Noter til Lineær Algebra - logx.dk

Noter til Lineær Algebra
Martin Sparre, www.logx.dk,
August 2007,
Version π8
9450 .
– Eksamensnoter til LinAlg

INDHOLD 2
Indhold
0.1 Om disse noter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1 Abstrakte vektorrum 4
1.1 Definition af et vektorrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Underrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 En matrices nulrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Lineær uafhængighed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Basis og dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6 Skift af basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.7 Rækkerum og søjlerum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Lineære afbildninger 11
2.1 Definition af en lineær afbildning . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Matrixrepræsentation af lineære afbildninger . . . . . . . . . 12
2.3 Similære matricer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Egenværdier 15
3.1 Egenværdier og egenvektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Diagonalisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4 Ortogonalisering 17
4.1 Skalarproduktet i R n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.2 Indre produkt rum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.3 Ortonormale systemer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.4 Ortogonale matricer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.5 Gram-Schmidt ortogonalisering . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5 Fourieranalyse 23
5.1 Ortonormal basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.2 Fourierrækker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.3 Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

INDHOLD 3
0.1 Om disse noter
Disse noter indeholder en stor del af eksamensensum til LinAlg-kurset p˚a
Københavns Universitet (2006). Dog er emnerne lineære ligningssystemer,
Gauss-Elimination/Gauss-Jordan Elimination, matrixalgebra og determi-
nanter ikke medtaget.
Versionsnummeret er givet ved
udkommer en ny version.
∞
k=1
1
k2p, hvor p stiger med 1, n˚ar der
Martin Sparre
www.logx.dk

1 ABSTRAKTE VEKTORRUM 4
1 Abstrakte vektorrum
1.1 Definition af et vektorrum
Lad mængden V være et vektorrum og lad x,y ∈ V . Da gælder
αx ∈ V, α ∈ R og x + y ∈ V.
For x,y,z ∈ V og α,β ∈ R opstilles følgende aksiomer:
(x + y) + z = x + (y + z)
y + 0 = y (0 kaldes 0-elementet)
x + (−x) = 0
x + y = y + x
α(x + y) = αx + αy
(α + β)x = αx + βx
(αβ)x = α(βx)
1x = x.
Elementerne i et vektorrum kaldes for vektorer.
Her følger nogle eksempler p˚a vektorrum og elementer i disse:
Eksempel 1 (Vektorrummet R n ) Talrummene R n er vektorrum. Her er
et eksempel p˚a vektorer i henholdsvis R3 og R5 :
⎛ ⎞
4
⎜ ⎟
x = ⎜
⎝ 7 ⎟
⎠ ,
42
⎛ ⎞
−12
⎜ ⎟
⎜ 5 ⎟
⎜ ⎟
y = ⎜ 1 ⎟.
⎜ ⎟
⎜
⎝ 9
⎟
⎠
1
⊳
Eksempel 2 (Vektorrummet R m×n ) Mængden af alle m × n matricer
er et vektorrum og betegnes Rm×n . Her er et eksempel p˚a en vektor i R3×2 :
⎛ ⎞
⎜
A = ⎜
⎝
42
2
13
⎟
4 ⎟
⎠ . ⊳
−1 9801

1 ABSTRAKTE VEKTORRUM 5
Eksempel 3 (Vektorrummet Pn) Med Pn betegnes mængden af poly-
nomier af grad strengt mindre end n. Der gælder, at Pn er et vektorrum.
Her ses eksempler p˚a en vektor i P3:
p(x) = 2x 2 − 4x − 12. ⊳
Eksempel 4 (Vektorrummet C[a, b]) Det kan vises, at mængden, som
best˚ar af alle kontinuerte funktioner defineret p˚a et interval [a;b], udgør et
vektorrum. Dette vektorrum betegnes C[a,b]. Et eksempel p˚a en vektor i
C[−1,1]:
f(x) = tan(x). ⊳
Eksempel 5 (Vektorrummet C n [a, b] ) Mængden af alle n gange konti-
nuert differentiable funktioner p˚a et interval [a;b] udgør et vektorrum, kaldet
C n [a,b]. ⊳
1.2 Underrum
Lad V være et vektorrum og lad S ⊆ V . Hvis S er en ikke-tom delmængde
af V , s˚a kaldes S et underrum af V , hvis følgende gælder:
αx ∈ S, for alle x ∈ S og alle α ∈ R, (i)
x + y ∈ S for alle x,y ∈ S. (ii)
Betingelses (i) siger, at S er lukket under skalarmultiplikation og (ii) siger,
at S er lukket under addition af elementer i S.
I ethvert vektorrum V gælder der, at V og {0} er underrum. Disse to
vektorrum kaldes trivielle underrum.
Der gælder generelt, at alle underrum i sig selv er vektorrum.
1.3 En matrices nulrum
Lad A være en m × n matrix. S˚a betegner N(A) mængden af alle løsninger
til ligningen Ax = 0. Der gælder, at
N(A) = {x ∈ R n |Ax = 0} .

