.
(3) Skalarproduktet a og b er 10.
(4) Prikproduktet a og b (5)
er 10.
bc 34
.
(b) a c
(c) ba
t 2
3
(d)
2 3t
k
3
(e) 1
8
5
2
15.1 Évelse se 15a og 15b.
Skriv sand eller falsk ved hver af fÑlgende 7 pÇstande:
(1) ab 0
(2) ac 0
(3) a og b er ortogonale
(4) a og c er ortogonale
(5) a er vinkelret pÇ b
(6) a
c
4
3
(7)
2
6
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet 28 2012 Karsten Juul
b
b
c
a
a
P
n
P0
l

15.2 Évelse se 5c og 15c.
a
2t
5
6
og b
4
.
(a) NÇr t3 er a
(b) NÇr vi afsÅtter vektoren fra (a) ud fra punktet
P ( 7,
1)
, sÇ bliver endepunktet
( , ) = ( , ) .
(c) AfsÅt vektoren fra (a) ud fra P .
(d) For t 0
, for t1 og for t2 skal du afsÅtte a
ud fra P . Skriv t-vÅrdierne ved de 4 vektorer.
(e) a er vinkelret pÇ b netop nÇr
ab
NÇr vi udregner venstre side, bliver denne ligning til
Vi lÑser denne ligning mht. t og fÇr
.
t
dvs. for denne vÅrdi af t er .
Vi ser at dette godt kan passe med figuren.
16.1 Évelse se 16c.
2
a 3
1
og
4
b 1
1
NÇr v er vinklen mellem a og b , er
altsÇ
cos(v)
cos(v)
Nspire lÑser denne ligning mht. v for og fÇr v
.
Vinklen mellem a og b er .
16.2 Évelse se 4c og 16c.
Brug 16b til at udregne vinkel A i trekant ABC.
C(1
, 3)
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet 29 2012 Karsten Juul
b
A(
2 , 1)
P
B(
9 , 0)

17.1 Évelse se 13c og 17c.
(a) Tegn den vektor a
b
som er projektionen af a pÇ b .
(b)
a
b
(c) Udregn koordinatsÅttet til a
b
og skriv mellemregnnger:
a
b
17.2 Évelse se 17d, 4g og 13c.
4
a
2
(a) Udregn lÅngden af a b
ba
5
og b
4
.
, og skriv mellemregninger:
(b) AfsÅt a og b ud fra P, tegn a b
, og mÇl lÅngden af a b
.
18.1 Évelse se 18c.
2
a
1
3
, b
4
8
og c
3
.
(a) Skriv sand eller falsk ved hver af fÑlgende 4 pÇstande:
(1) Determinanten af a og b er c .
(2) Determinanten af a og b er 5.
(3) Determinanten af a og b (4)
er 11.
det( b, c)
41
.
(b) det( a, c)
(c) det( b, a)
t3 2
(d) det( ,
)
t 1
19.1 Évelse se 19a og 19b.
Skriv sand eller falsk ved hver af fÑlgende 6 pÇstande:
(1) det( AB , AC)
0 (2) det( AB,
AD)
0
(3) det( AB , DE)
0 (4) det( AD,
BE)
0
(5) AB || AC
5
7
(6) ||
2
3
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet 30 2012 Karsten Juul
B
A
C
E
D
b
a
P

