Vækstmodeller - KennethHansen.net

6. Eksponentiel udvikling
Renteformlen (sætning 6) er et udmærket eksempel på en eksponentiel udvikling:
Definition 7
Bemærk sammenhængen mellem renteformlen og forskriften for den
eksponentielle udvikling:
n
k = k ⋅ ( + r)
og f x b a x
( ) = ⋅ .
n
En eksponentiel udvikling er en funktion med forskriften
0 1
f x b a x
( ) = ⋅
a kaldes grundtallet eller fremskrivningsfaktoren.
b kaldes begyndelsesværdien.
r = a − 1 kaldes vækstraten.
antallet af terminer n svarer til den uafhængige variabel x
kapitalen efter n terminer svarer til funktionsværdien f ( x)
fremskrivningsfaktoren 1+ r svarer til fremskrivningsfaktoren a
startkapitalen k0 svarer til begyndelsesværdien b
rentefoden r svarer til vækstraten r
Men eksponentielle udviklinger kan også bruges til meget andet. Generelt gælder,
at i situationer, hvor en størrelse vokser med en fast procentdel, så er der tale om
en eksponentiel udvikling.
Eksempel
Jordens befolkning vokser med 1,8% om året. I 1984 var der 4,7 milliarder
mennesker på Jorden. Hvor mange vil der være i år 2020?
Her har vi en eksponentiel udvikling. Begyndelsesværdien er 4,7
(milliarder), og fremskrivningsfaktoren er a = 1+ 18% , = 1018 , .
Lader vi x betegne antal år efter 1984, og f ( x)
befolkningstallet (i
milliarder) i år x, så har vi f ( x)
= 4, 7⋅1, 018
År 2020 svarer til x = 2020− 1984 = 36, og
36
f ( 36) = 4, 7⋅ 1, 018 = 8, 9
Der er derfor 8,9 milliarder mennesker på Jorden i 2020.
22
x