Forelæsning A5 i matematik, torsdag 14/9 2006
Forelæsning A5 i matematik, torsdag 14/9 2006
Forelæsning A5 i matematik, torsdag 14/9 2006
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
MD <strong>Forelæsning</strong> <strong>A5</strong> <strong>14</strong>/9/<strong>2006</strong><br />
Oversigt<br />
Anvendelse af funktionsundersøgelse til analyse af matematiske modeller<br />
• Anvendelseseksempel A.20: Høstudbytte<br />
Miniprojekt A<br />
• Praktiske oplysninger<br />
• Udlevering af Miniprojekt A<br />
1<br />
Anvendelseseksempel A.20: Høstudbytte<br />
Udgangspunkt NPK-gødning . . . afgrøden vokser mere hvis der gødes . . . hvad er<br />
salgsprisen? . . . hvad koster gødningen? . . . hvordan bliver vejret mon? . . . hvordan er<br />
jordbunden? . . . hvor meget skal vi gøde?<br />
Afgrænsning Hvad skal med?<br />
Præcisering Hvordan kan situationen beskrives?<br />
Simplificerende antagelse Høstudbyttet afhænger udelukkende af gødningsmængden<br />
2<br />
Anvendelseseksempel A.20: Høstudbytte (fortsat)<br />
Udbyttet som funktion af gødningsmængden<br />
Konkret model for udbyttet U(t) =<br />
Generelt om udbyttefunktioner<br />
Problemformulering<br />
U(t): Udbyttefunktion i tons pr. ha<br />
t: Gødningsmængde i tons pr. ha<br />
20 t<br />
+ 10<br />
t + 1<br />
Karakteristika Fortolkning<br />
U(0) ugødet udbytte<br />
limt→∞ U(t) asymptotisk udbytte<br />
limt→∞ U(t) − U(0) asymptotisk merudbytte<br />
U ′ (t) marginalt merudbytte<br />
U ′ (t) > 0 voksende udbytte<br />
U ′′ (t) < 0 aftagende effekt<br />
3<br />
Anvendelseseksempel A.20: Høstudbytte (fortsat)<br />
Matematisk modellering af fortjenesten<br />
• Vi kender salgsprisen på udbyttet: 4000 kr. pr. tons<br />
• Vi kender prisen på gødningen: 5000 kr. pr. tons<br />
• Vi antager sammenhængen<br />
20 t<br />
U(t) = + 10<br />
t + 1<br />
mellem gødningsmængde og høstudbytte<br />
• Formål Bestemme hvor meget gødning vi skal bruge for at tjene mest muligt.<br />
4
Anvendelseseksempel A.20: Høstudbytte (fortsat)<br />
Matematisk beskrivelse og analyse af modellen<br />
Størst fortjeneste ↔ maksimum for F(t).<br />
Redskab: funktionsundersøgelse.<br />
Resultat<br />
Fortjeneste = Indtægt − udGift<br />
<br />
20 t<br />
I (t) = 4000 · U(t) = 4000 + 10<br />
t + 1<br />
G(t) = 5000 · t<br />
<br />
20 t<br />
F(t) = 4000 + 10 − 5000 t<br />
t + 1<br />
Fmax = F(3) = 85000<br />
Fortolkning af resultatet 3 tons gødning pr. ha. Fortjeneste: 85000 kr. pr. ha.<br />
5<br />
Anvendelseseksempel A.20: Høstudbytte (fortsat)<br />
Spørgsmål Hvordan afhænger det optimale gødningsniveau af prisen på gødning?<br />
Prisen på gødning p (kr. pr. tons)<br />
Fortjeneste<br />
Resultat F(t) har maksimum i<br />
<br />
20 t<br />
F(t) = 4000 + 10 − pt<br />
t + 1<br />
topt =<br />
Fortolkning Hvor meget skal vi så gøde?<br />
<br />
80000<br />
− 1<br />
p<br />
6<br />
Generel model for fortjenesten<br />
Anvendelseseksempel A.20: Høstudbytte (fortsat)<br />
U(t): Udbyttefunktion i tons pr. ha<br />
t: Gødningsmængde i tons pr. ha<br />
q: Salgspris pr. tons udbytte<br />
p: Pris pr. tons gødning<br />
Fortjenestefunktion F(t) = qU(t) − pt<br />
Optimalt gødningsniveau topt:<br />
F ′ (topt) = 0 dvs. U ′ (topt) = p<br />
q<br />
Egenskaber som kan aflæses af ligningen U ′ (topt) = p<br />
q<br />
• Større værdi af p ⇒ mindre værdi af topt<br />
• Større værdi af q ⇒ større værdi af topt<br />
7<br />
(da U ′ (t) er aftagende):
Change language