19.2 Évelse se 19c.
6
a
5
2t
og b
.
4t
(a) For hver af t-vÅrdierne –1, 0, 1, 2 og 3 skal du afsÅtte b ud fra P.
(b) a og b er parallelle netop nÇr
det( a, b)
NÇr vi udregner venstre side, bliver denne ligning til
Vi lÑser denne ligning mht. t og fÇr
t
dvs. for denne vÅrdi af t er .
Vi ser at dette godt kan passe med figuren.
20.1 Évelse se 20a.
Skriv sand eller falsk ved hver af de 4 pÇstande:
(1) Den numeriske vÅrdi af 5 er –5 .
(2) 33
33
(3) 2 2
(4) NÇr x 2
, er x x
.
20.2 Évelse se 20b, 20d og 18b.
Skriv sand eller falsk ved hver af de 3 pÇstande:
(1) NÇr a og b er vektorer i planen der udspÅnder et parallelogram med areal A,
sÇ gÅlder altid at A
det( a,
b)
.
(2) NÇr PQR er en trekant i planen med areal T, sÇ er T det( PQ,
PR)
.
4
1
(3) 42 31
er arealet af det parallelogram der udspÅndes af vektorerne og .
3
2
20.3 Évelse se 20c
6
a
5
2
og b
3
.
Udregn arealet A af det parallelogram der udspÅndes af a og b , og skriv mellemregninger.
A =
22.1 Évelse se 21c og 22a.
(a)
3
a 2
1
ab
og
9
b 7
3
(b) Af (a) kan vi se at a og b ikke er parallelle da .
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet 31 2012 Karsten Juul
P
a

23.1 Évelse se 23c og 23b.
(a) A = (
(b) B = (
(c) C = (
(d)
(e)
(f)
AB
AC
AB
AC
(g) Arealet af trekant ABC er
T =
23.2 Évelse se 23d, 23c og 23b.
Udregn arealet af firkant ABCD,
og skriv mellemregninger.
23.3 Évelse se 23a.
(a) Vektorerne u og v er vinkelret pÇ hinanden og deres lÅngder er 2 og 3.
u v
(b) I parallelogrammet PQRS har grundlinjen PQ lÅngden 10, og hÑjden er 4.
PQPR
24.1 Évelse se 24a, 24b, 23a og 22a.
Figuren viser 6 vektorer der er afsat ud fra samme punkt
og har lÅngde 1.
Vektorerne er to og to enten modsat rettede eller vinkelret
pÇ hinanden.
a
b
a
c
a
d
e
b
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet 32 2012 Karsten Juul
x
A
A(
6,
0,
0)
B(
2,
8,
0)
C(
1,
6,
4)
D(
3,
0,
6)
E(
0,
8,
0)
F(
0,
0,
7)
1
C
1
D
z
1
z
A
E
x y
B
d
a
F
e
B
f
c
C
b
y

25.1 Évelse se 10b og 11a.
En linje l har parameterfremstillingen
x
4
2
l :
t
y
3
1
x
4
(a) NÇr t 2 er
y
3
Tegn punktet med disse koordinater.
x
4
(b) NÇr t 3 er
y
3
Tegn punktet med disse koordinater.
x
4
(c) NÇr t1 er
y
3
x
4
(e) NÇr t 1 er
y
3
Tegn punktet med disse koordinater. Tegn punktet med disse koordinater.
x
4
(d) NÇr t 0 er
y
3
(f)
x
4
NÇr t 1,
5 er
y
3
Tegn punktet med disse koordinater. Tegn punktet med disse koordinater.
25.2 Évelse se 25g.
En linje m har parameterfremstillingen
x
1
2
m :
s
y
8
4
x
(a) NÇr s 3 er
y
, sÇ punktet ( , ) ligger pÇ m.
x
5
(b) NÇr s er , sÇ punktet ( 5,
0)
ligger pÇ m.
y
0
x
8
(c) NÇr s er , sÇ punktet (8, 26)
ligger pÇ m.
y
26
x
3
(d) Find et tal s sÇ
y
15
(e) Ligger punktet (3, 15)
pÇ m ?
x
19
(f) Find et tal s sÇ
y
48
(g) Ligger punktet (19, 48)
pÇ m ?
eller skriv at det ikke kan lade sig gÑre.
eller skriv at det ikke kan lade sig gÑre.
25.3 Évelse se 25c, 9a, 9d og 25j.
4
(a) En linje l gÇr gennem punktet ( 3,
5)
og er parallel med vektoren .
7
Skriv en parameterfremstilling for l :
3
(b) En linje m gÇr gennem punktet (2, 1)
og er vinkelret pÇ vektoren .
4
Skriv en parameterfremstilling for m :
(b) En linje k gÇr gennem punkterne ( 1,
3)
og ( 2,
8)
.
Skriv en parameterfremstilling for k :
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet 33 2012 Karsten Juul
( 4,
3)
2
1
l

