Maple: Simplifikation af udtryk og løsning af ligninger

More documents

Recommendations

Info

Løsning af ligninger fortsat Hvis en ligning er et polynomuim og har flere løsninger giver solve resultatet som en sekvens af løsninger: > lign:=x^2-13*x+40=0; > løs:=solve(lign,{x}); lign := x 2 − 13 x + 40 = 0 løs := {x = 5}, {x = 8} Man må så indeksere sig frem til den enkelte løsning hvis man for eksempel ønsker at kontrollere dem med eval: > eval(lign,løs[1]), eval(lign,løs[2]); 0 = 0, 0 = 0 Databehandling 2005 KVL Side 19-13 Løsning af ligningssystemer Med solve kan man også løse ligningssystemer. Man angiver systemet som en mængde af ligninger: > lign:={x+y=5,x-y=1}; lign := {x + y = 5, x − y = 1} > løs:=solve(lign,{x,y}); løs := {y = 2, x = 3} Man kan igen anvede eval for at kontrollere sin løsning: > eval(lign,løs); {1 = 1, 5 = 5} Man kan også nemt anvende eval for at få den enkelte ukendte: > eval(x,løs); 3 Man kan medtage uligheder i den mængde af ligninger der skal løses: > solve({x^2=4,x>0},{x}); {x = 2} Man kan også løse systemer bestående alene af uligheder (se noterne). Databehandling 2005 KVL Side 19-14 Løsninger med RootOf Nogle gange giver solve en del af løsningsmængden som funktionen RootOf anvendt på et udtryk indeholdende et automatisk genereret variabelnavn. RootOf betyder at løsningerne til det oprindelige problem er rødder i det angivne udtryk (som Maple ikke kan finde rødderne til algebraisk). Faktisk foretrækker Maple også at give løsninger til fjerdegradsligninger der ikke har heltalsløsninger i form af en RootOf-løsning. Dette er fordi løsningerne generelt er så komplicerede at de er meget vanskelige at læse. Tag for eksempel denne fjerdegradsligning: > lign:=x^4-3*x+5; > løs:=solve(lign,{x}); lign := x 4 − 3 x + 5 løs := {x = RootOf(_Z 4 − 3 _Z + 5, index = 1)}, {x = RootOf(_Z 4 − 3 _Z + 5, index = 2)}, {x = RootOf(_Z 4 − 3 _Z + 5, index = 3)}, {x = RootOf(_Z 4 − 3 _Z + 5, index = 4)} Databehandling 2005 KVL Side 19-15 “Udpakning” af en RootOf løsning Hvis man tager allvalues til en RootOf løsning får man den algebraiske løsing, hvis den findes, ellers får man bare samme RootOf løsning igen. For fjerdegradsligningen fra før er udtrykkene så indviklede at der ikke er plads til bare en enkelt løsning på denne transparent. Man kan med fordel gå direkte til numeriske løsninger ved at anvende evalf: > evalf(løs); {x = 1.081909857 − .6908765240 I }, {x = 1.081909857 + .6908765240 I }, {x = −1.081909857 + 1.365191381 I }, {x = −1.081909857 − 1.365191381 I } For visse RootOf udtryk (med periodiske funktioner) kan Maple gå i en uendelig løkke hvis man beder om en allvalues løsning. Man kan dog altid bruge “stop” knappen til at afbryde beregningen. Databehandling 2005 KVL Side 19-16
solve’s begrænsninger Når solve ikke kan finde en løsning giver den et tomt svar: > solve({x^2=4,x>10},{x}); Nogle gange finder solve desværre heller ikke alle løsninger, specielt ikke hvis trigonometriske funktioner er involveret. Nedenstående ligning har for eksempel seks løsninger hvoraf solve kun finder en enkelt RootOf løsning: > solve(sin(x)+x^2/100=0,{x}); > evalf(%); {x = RootOf(100 sin(_Z) + _Z 2 , label = _L1046)} {x = 0.} Databehandling 2005 KVL Side 19-17 Numerisk løsning af ligninger Når man ikke kan finde løsninger algebraisk kan man forsøge sig numerisk. Funktionen fsolve forsøger numerisk at finde en enkelt løsning til en ligning (dog alle løsninger hvis der er tale om et polynomium). > fsolve(sin(x)+x^2/100=0,{x}); {x = 0.} Som standard leder fsolve kun efter reelle løsninger. Hvis man vil have komplekse løsninger må man eksplicit bede om det: > lign:=2*x^6-9*x^5+4*x^4-18*x^3-8*x+36=0; lign := 2 x 6 − 9 x 5 + 4 x 4 − 18 x 3 − 8 x + 36 = 0 > fsolve(lign,{x}); {x = 1.080814100}, {x = 4.500000000} > løs:=fsolve(lign,{x},complex); løs := {x = −.8052581887 − .8818333295 I }, {x = −.8052581887 + .8818333295 I }, {x = .2648511385 − 1.589036316 I }, {x = .2648511385 + 1.589036316 I }, {x = 1.080814100}, {x = 4.500000000} Databehandling 2005 KVL Side 19-18 Mere om fsolve Det er ikke alle numeriske løsninger der er lige præcise: > eval(lign,løs[1]); eval(lign,løs[3]); 0 = 0 .4 10 −7 − .2 10 −7 I = 0 Det samme gør sig gældende med løsninger fundet med evalf-ekspansion af en RootOf-løsning. Selv om fsolve kun giver en enkelt løsning for ikke-polynomier er der flere muligheder for sucessivt at finde flere løsninger; det er beskrevet i noterne. Databehandling 2005 KVL Side 19-19 Løsning af differentialligninger En ordinær differentialligning løses med funktionen dsolve. Hvis man bare giver en ligning uden begyndelsesbetingelser får man den fuldstændige løsning: > lign:={diff(y(t),t,t)+4*y(t)=0}; > dsolve(lign,{y(t)}); Maple generere automatisk de nødvendige konstanter. lign := {( d2 dt 2 y(t)) + 4 y(t) = 0} y(t) = _C1 sin(2 t) + _C2 cos(2 t) For at få en partikulær løsning kan vi tilføje begyndelsesbetingelser: > bb:={y(0)=3,D(y)(Pi/2)=10}; bb := {y(0) = 3, D(y)( 1 π) = 10} 2 > løs:=dsolve(lign union bb,{y(t)}); løs := y(t) = −5 sin(2 t) + 3 cos(2 t) Databehandling 2005 KVL Side 19-20
Page 1 and 2: Databehandling 2005 Forelæsning 19
Page 3: Manipulation af polynomier med coll
Page 7: Løsning af (3) i Maple > dsolve(li

Maple: Simplifikation af udtryk og løsning af ligninger

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?