Vækstmodeller - KennethHansen.net

1. Indledning
I rapporten Pendulets svingningstid undersøgte vi sammenhængen mellem
pendulets svingningstid T og pendullængden l. Vi opdagede, at hvis vi lavede en
( l, T )
2 -graf, så lå målepunkterne på en ret linie - vi havde altså en lineær
sammenhæng mellem l og T 2 .
I dette hæfte skal vi undersøge tre typer af sammenhænge: Lineære, eksponentielle
og potentielle. Vi vil dog ikke bruge ordet 'sammenhæng', men i stedet udvikling.
Dette hænger sammen med, at især eksponentielle udviklinger er gode til at
beskrive vækstfænomener. Således vokser Jordens befolkning, antallet af bakterier
i en romkugle og penge på en bankbog alle eksponentielt.
En matematiker udtrykker ofte sammenhænge som funktioner. En funktion er groft
sagt en regneforskrift, en maskine, hvori man putter en x-værdi, hvorefter maskinen
spytter en y-værdi ud.
Funktioner betegnes ofte som f ( x)
, g( x)
eller h( x)
.
Eksempler på funktioner er
f ( x) = 2x − 3 g( x) = x
2 h( x) = x .
Man kan tegne grafen for en funktion i et koordinatsystem. Dette går ud på, at man
udregner en hel masse funktionsværdier, plotter de opnåede punkter ind i et
koordinatsystem, og forbinder punkterne med en blød kurve.
Ofte holder man rede på funktionsværdierne i et sildeben. Dette er en tabel, hvor xværdierne
står øverst og y-værdierne (eller funktionsværdierne) nederst. Et
sildeben for funktionen f fra før kunne være:
x -3 -2 -1 0 1 1,5 2 3 4
f x
( ) -9 -7 -5 -3 -1 0 1 3 5
Lige en afsluttende bemærkning om matematik.
Matematik er, som tidligere nævnt, ikke en naturvidenskab. Men alligevel er der
visse ligheder mellem matematik og naturvidenskaberne. En hypotese hedder
indenfor matematik en sætning, og i stedet for et eksperiment lader vi et bevis
afgøre sætningens rigtighed. De fleste beviser er udledninger af forskellige
formler.
Opgaver
1.1 Lav sildeben og tegn graferne for funktionerne f, g og h fra før.
2