25.4 Évelse se 25i, 25e, 25f og 15b.
(a) Skriv sand eller falsk ved hver af fÑlgende 6 pÇstande:
(1) Hvis to linjer k og n begge er parallelle med en vektor r , sÇ er k og n parallelle.
(2) Hvis r er retningsvektor for linjen n, sÇ er r vinkelret pÇ n.
(3) Hvis r er retningsvektor for linjen n, sÇ er r parallel med n.
(4) To linjer er ortogonale netop nÇr deres retningsvektorer er ortogonale.
7
x
7
2
(5) er retningsvektor for linjen med parameterfremstillingen
t
.
5
y
5
0
2
x
7
2
(6) er retningsvektor for linjen med parameterfremstillingen
t
.
0
y
5
0
(b) To linjer l og m i rummet har fÑlgende parameterfremstillinger:
l :
x
6
3
y
1
s
1
z
3
3
UndersÑg om l og m er ortogonale.
26.1 Évelse se 26c.
En linje l har ligningen
og m :
x
4
3
y
2
t
6
.
z
2
1
l : 2x y
6
0 .
(a) NÇr vi indsÅtter koordinaterne for punktet P( 3,
0)
for x og y i ligningen for l, sÇ fÇr vi ligningen
(b) Er denne ligning sand? Svar: .
(c) Ligger P pÇ l ? Svar: .
.
(d) NÇr vi indsÅtter koordinaterne for punktet Q(2, 11)
for x og y i ligningen for l, sÇ fÇr vi ligningen
(e) Er denne ligning sand? Svar: .
(f) Ligger Q pÇ l ? Svar: .
.
(g) NÇr vi indsÅtter koordinaterne for punktet R( 1,
t)
for x og y i ligningen for l, sÇ fÇr vi ligningen
(h) Ligningen er sand netop nÇr t .
.
(i) Af punkterne med x-koordinat 1 er det kun punktet ( , ) der ligger pÇ l .
26.2 Évelse se 26a, 9a, 9d og 25e .
2
(a) En linje l gÇr gennem punktet (8, 5)
og er vinkelret pÇ vektoren . Brug 26a til at skrive en
3
ligning for l :
3
(b) En linje m gÇr gennem punktet ( 4,
3)
og er parallel med vektoren . Brug 26a til at skrive en
5
ligning for l :
x
2
1
(c) En linje k har parameterfremstillingen
t
. Heraf ser vi at ( , ) er et punkt
y
4
3
pÇ k , og at er parallel med k . Brug 26a til at skrive en ligning for k :
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet 34 2012 Karsten Juul