1 ABSTRAKTE VEKTORRUM 6
Til at finde nulrummet for en matrix udføres Gauss elimination eller Gauss-
Jordan elimination og herudfra bestemmes løsningsrummet N(A) til lignig-
nen Ax = 0.
Eksempel 6 (Bestemmelse af nulrum) Lad
1 1 1 0
A =
.
2 1 0 1
Efter Gauss-Jordan elimination f˚as:
1 0 −1 1
0 1 2 −1
Ligningssystemet tilsvarende denne matrix er:
x1 = x3 − x4
x2 = −2x3 + x4.
Ved at sætte x3 = α og x4 = β f˚as, at
⎧⎛
⎞ ⎛ ⎞⎫
1 −1
⎪⎨
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ −2
⎟ ⎜
⎟ ⎜ 1
⎟⎪⎬
⎟
N(A) = span ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ ,
⎜
⎝
1 ⎟ ⎜
⎠ ⎝
0 ⎟
⎠
⎪⎩
⎪⎭
0 1
hvor span angiver mængden, som udspændes af de to vektorer. ⊳
1.4 Lineær uafhængighed
Definition 1 (Lineær uafhængighed) Vektorerne v1,v2,... ,vn ∈ V er
lineært uafhængige hvis udsagnet,
α1v1 + α2v2 + ... + αnvn = 0,
kun er sandt, n˚ar α1,α2,... ,αn er 0. ⊳
Definition 2 (Lineær afhængighed) Vektorerne v1,v2,... ,vn ∈ V er
lineært afhængige, hvis udsagnet er sandt,
α1v1 + α2v2 + ... + αnvn = 0,
selvom ikke alle α1,α2,... ,αn er 0. ⊳
.

1 ABSTRAKTE VEKTORRUM 7
For at afgøre om n vektorer, x1,x2,...,xn i R n er lineært afhængige kan
man opskrive matricen,
X = (x1,x2,...,xn).
Vektorerne er lineært afhængige hvis og kun hvis det (X) = 0.
En anden m˚ade at teste, hvorvidt en samling af vektorer er lineært af-
hængige, er, at opskrive en matrix med de givne vektorer som søjlevektorer.
Efter Gauss-elimination af matricen er der en nulrække, hvis og kun hvis de
givne vektorer er lineært afhængige.
Hvis man har m vektorer i R n og m > n er de m vektorer altid lineært
afhængige.
1.5 Basis og dimension
Definition 3 (En basis for et vektorrum) Vektorerne v1,v2,... ,vn er
en basis for vektorrummet V , hvis og kun hvis
(i) v1,v2,... ,vn er lineært uafhængige,
(ii) v1,v2,... ,vn udspænder V. ⊳
Definition 4 (Dimensionen af et vektorrum) Lad V være et vektor-
rum. Hvis V har en basis, der best˚ar af n vektorer, s˚a har V dimension n.
Specielt defineres at underrummet {0} af V har dimension 0. ⊳
1.6 Skift af basis
Den naturlige basis for R 2 er de to standardenhedsvektorer e1,e2. I stedet
for disse kunne man vælge at beskrive vektorer i R 2 ud fra en anden basis;
eksempelvis vektorerne,
u1 =
3
2
, u2 =
1
som her er angivet i forhold til den naturlige basis.
Ved at bruge u1 og u2 som basisvektorer vil man ofte f˚a brug for at løse
følgende problemer:
1
,

