Maple: Simplifikation af udtryk og løsning af ligninger

Kontrol af løsningen til differentialligningen
Vi kan verificere at den fundne løsning opfylder ligningen direkte ved at bruge eval:
> eval(lign,løs);
{0 = 0}
For at kontrollere at begyndelsesbetingelserne er overholdt er vi dog nødt til at lave løsningen om til en funktion:
> eval(y(t),løs);
> y1:=unapply(%,t);
> eval(bb,y=y1);
Vi kan også kontrollere at y1 opfylder ligningen:
> eval(lign,y=y1);
−5 sin(2 t) + 3 cos(2 t)
y1 := t → −5 sin(2 t) + 3 cos(2 t)
{10 = 10, 3 = 3}
{0 = 0}
Databehandling 2005 KVL Side 19-21
Eksempel
Opgave 5 fra eksamen i Matematisk Grundkursus December 1998:
Givet den lineære 1. ordens differentialligning
dy
dx + (2a − 6)y = 18eax . (L)
hvor a ∈ R er en konstant.
(1) Sæt a = 1 og bestem derefter den løsning y = ϕ(x) til (L) der er fastlagt ved begyndelsesbetingelsen
ϕ(0) = 7.
(2) Find den værdi af a for hvilken (L) tilfredsstilles af funktionen y = 2e 5x . Løs derefter, med den fundne værdi
af a indsat, ligningen (L) fuldstændigt.
(3) [Vanskeligt spørgsmål.] Løs (L) fuldstændigt for vilkårlig a ∈ R. Løsningen skal angives i form af en ligning for
y udtrykt ved x og a samt en arbitrær konstant c. Det bemærkes, at løsningen kan afprøves for de værdier af a,
der optrædte i (1) og (2), men denne afprøvning ønskes ikke anført i besvarelsen.
Databehandling 2005 KVL Side 19-22
Løsning af (1) i Maple
> restart;
> lign:=diff(y(x),x)+(2*a-6)*y(x)=18*exp(a*x);
lign := ( d
dx y(x)) + (2 a − 6) y(x) = 18 e(a
x)
> dsolve({eval(lign,a=1),y(0)=7},{y(x)});
Kontrol af løsningen:
> eval(lign,{a=1,%});
y(x) = −6 ex + 13 e (4 x)
18 e x = 18 e x
Databehandling 2005 KVL Side 19-23
Løsning af (2) i Maple
For at finde den ønskede værdi af a er vi nødt til at løse en ligning der skal gælde for alle x. Dette gøres med
solve sammen med den specielle funktion identity (se Maple noterne):
> solve(identity(eval(lign,y(x)=2*exp(5*x)),x),a);
Herfra er resten stort set en gentagelse af (1) bare uden begyndelsesbetingelse:
> dsolve(eval(lign,a=5),y(x));
Kontrol af løsningen:
> eval(lign,{a=5,%});
> simplify(%);
5
y(x) = (2 e (9 x) + _C1) e (−4 x)
18 e (−4 x) e (9 x) = 18 e (5 x)
18 e (5 x) = 18 e (5 x)
Databehandling 2005 KVL Side 19-24