26.3 Évelse se 26b, 26d og 25e.
(a) Skriv sand eller falsk ved hver af fÑlgende pÇstande:
(1) Hvis to linjer i planen er vinkelret pÇ samme vektor, sÇ er de to linjer parallelle.
(2) For linjer l og m i planen gÅlder at hvis l er vinkelret pÇ n , m er vinkelret pÇ p , og n er
vinkelret pÇ p , sÇ er l vinkelret pÇ m .
(3) Hvis n er normalvektor for linjen l , sÇ er n vinkelret pÇ l .
(4) Hvis n er normalvektor for linjen l , sÇ er n parallel med l .
(5) To linjer i planen er ortogonale netop nÇr deres normalvektorer er ortogonale.
(6) To linjer i planen er parallelle netop nÇr deres normalvektorer er parallelle.
3
(7) er normalvektor for linjen med ligningen 3x y
5
0 .
5
3
(8) er retningsvektor for linjen med ligningen 3x y
5
0 .
1
3
(9) er normalvektor for linjen med ligningen 3x y
5
0 .
1
1
(10) er retningsvektor for linjen med ligningen 3x y
5
0 .
3
x
0
8
(b) To linjer l og m er givet ved l : x 2y 0 og m :
t
.
y
1
4
UndersÑg om l og m er parallelle.
27.1 Évelse se 27e, 27b, 27d og 27f.
(a) Skriv sand eller falsk ved hver af fÑlgende pÇstande:
(1) Hvis r er parallel med linjen l , og n er vinkelret pÇ planen , sÇ er l parallel med
netop nÇr r er vinkelret pÇ n .
(2) Hvis r er parallel med linjen l , og n er vinkelret pÇ planen , sÇ er l parallel med
netop nÇr r er parallel med n .
(3) Hvis n er normalvektor for planen , sÇ er n parallel med .
(4) Hvis n er normalvektor for planen , sÇ er n vinkelret pÇ .
1
(5) 1
er vinkelret pÇ planen med ligningen x y
2z 6
0 .
2
(6) Hvis en plan skÅrer koordinatakserne i punkterne A ( 4,
0,
0)
, B( 0,
2,
0)
og C ( 0,
0,
1)
, sÇ er
AB AC en normalvektor til .
28.1 Évelse se 28a og 28c.
2
2
(a) Cirklen med ligningen ( x 2)
( y
1)
9 har centrum C( , ) og radius r = .
2
2
(b) Cirklen med ligningen ( x 4)
( y
5)
7 har centrum C( , ) og radius r = .
(c) Cirklen med ligningen
28.2 Évelse se 28e.
2
2
2
( x p)
( y
q)
4 har centrum C( , ) og radius r = .
Bestem centrum og radius for cirklen med ligningen
2
x
6x
y 8y
0
2
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet 35 2012 Karsten Juul

29.1 Évelse se 29a og 29b.
En kugle har centrum ( 2,
5,
3)
, og punktet ( 3,
7,
0)
ligger pÇ kuglen.
Skriv en ligning for kuglen.
30.1 Évelse se 30a.
Skriv sand eller falsk ved hver af fÑlgende pÇstande:
(1) Afstanden fra P( 3,
7)
23
7
3
til l: 2x y
3 er
22
( 1)
2
(2)
42
53
1
Afstanden fra Q( 2,
3)
til m: 4x 5y
1
0 er
22
32
.
(3) Afstanden fra R( 1,
2)
3
2
2
til n: 3x y
2
0 er
9
1
.
31.1 Évelse se 31a og 20a.
Planen har ligningen 2x 2y
z
d
0 hvor d er et negativt tal.
(a) Afstanden fra begyndelsespunktet O( 0,
0,
0)
til planen er 2 .
d .
(b) Afstanden fra P(t, 0,
0)
til planen : x y
z
0 er 3 .
t eller t .
32.1 Évelse se 32a, 32b og 32c.
Fire linjer er givet ved
x
a
c
x
e
g
l1:
s
, l2:
t
, l3: ix jy
k
0 , l4: lx my
n
0 .
y
b
d
y
f
h
(a) For at finde vinkel mellem l1 og l2 vil vi fÑrst finde vinklen v mellem og . De to vinkler som
l1 og l2 danner, er sÇ .
(b) For at finde vinkel mellem l3 og l4 vil vi fÑrst finde vinklen v mellem og . De to vinkler
som l3 og l4 danner, er sÇ .
(c) For at finde vinkel mellem l1 og l4 vil vi fÑrst finde vinklen v mellem og . De to vinkler
som l1 og l4 danner, er sÇ .
33.1 Évelse se 33a, 27b, 27d og 27f.
To planer og har ligningerne
: ax by
cz
d
0 og : ex fy
gz
h
0 .
En plan indeholder punkterne
linje.
A ( a1,
a2,
a3)
, B( b1,
b2,
b3
) og C( c1,
c2,
c3)
som ikke ligger pÇ
(a) For at finde vinkel mellem og vil vi fÑrst finde vinklen v mellem og . De to vinkler
som og danner, er sÇ .
33.1 fortsÄtter pÅ nÄste side!
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet 36 2012 Karsten Juul
.