1 ABSTRAKTE VEKTORRUM 8
1. Givet en vektor x = (x1,x2) T mht. e1 og e2, find dennes koordinater
mht. u1 og u2.
2. Givet en vektor c1u1 + c2u2 find dennes koordinater mht. e1 og e2.
Først løses problem 2. Det ses, at
Dvs.,
u1 = 3e1 + 2e2,
u2 = e1 + e2.
c1u1 + c2u2 = 3c1e1 + 2c1e2 + c2e1 + c2e2
= (3c1 + c2)e1 + (2c1 + c2)e2.
Ved at sætte U = (u1,u2) og c = (c1,c2) T f˚as:
Nu er problem 2 s˚aledes løst.
x = U c. (1.1)
U er sammensat af lineært uafhængige basisvektorer, hvorfor U er inver-
tibel. Det følger af (1.1), at løsningen til problem 1 er
c = U −1 x.
Nu betragtes et mere generelt basisskift fra [v1,v2] til [u1,u2]. For at g˚a
fra [v1,v2] til [e1,e2] skal den oprindelige koordinatvektor multipliceres med
V . For at g˚a fra [e1,e2] til [u1,u2] skal der multpliceres med U −1 s˚aledes,
at koordinattransformationsmatricen bliver U −1 V . Koordinattransformatio-
nen illustreres her:
V
[v1,v2]
U −1 [e1,e2]
V U
−1
.
[u1,u2]
I det netop gennemregnede eksempel optr˚adte, der vektorer i R 2 . Proceduren
mht. basisskift kan dog let oversættes til ethvert andet endelig dimensionalt
vektorrum;

1 ABSTRAKTE VEKTORRUM 9
Definition 5 Lad V være et vektorrum med den tilhørende ordnede basis
E = [v1,v2,... ,vn]. Hvis v er et element i V , s˚a kan v skrives som
v = c1v1 + c2v2 + ... + cnvn,
hvor c1,c2,... ,cn er skalarer. Vektoren v ∈ V kan præsenteres af vektoren
c = (c1,c2,... ,cn) T i R n . Vektoren c kaldes koordinatvektoren af v mht. den
ordnede base E og betegnes [v]E. ci’erne er koordinaterne af v med hensyn
til E. ⊳
1.7 Rækkerum og søjlerum
I dette delafsnit præsenteres en række af de vigtigste sætninger og defini-
tioner ang˚aende rækkerum og søjlerum. Først præsenteres definitionen af
rækkerum og søjlerum;
Definition 6 Lad A være en m × n matrix. Underrummet af R 1×n som
udspændes af matricens rækkevektorer kaldes rækkerummet for A. Under-
rummet af R m , som udspændes af søjlevektorerne i A, kaldes søjlerummet
for A. ⊳
Sætning 1 To rækkeækvivalente matricer har samme rækkerum. ⊳
Definition 7 (Rang) Rangen af en matrix A er dimensionen af rækkerum-
met for matricen A. ⊳
Eksempel 7 Lad
A =
⎛
⎜
⎝
1 −2 3
2 −5 1
1 −4 −7
⎞
⎟
⎠ .
Ved at udføre Gauss-elimination f˚as
⎛ ⎞
1 −2 3
⎜ ⎟
U = ⎜
⎝ 0 1 5 ⎟
⎠
0 0 0
.
Rækkerummet for matricerne A og U er s˚aledes udspændt af de to vektorer
(1, −2,3) T og (0,1,5) T . Rangen af begge matricer er 2. ⊳

1 ABSTRAKTE VEKTORRUM 10
Sætning 2 (Konsistens af lineære systemer) Et lineært system Ax =
b er konsistent, hvis og kun hvis b er indeholdt i søjlerummet for A. ⊳
I øvrigt gælder der, at summen af rangen og dimensionen af nulrummet
altid er lig antallet af søjler i en matrix.
Sætning 3 Hvis A er m ×n, s˚a er dimensionen af rækkerummet lig dimen-
sionen af søjlerummet. ⊳

2 LINEÆRE AFBILDNINGER 11
2 Lineære afbildninger
2.1 Definition af en lineær afbildning
Definition 8 En afbildning L : V −→ W er en lineær afbildning, hvis
L(αv1 + βv2) = αL(v1) + βL(v2),
for alle v1,v2 ∈ V og for alle skalarer α og β. ⊳
Heraf følger, at en afbildning er lineær, hvis og kun hvis den opfylder
følgende:
1. L(v1 + v2) = L(v1) + L(v2).
2. L(αv) = αL(v).
Eksempel 8 Betragt operatoren L : R 2 −→ R 2 defineret ved
L(x) = (−x2,x1) T .
Det kan let eftervises, at L er en lineær afbildning:
−αx2 − βy2
L(αx + βy) =
αx1 + βy1
−αx2 −βy2
= +
αx1 βy1
= αL(x) + βL(y)
Det er hermed vist, at afbildningen er lineær. ⊳
Definition 9 (Kernen af en lineær afbildning) Lad L : V −→ W væ-
re en lineær afbildning. Kernen af L er givet ved
ker(L) = {v ∈ V |L(v) = 0W } . ⊳

