Mathcad - Matricer

Architectural Engineering
Undervisningsnotat
Matricer

Definition
En matrix er en ordnet mængde tal opstillet i m rækker og n søjler.
Matricen A kunne være defineret som vist nedenfor. Hvert element i matricen er forsynet
med et index, der angiver rækkernummer og søjlenummer. Det første element, der står i
række 1 og søjle 1 er derfor benævnt: a11. Når antallet af søjler og rækker er ens, er
matricen kvadratisk.
a11
a12a13 . . . a1n
a
21 a22 a23 . . . a2n
. .
A . .
. .
. .
am1
am2 am3 . . . amn
En kvadratisk matrix, der kun har elementer forskellig fra 0 i diagonalen, hedder en
diagonalmatrix: A =
2
0
0
0
5
0
0
0
4
En enheds matrix er en diagonal matrix, hvor alle elementer på diagonalen er lig med 1:
I =
1
0
0
0
1
0
0
0
1
2 of 16

Regneregler
Matricer kan lægges sammen, trækkes fra hinanden og ganges med hinanden.
Adition kan lade sig gøre, hvis 2 matricer har det samme antal rækker og søjler.
Elementerne lægges sammen hvert for sig. Eksempel:
5 8 6 6 5 3
A 9 7 4
B 2 1 2 C AB C
5 12 3
6 5 4
Subtraktion foregår helt på samme måde.
11
11
11
Multiplikation er lidt mere omstændigt. Dette kan kun lade sig gøre, hvis antallet af
søjler i den første matrix er lig med antallet af rækker i den anden matrix.
Multiplikationen foregår på følgende måde:
a11
A1 = a21
a12
a22
a13
a23
b11
B1 = b21
b12
b22
b13
b23 C1 = A1B1
a31 a32 a
33
b31 b32 b
33
C1 =
a11b11 a12b21 a13b31
a21b11 a22b21 a23b31
a31b11 a32b21 a33b31 a 11
a11b12 a12b22 a13b32 a21b12 a22b22 a23b32 a31b12 a32b22 a33b32 13
8
17
9
6
7
a11b13 a12b23 a13b33 a12
b11 b12 b13
A2 = a21 a22 B2 =
C2 = A2B2
a31 a
b21 b22 b23
32
3 of 16
a21b13 a22b23 a23b33
a31b13 a32b23 a33b
33

A2 B2 og B2 A2 er således begge definerede, da antallet af søjler i den første er lig
antallet af rækker i den anden.
a11
a21
a 31
b 11
b21
a12
a22
a 32
b 12
b22
b 13
b23
b 11
b21
b 12
b22
a11
a21
a 31
b 13
b23
a12
a22
a 32
a11b11 a12b21 a11b12 a12b22 a11b13 a12b23 a21b11 a22b21 a21b12 a22b22 a21b13 a22b23
a32b21 a31 b 11
a32b22 a31 b 12
a32b
23
a31 b 13
a11b11 a21b12 a31b13 a12b11 a22b12 a32b13
a11b21 a21b22 a31b23 a12b21 a22b22 a32b23 Som det ses, er de 2 resultater ikke ens, og der gælder derfor, at faktorernes orden ikke
er ligegyldig, når det handler om matricer.
Taleksempel:
5 6
A2 8 9
B2
75 6
A2B2 2
8
3
5
6
4
58 45 54
88 69 84 B2A2
198 255 474
484
380
5 6 9 85
Et andet taleksempel: A3 og B3
2 13 5 6
75
117
.
Hverken A3 B3 eller B3 A3 er defineret, da antallet af søjler i den første er 4 og antallet
af rækker i den anden er 2.
4 of 16
1
1
2
2
3
35
2
2

Determinanter
Determinanten for en matrix er en talværdi.
b11 b12 b13
2
a11 a12
9
A1 = B1 = b21 b22 b23 C1
a21 a22
4
b31 b32 b33
45
2 3
A1
B1
4 1
5
8
5
6
2
11
9
3
9
3
7
5
5
6
2
8
2
8
8
22
3
Determinanten for A1: A1 = a11a22 a21a12 21 34 10
Determinanten for en 2 x 2 matrix kan beskrives som et areal:
Determinanten for B1:
B1 =
b11
b 21
b 31
b12
b 22
b 32
B1 = b11b22b33 b12b23b31 b13b21b32 b31b22b13 b32b23b11 b33b21b12 b13
b 23
b 33
52 9 63 5
98 11
52 9
113 5 98 6
285
Hvor determinanten for en 2 x 2 matrix kunne beskrives som et areal. kan determinnanten
for en 3 x 3 matrix beskrives som et rumfang på tilsvarende vis.
5 of 16

Determinanten for C1 er noget mere omstændig at regne ud, og ingen ved deres fulde fem
ville i dag gøre det ved håndkraft.
C1
2
9
4
45
3
7
5
5
6
2
8
2
8
8
22
3
Determinanter kan også udregnes eksempelvist i MathCAD:
A1 10
B1 285 C1 1.46 10 4
Determinanten for en matrix er 0 hvis den indeholder en 0 række eller 0 søjle.
Hvis 2 rækker eller søjler er ens, er determinanten også 0.
Se noter fra Aarhus Universitet om determinanter
6 of 16