(b) For at finde vinkel mellem og vil vi fÑrst finde vinklen v mellem vektoren og vektoren
. De to vinkler som og danner, er sÇ .
34.1 Évelse se 34a, 24a og 24b.
v er vinklen mellem sidefladerne ABD og BCD .
(a) Skriv sand eller falsk ved hver af fÑlgende pÇstande:
(1) Vektoren AB AD peger ind i vinklen.
(2) Vektoren BABD peger ind i vinklen.
(3) Vektoren BC BD peger ud af vinklen.
(4) Vektoren DC DB peger ud af vinklen.
(5) v er lig vinklen mellem AB AD og BC BD .
(6) v er lig vinklen mellem BABD og BC BD .
35.1 Évelse se 35a.
Denne Ñvelse drejer sig om en plan og to linjer:
x
a
d
x
g
: 4x 2y
z
0 , l : y
b
t
e
, m : y
t
h
.
z
c
f
z
i
(a) For at finde vinklen mellem og l vil vi fÑrst finde vinklen mellem og .
Hvis denne vinkel er 8 , sÇ er vinklen mellem og l lig .
(b) For at finde vinklen mellem og m vil vi fÑrst finde vinklen mellem og .
Hvis denne vinkel er 150 , sÇ er vinklen mellem og l lig .
36.1 Évelse se 36a.
x
3
1
(a) l:
s
y
8
4
Et vilkÇrligt punkt pÇ l er ( x , y)
( , ) .
x
9
12
(b) m:
t
y
0
7
Et vilkÇrligt punkt pÇ m er ( x , y)
( , ) .
C
A
x y
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet 37 2012 Karsten Juul
D
z
B

37.1 Évelse se 37a.
x
0
1
x
1
1
l :
s
, m :
t
.
y
1
2
y
6
1
Brug metoden fra 37a til at finde skÅringspunktet mellem linjerne l og m uden at bruge elektronisk
hjÅlpemiddel.
38.1 Évelse se 38a.
x
2
1
l :
t
y
0
2
2
, C : x y 2y
9
0 .
2
Brug metoden fra 38a til at finde de to skÅringspunkter mellem linjen l og cirklen C uden at bruge
elektronisk hjÅlpemiddel.
38.2 Évelse se 38b.
l : 3x y
1
0 , C : x ( y
1)
10
.
2
2
Brug metoden fra 38b til at finde de to skÅringspunkter mellem linjen l og cirklen C uden at bruge
elektronisk hjÅlpemiddel.
z
40.1 Évelse se 40a.
PÇ figuren er en skrÇ vÅg der indeholder
punkterne A, B og C .
En metalstang er fastgjort pÇ denne vÅg i
punktet F .
Metalstangen er ogsÇ fastgjort i punkterne
D og E Ñverst pÇ to lodrette stÅnger.
Skriv hvordan vi kan udregne koordinaterne
til F nÇr vi kender koordinaterne til A, B, C, D
og E.
B
x
42.1 Évelse se 42a.
Find projektionen af punktet P( 6,
4,
2)
pÇ planen : 2x z
0 .
43.1 Évelse
l : ax by
c
0 , C : ( x 5)
( y
3)
16
.
2
Vi indsÅtter bestemte tal for a, b og c sÇ linjen l er tangent til cirklen C .
2
a5
b3
c
Hvilket tal fÇr vi sÇ nÇr vi udregner
? Svar:
a2
b2
.
For at svare pÇ dette har vi brugt fÑlgende tre regler fra dette hÅfte: og og .
43.2 Évelse
En opgave drejer sig om en linje l og en cirkel C i planen. Ligningerne for l og C stÇr i opgaven.
(a) Disse to ligninger er et ligningssystem. Hvis vi lÑser ligningssystemet, hvordan kan vi sÇ se om l er
tangent til C ? Svar: .
(b) PÇ C 's ligning kan vi se centrums koordinater og radius. Hvis vi udregner afstanden fra centrum til l ,
hvordan kan vi sÇ se om l er tangent til C ?
Svar: .
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet 38 2012 Karsten Juul
A
F
C
D
E
y