2 LINEÆRE AFBILDNINGER 12
2.2 Matrixrepræsentation af lineære afbildninger
Der gælder, at enhver lineær afbildning af typen L : R n −→ R m kan repræ-
senteres af en m × n matrix. Dette følger af denne sætning:
Sætning 4 Hvis L er en lineær afbildning fra R n ind i nymodens R m , s˚a
eksisterer der netop en m × n matrix A s˚a
for alle x ∈ R n .
Den j’e søjle i A er givet ved
L(x) = Ax,
Eksempel 9 Lad L : R 3 −→ R 2 være defineret ved
aj = L(ej). ⊳
L(x) = (x1 + x2,x2 + x3) T .
Nu skal matricen tilsvarende denne lineære afbildning findes. N˚ar L virker
p˚a de tre naturlige basisvektorer i R 3 f˚as følgende for de tre søjlevektorer i
A:
Det følger nu af sætning 4, at
L(e1) =
L(e2) =
L(e3) =
A =
1
0
1
1
0
1
1 1 0
0 1 1
. ⊳
I den følgende sætning betragtes mere generelle lineære afbildninger fra et
vektorrum V med basen E = [v1,v2,... ,vn] til et andet vektorrum W med
basen F = [w1,w2,...,wm]:

2 LINEÆRE AFBILDNINGER 13
Sætning 5 Lad E = [v1,v2,... ,vn] og F = [w1,w2,... ,wm] være ordnede
baser for henholdsvis V og W. Til enhver lineær afbildning L : V −→ W er
der en m × n matrix A s˚aledes, at
for alle v ∈ V .
[L(v)]F = A[v]E
A er her matricen, som repræsenterer L mht. de ordnede baser E og F.
Der gælder, at
aj = [L(vj)]F . ⊳
Eksempel 10 Lad L : R 3 −→ R 2 være defineret ved
hvor
b1 =
L(x) = x1b1 + (x2 + x3)b2,
1
1
og b2 =
−1
Nu skal matricen A, der repræsenterer den lineære afbildning mht. de ord-
nede baser [e1,e2,e3] og [b1,b2], findes.
Der gælder, at
Af sætning 5 følger det nu, at
L(e1) = 1b1 + 0b2 =⇒ [L(e1)]F = (1,0) T
L(e2) = 0b1 + 1b2 =⇒ [L(e2)]F = (0,1) T
L(e3) = 0b1 + 1b2 =⇒ [L(e3)]F = (0,1) T .
A = ([L(e1)]F ,[L(e2)]F,[L(e3)]F) =
1
1 0 0
0 1 1
. ⊳
Sætning 6 Lad E = [u1,u2,...,un] og F = [b1,b2,... ,bm] være baser
for henholdsvis R n og R m . Hvis L : R n −→ R m er en lineær afbildning, s˚a
er den j’e søjle i matricen A, som repræsenterer L mht. E og F, givet ved
aj = B −1 L(uj),
hvor B = [b1,b2,... ,bm]. ⊳

2 LINEÆRE AFBILDNINGER 14
Sætning 7 Hvis A repræsenterer den lineære afbildning L : R n −→ R m
mht. til baserne
E = [u1,u2,...,un] og F = [b1,b2,...,bm],
s˚a er den reducerede rækkeechelonform af (b1,... ,bm|L(u1),... ,L(un)) gi-
vet ved (I |A) ⊳
Se eksempel 6 side 190 i Leon.
2.3 Similære matricer
Sætning 8 Lad E = [v1,...,vn] og F = [w1,...,wn] være ordnede baser
for et vektorrum V og lad L være en lineær operator p˚a V . Transformations-
matricen, der repræsenterer skiftet fra F til E, kaldes S. Hvis A repræsente-
rer den lineære afbildning mht. basen E, s˚a er matricen, der repræsenterer
L mht. F givet ved
B = S −1 AS. ⊳
Definition 10 Lad A og B være m × n matricer. B er similær til A, hvis
der findes en invertibel matrix S s˚aledes, at
B = S −1 AS. ⊳
Det skal bemærkes, at hvis B er similær til A, s˚a følger det, at A er similær
til B.

