Vækstmodeller - KennethHansen.net

Vi kan også komme ud for situationer, hvor en størrelse aftager med en fast
procentdel:
Eksempel
Arbejdsløsheden i Pladderballe Amt aftager med 2% om året. I 1995 er
arbejdsløsheden på 20000 mennesker. Hvor stor er den i år 2020.
Igen lader vi x være antal år efter startåret - hér 1995, og f ( x)
antal
arbejdsløse i år x.
Begyndelsesværdien er b = 20000.
Væksten (eller 'rentefoden') er negativ, r = − 2% = −0,
02 , så
fremskrivningsfaktoren er a = 1+ r = 1− 2% = 1− 0, 02 = 0, 98 .
Forskriften bliver derfor f ( x)
= 20000⋅ 0, 98 .
År 2020 svarer til x = 2020 − 1995 = 25 , og derfor er der
25
f ( 25) = 20000 ⋅ 0, 98 = 12069
arbejdsløse i år 2020.
Generelt gælder, at hvis fremskrivningsfaktoren a > 1, så vokser funktionen, men
hvis a < 1, så aftager funktionen.
Ligesom i det lineære tilfælde er man ofte ude for, at man kender to punkter på
grafen for en eksponentiel udvikling, og ud fra disse skal man finde forskriften, jvf.
sætningerne 3 og 4. Her kan man bruge følgende sætning:
Sætning 8
Lad f x b a x
( ) = ⋅ være en eksponentiel udvikling, med
Da gælder, at
Beviset for denne sætning udelades.
f ( x ) = y og f ( x ) = y
a
1 1
y
23
x
2 2
= x x
y
− 2
2 1 og b
1
a x
= 1
1
y