44.1 Évelse se 44e.
: x y
z
1 0 er tangentplan til en kugle K med centrum O ( 0,
0,
0)
.
Find en ligning for K .
44.2 Évelse se 44d.
Punktet A( 1,
1,
1)
ligger pÇ en kugle K med centrum B ( 1,
0,
0)
.
Find en ligning for den plan som er tangentplan til K i A .
48.1 Évelse se 11a og 14b.
x
a
y
1
, b
2
(a)
a
b
(b) a c
(c) b c
(d)
( a
b)
c
(e)
ac
bc
3
og c
4
.
49.1 Évelse se 10b, 14b og 7b.
x
a
y
.
(a) a
3
(b)
( 3a)
a
(c) a
2
(d) a
2
(e) 3 a
(f) Hvilke af de 5 udtryk (a)-(e) er lig hinanden?
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet 39 2012 Karsten Juul

51.1 Évelse se 14b, 7b, 11a, 11c.
3
a
5
x
og b
y
(a)
.
ab
(b) a
2
(c) a
2
(d) b
(e) ab
(f) ab
a
2
(g) b
(h) Tegn vektoren a b
pÇ figuren til hÑjre.
(i) Hvis a er vinkelret pÇ b , sÇ fÑlger af
a
2
2
2 2
b ab
.
(j) Heri indsÅtter vi resultaterne fra (c), (d) og (g) og fÇr
2
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet 40 2012 Karsten Juul
at
.
(k) Vi trÅkker det samme fra begge sider i denne ligning og fÇr
0
.
(l) Vi dividerer begge sider med 2 og fÇr
0
dvs. ab
52.1 Évelse se 13b, 13c og 10d.
Tegn den vektor a
b
som er projektionen af a pÇ b .
tb
nÇr t .
a b
52.2 Évelse se 13b, 13c og 10d.
Tegn den vektor ba
som er projektionen af b pÇ a .
ta
nÇr t .
b a
52.3 Évelse se 11c, 48a, 15b og 49a.
Hvilke af fÑlgende 7 udtryk er lig hinanden?
(1) e d
(5) ( 2d
) d
f
d
(2) f
d
(6) 3d
2
(3) ( 2d
f ) d (7) 2 d
(4) 2d
f d
.
e
d
2
b
a
f
a
a
b
b

53.3 Évelse se 10d, 25j og 25k.
(a) Tegn vektoren PA .
(b) Skriv sand eller falsk ved hver af fÑlgende 10 pÇstande:
(1) A ligger pÇ l . (7) E ligger pÇ l .
(2)
(3)
PA er parallel med l .
Der findes et tal t sÇ PA
tr
.
(8)
(9)
PE er parallel med l .
Der findes et tal t sÇ PE
tr
.
(4) B ligger pÇ l . (10)
Der findes et tal t sÇ PP
tr
.
(5) PB er parallel med l . (11)
Der findes et tal t sÇ PC
tr
.
(6)
Der findes et tal t sÇ PB
tr
. (12) C ligger pÇ l .
(c) NÇr PD tr
, er t . (d)
NÇr PE
tr
, er t .
54.1 Évelse se 4c, 15b og 14b.
m
Figuren viser vektoren og nogle punkter.
n
(a) Tegn vektoren v fra punktet ( p, q)
punktet ( e , f ) .
til
(b) v
(c) Skriv sand eller falsk ved hver af fÑlgende
pÇstande:
m
a
p
(1)
0
n
bq
m
c
p
(2)
0
n
d
q
(3) m(
c
p)
n(
dq)
0
(4) m(
e
p)
n(
f
q)
0
m
g
p
(5)
0
n
hq
(d) Tegn tre nye punkter ( x, y)
hvor m(
x
p)
n(
yq)
0
56.1 Évelse se 4c og 7b.
PÇ figuren er en cirkel med radius 10.
(a) Tegn vektoren CB .
(b) CB
(c) CB
2
(d) ( x x ) ( y y ) .
1
0
2
(e) ( x x ) ( y y ) .
1
0
1
1
0
0
2
2
(f) Tegn tre nye punkter ( x, y)
hvor ( x x ) ( y
y ) 100 .
E
0
2
P
( a,
b)
( g , h)
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet 41 2012 Karsten Juul
r
0
D
2
m
n
A
( c,
d )
( p,
q)
10
B
( 0, 0)
y x C
C
l
( 1, 1)
y x A
( e,
f
)
( 2, 2)
y x B