Lineære ligningssystemer
a11 x
a21 x
a31 x
a12y a13z = c1
a22y a23z = c2
a32y a33z = c3
Lineære ligningssystemer kan løses ved hjælp af matricer. Ligningssystemet ovenfor kan
skrives som:
Axyz = C
a 11
a21
a31
a 12
a22
a32
a 13
a23
a33
x
y
z
=
c1
c2
c3
Dette kan man overbevise sig selv om ud fra reglerne for multiplikation af matricer.
xyz kan da findes ved at gange med A's inverse matrix på begge sider:
A 1 Axyz A 1 = C
A 1 A = I Ixyz = xyz ⇒ xyz A 1 = C
Dette kræver så, at man kan finde den inverse til A.
Inverse matrix:
Den inverse matrix til A er defineret ved: AA 1
= I ( Enhedsmatricen)
2 x 2 matrix:
a 11
a 12
A =
A
a21 a22 1
=
A 1
Generelt gælder at A 1 =
=
a 22
1
a11a22 a12a22 a21
1
A adjAT
7 of 16
a12
a 11
1
A
a 22
a21
a12
a 11

3 x 3 matrix:
A =
a11
a21
a31
a 12
a22
a32
a 13
a23
a33
Elementerne i adjA findes på følgende måde:
- adj A har samme størrelse som A
- Tallet på plads 1,1 findes ved at stryge den række og søjle, som plads 1,1 står i.
- Herefter tages determinanten af det, der bliver tilbage. Her en 2 x 2 matrix.
i j
- Hvert element opløftes til ( 1)
, hvor i og j er nummeret på rækken og søjlen.
Dette betyder, at hvert andet led bliver negativt.
- Når alle pladser er fyldt ud, transponeres matricen.
Hvilket betyder, at der byttes om på rækker og søjler: A T .
- Til sidst divideres med determinanten til A
- Heraf følger, at hvis determinanten er 0, har matricen ikke en invers matrix.
- Matricen siges da at være singulær.
A 1
=
1
A
a22
a32
a 12
a 32
a12
a22
a23
a33
a 13
a 33
a13
a23
a21
a31
a11 a31
a11
a21
a23
a33
a13 a33 a13
a23
8 of 16
a21
a31
a 11
a 31
a11
a21
a22
a32
a 12
a 32
a12
a22
T

Eksempel: a11 1 a12 2 a13 5 a21 4 a22 5 a23 6
A 1 =
1
A
a31 7 a32 8 a33 9
a 12
a 13
a11
A a21 a22 a23
A
a31 a32 a33
Kontrol i MathCAD:
a 22
a32
a12
a 32
a 12
a22
a 23
a33
a13
a 33
a13
a23
a 21
a31
a11 a31
a11
a21
a 23
a33
a13
a33 a13
a23
9 of 16
a21
a31
a11
a 31
a 11
a21
1
4
7
a 22
a32
a12
a 32
a12
a22
2
5
8
5
6
9
T
A 1
0.5
1
0.5
0.5
1
0.5
3.67
4.33
1
3.67
4.33
1
2.17
2.33
0.5
2.17
2.33
0.5

Reduktion af lineære ligningssystemer
a 12
a 13
a11
x1
A = a21 a22 a23
x = 0
B =
a31 a32 a33
D
Ax = B x1 og x2 er ubekendte mens D er en kendt størrelse.
Da anden række i x er 0, vil resultatet i A·x derfor være o i anden række. Så kan vi ligeså
godt undvære denne række. Når vi fjerner en række, kan vi fjerne den tilsvarende søjle.
Række- og søjle nummer 2 fjernes fra A
Vi danner derfor et modificeret system: Amodxmod = Bmod
A mod
a 11
a 13
x1
= xmod = Bmod =
a31 a33 D
1
Amodxmod = Bmod ⇒ xmod = Amod
Bmod
Herved findes x1 (og D). Disse kan nu indsættes i den oprindelige ligning:
a 11
a21
a31
a 12
a22
a32
a 13
a23
a33
ubekendte nu er fundet.
b 11
b 13
b11
x2
b13
x1 b11
0
= x2
og herefter kan x2 findes, så begge
D
b13
10 of 16

Løsning af lineære ligningssystemer
A
u A
rA
RA
MA
B
L1 L2
u B
rB
RB
MB
u betegner en deformation, r betegner en vinkeldrejning, R betegner en lodret kraft,
mens M betegner et moment.
For en bjælke gælder følgende ligning: Ku = U.
Dette tages som et postulat på
nuværende tidspunkt. K matricen tages også blot som givet på nuværende tidspunkt.
12
L
K EI 3
6
L 2
12
L 3
6
L 2
=
0
0
6
L 2
4
L
6
L 2
2
L
0
0
12
L 3
6
L 2
24
L 3
0
12
L 3
6
L 2
6
L 2
2
L
0
8
L
6
L 2
2
L
0
0
12
L 3
6
L 2
12
L 3
6
L 2
0
0
6
L 2
2
L
6
L 2
4
L
11 of 16
F
C
u C
rC
RC
MC
0
0
0
u = r2
U =
u3
r3
R A
MA
RB
0
F
0

