Vækstmodeller - KennethHansen.net

Vi kan præcisere dette i følgende sætning:
Sætning 2
Betragt linien med ligningen y = ax + b
Tilvæksten i y-koordinaten ved en tilvækst på 1 for xkoordinaten
er hældningskoefficienten a.
Bevis:
Betragt figuren nederst på forrige side.
Vi lader punktet A have koordinaterne ( x0, y0
) og da A ligger på linien, så er
A´s y-koordinat lig
y0 = a ⋅ x0 + b.
Punktet B har x-koordinaterne ( x , y )
x1 = x0
+ 1,
og da B også ligger på linien, så er B's y-koordinat lig:
y = a⋅ ( x + 1)
+ b = y + a.
1 0 0
5
1 1 . Vi gik 1 x-aksen fra x 0 , så
Det ses, at forskellen mellem de to y-koordinater netop er a:
y1 − y0 = y0 + a − y0 = a
Man er ofte i den situation, at man kender koordinaterne til to punkter på en linie,
og at man skal finde ligningen for linien. Hertil kan benyttes formlen:
Sætning 3
Lad punkterne ( x0 , y0 ) og ( x1, y1)
ligge på linien med
ligningen y = ax + b,
og antag, at x0 ≠ x1.
Da gælder:
y1 − y0
a =
x − x
Bevis:
Idet begge punkterne ligger på linien, så må der gælde, at
y = ax + b og y = ax + b
1 1 0 0
Vi manipulerer videre med disse to ligninger og starter med at trække dem
fra hinanden. Vi får så
y − y = ( ax + b) − ( ax + b) = ax + b − ax + b = ax −ax
⇓
1 0
1 0 1 0 1 0 1 0