A
afstand ............................................................5, 15
afstand fra punkt til linje i planen.......................15
afstand fra punkt til plan.....................................15
afstand mellem punkter ........................................5
afsÅtte vektor ud fra punkt ...............................4, 5
areal ..............................................................10, 11
areal af firkant...............................................10, 12
areal af firkant i rummet .....................................12
areal af parallelogram...................................10, 11
areal af parallelogram i planen ...........................10
areal af parallelogram i rummet..........................11
areal af trekant ..............................................10, 12
areal af trekant i planen ......................................10
areal af trekant i rummet.....................................12
B
begyndelsespunkt .................................................3
beviser ................................................................19
D
determinant.........................................................10
E
endepunkt for vektor.............................................4
F
formler................................................................19
G
gange, krydsprodukt .....................................11, 12
gange, prikprodukt............................................8, 9
gange, tal og vektor ..............................................7
gange, vektorprodukt..........................................11
H
hÑjrehÇndsregel...................................................12
K
koordinater til punkt i planen................................3
koordinater til punkt i rummet..............................3
koordinater til vektors endepunkt.........................5
koordinatgeometri...............................................12
koordinatsystem i planen......................................3
koordinatsystem i rummet ....................................3
koordinatsÅt for vektor.........................................4
koordinatsÅt til punkt ...........................................3
krydsprodukt.................................................11, 12
L
ligning for cirkel...........................................14, 23
ligning for kugle ...........................................15, 23
ligning for linje.............................................13, 22
ligning for plan .......................................13, 14, 23
lÅngde af projektion af vektor..............................9
lÅngde af vektor ...................................................5
M
minus, vektorer.....................................................8
modsat vektor .......................................................6
N
normalvektor...............................13, 14, 15, 16, 22
normalvektor for linje...................................13, 22
normalvektor for plan ........................................ 14
nulvektor.........................................................5, 21
numerisk vÅrdi .................................................. 10
P
parallel ..........................................................10, 11
parallel i planen.................................................. 10
parallel i rummet................................................ 11
parameterfremstilling for linje................12, 13, 22
plus, vektorer ....................................................... 7
prikke ind i en parentes...................................... 20
prikke med nulvektor......................................... 21
prikprodukt ...................................................... 8, 9
projektion........................................8, 9, 17, 18, 21
projektion af punkt pÇ linje.............................8, 17
projektion af punkt pÇ plan .............................8, 18
projektion af vektor pÇ vektor.....................8, 9, 21
R
retningsvektor .........................................12, 15, 16
rÑringspunkt....................................................... 18
rÑringspunkt pÇ cirkel ........................................ 18
rÑringspunkt pÇ kugle ........................................ 18
S
skalarprodukt ....................................................... 8
skÅring..........................................................16, 17
skÅring mellem linje og cirkel........................... 17
skÅring mellem linje og kugle........................... 17
skÅring mellem linje og plan............................. 17
skÅring mellem to linjer ...............................16, 17
startpunkt for vektor ............................................ 4
T
tal gange vektor.................................................... 7
tangent................................................................ 18
tangent til cirkel ................................................. 18
tangentplan....................................................18, 19
tvÅrvektor............................................................ 6
V
vektor ................................................................... 4
vektor gange tal.................................................... 7
vektor minus vektor ............................................. 8
vektor plus vektor ................................................ 7
vektorprodukt..................................................... 11
vektors endepunkt................................................ 4
vektors endepunkt, koordinater............................ 5
vektors koordinatsÅt............................................ 4
vektors lÅngde..................................................... 5
vektors startpunkt................................................. 4
vilkÇrligt punkt pÇ linje...................................... 16
vinkel ........................................................9, 15, 16
vinkel mellem linje og plan ............................... 16
vinkel mellem linjer........................................... 15
vinkel mellem planer ......................................... 16
vinkel mellem sideflader.................................... 16
vinkel mellem vektorer ........................................ 9
vinkelret ....................................................9, 12, 21