Vi har altså et ligningssystem bestående af 6 ligninger med 6 ubekendte. Såfremt
understøtningsforholdene ændrer sig, vil antallet af ubekendt stadig være 6 og kun 6.
Se opgaven på sidste side.
Ku = U
EI
12
L 3
6
L 2
12
L 3
6
L 2
0
0
6
L 2
4
L
6
L 2
2
L
0
0
12
L 3
6
L 2
24
L 3
0
12
L 3
6
L 2
6
L 2
2
L
De kendte værderi i ligningen er L, I, E, F.
0
8
L
6
L 2
2
L
0
0
12
L 3
6
L 2
12
L 3
6
L 2
0
0
6
L 2
2
L
6
L 2
0
0
0
r
2
u3
r3
4
L
Ku = U ⇒ u K 1 = U
Nu er problemet bare, at K er singulær, da
determinmanten er 0. Prøv selv.
Når K og u ganges sammen, vil første søjle i K blive ganget sammen med første række i
u. Da første række i u er 0, vil resultatet i K·u derfor være o i første række. Så kan vi
ligeså godt undvære denne række. Når vi fjerner en række, kan vi fjerne den tilsvarende
søjle.Det samme gælder 2. - og 3. række i K·u. Række- og søjle nummer 1, 2, og 3
fjernes fra K
Vi danner derfor et modificeret system: Kmodumod = Umod K mod
8
L
6
EI
L 2
6
L
2
L
2
12
L 3
6
L 2
2
L
6
L 2
=
umod =
4
L
12 of 16
r 2
u 3
r 3
=
RA
M A
RB
0
F
0
U mod
=
0
F
0

Kmodumod Umod
= ⇒ umod Kmod 1
=
Umod
Her findes så elementerne i umod, hvilket vil sige element nummer 4, 5, og 6 i u.
Hele u vektoren er nu kendt, så vi kan blot løse den oprindelige ligning: Ku = U.
Dette
giver os alle resultaterne i U, og alle de ubekendte er nu fundet.
EI
8
L
6
umod = EI
L 2
2
L
12
L 3
6
L 2
12
L 3
6
L 2
0
0
6
L 2
4
L
6
L 2
2
L
0
0
12
L 3
6
L 2
24
L 3
0
12
L 3
6
L 2
6
L 2
12
L 3
6
L 2
6
L 2
2
L
0
8
L
6
L 2
2
L
2
Vinkeldrejning i knude 2
L
6
L 2
1
FL
0
F
0
4
L
2
4E I
7F L 3
12EI 3F L 2
Udbøjning i knude 3
4E I
vinkeldrejning i knude 3
0
0
0
12
L 3
6
L 2
12
L 3
6
L 2
0
6
L 2
2
L
6
L 2
0
0
0
1
L
4
4
L
2
F
EI
7 L
12
3
F
EI
3
L
4
2
F
EI
13 of 16
3F
2
FL
2
5F
2
0
F
0
Lodret reaktion i A
Indspændingsmoment i A
Lodret reaktion i B
Belastningen

E 210000 N
mm 2
I 36.9 10 6
mm 4
L 5000mm F 8000N Vinkeldrejning i B:
Udbøjning i C:
Vinkeldrejning i C:
Lodret reaktion i A:
1
4
Indspændingsmoment i A:
Lodret reaktion i B:
L 2
F 0.37 deg
EI
7 L
12
3
F 75.28 mm
EI
3
4
L 2
F 1.11 deg
EI
3
2 F 12 kN
5
2 F 20 kN
1
2 L F 20 kN m
14 of 16
Reaktioner regnes positivt
nedad
kN 1000N

Opgaver
1) Find determinanten og den inverse matrix af disse matricer manuelt og kontrollér i
MathCAD:
1
3
2
4
11
9
2
3
5
6
17
5
3
8
6
2) Udregn manuelt disse multiplikationer og kontrollér med MathCAD
5
5
6
6
( 1 3 5 3 )
( 1 3 5 3 )
2
2
3
3
3) Løs følgende ligningssystem:
x5y 3z = 20 5x 6y 8z = 3x 34 8x 12y 16z = 32
4) Gennemgå eksemplet ovenfor med bjælken hvor K-matricen er uændret og
u-vektoren samt U-vektoren er ændrede: (Hvilken ændring betyder dette for bjælkens
statiske system)
u =
0
r 1
0
r 2
u 3
r3
15 of 16
2
5
2
4
9
3
2
5
3
5
4
2
6
8
8

16 of 16