3 EGENVÆRDIER 15
3 Egenværdier
3.1 Egenværdier og egenvektorer
Definition 11 Lad A være en n × n matrix. En skalar λ er en egenværdi
til A, hvis der findes en egentlig vektor x = 0, s˚a
Ax = λx. (3.1)
x er da en egenvektor, som hører til λ. ⊳
(3.1) kan omskrives til
(A − λI)x = 0.
Denne ligning har en ikke triviel løsning, hvis og kun hvis A−λI er singulær.
Dvs., hvis
det(A − λI) = 0.
Det karakterristiske polynomium defineres ved
p(λ) = det(A − λI).
Rødderne til dette polynomium er egenværdierne til n × n matricen A. Det
karakterristiske polynomium vil altid have n komplekse rødder (talt med
multiplicitet).
For en n × n matrix A er følgende udsagn ækvivalente:
1. λ er en egenværdi for A.
2. (A − λI)x = 0 har en ikke-triviel løsning.
3. N(A − λI) = {0}.
4. A − λI er singulær.
5. det(A − λI) = 0.
Eksempel 11 Lad
A =
3 2
3 −2
.

3 EGENVÆRDIER 16
For at finde egenværdierne til A opskrives det karakterristiske polynomium:
3 − λ 2
p(λ) =
3 −2 − λ = λ2 − λ − 12.
Dette giver egenværdierne λ1 = 4 og λ2 = −3.
Enhver vektor, der er element i nulrummet N(A + 3I) er en egenvektor
tilsvarende egenværdien −3. Enhver vektor, der er et element i nulrummet
N(A − 4I) er en egenvektor tilsvarende egenværdien 4. ⊳
3.2 Diagonalisering
Definition 12 En n × n matrix A er diagonaliserbar, hvis der findes en
invertibel matrix X og en diagonalmatrix D s˚a
X −1 AX = D.
Man siger, at X diagonaliserer A. ⊳
Sætning 9 En n × n matrix A er diagonaliserbar, hvis og kun hvis A har
n lineært uafhængige egenvektorer. ⊳
Vigtige bemærkninger:
1. Hvis A er diagonaliserbar, s˚a er søjlevektorerne i diagonaliseringsma-
tricen X egenvektorer for A. Diagonalelementerne af D er de til egen-
vektorerne tilsvarende egenværdier.
2. Diagonaliseringsmatricen X er ikke unik. Ved at ombytte søjler for
diagonaliseringsmatricen eller ved at multiplicere med en skalar, der
er forskellig fra 0, kan man konstruere en ny diagonaliseringsmatrix.
3. Hvis A er n×n og A har n forskellige egenværdier, s˚a kan A diagonali-
seres. Hvis der er flere ækvivalente egenværdier s˚a er A diagonaliserbar
afhængigt af om, der er n lineært uafhængige egenvektorer (Se sætning
9).
4. Hvis A er diagonaliserbar, s˚a kan A skrives som produktet X D X −1 .
5. A k = X D k X −1 .

4 ORTOGONALISERING 17
4 Ortogonalisering
4.1 Skalarproduktet i R n
Skalarproduktet mellem to vektorer a,b ∈ R n defineres ved a T b. Dvs.,
a · b ≡
Normen af en vektor defineres ved
n
aibi.
i=1
||a|| ≡ √ a · a.
Projektionen af en vektor a p˚a en vektor b er givet ved
og størrelsen af projektionen er
ab =
||ab|| =
a · b
||b||
2 b
a · b
||b|| .
To vektorer a og b er defineret til at være ortogonale, hvis a·b = 0. Vinklen
mellem a og b er
4.2 Indre produkt rum
cos θ =
a · b
||a|| ||b|| .
Definition 13 (Indre produkt) Et indre produkt p˚a en vektor i et ab-
strakt vektorrum V er en operator p˚a V , der til ethvert par af vektorer
x,y ∈ V tildeler en skalar 〈x,y〉, som opfylder
I 〈x,x〉 ≥ 0, med lighed hvis og kun hvis x = 0.
II 〈x,y〉 = 〈y,x〉.
III 〈αx + βy,z〉 = α〈x,z〉 + β〈y,z〉 for alle x,y,z ∈ V og alle skalarer
α,β. ⊳
Et vektorrum V med et indre produkt kaldes et indre produkt rum. Her
følger en række eksempler p˚a indre produkter:

4 ORTOGONALISERING 18
Eksempel 12 (R n ) Skalarproduktet i R n er et indre produkt;
〈x,y〉 = x T y.
Et andet eksempel p˚a et indre produkt i Rn er
n
〈x,y〉 = wixiyi,
i=1
hvor w1,w2,... ,wn er skalarer. ⊳
Eksempel 13 (R m×n ) For A,B ∈ R m×n kan man definere et indre pro-
dukt ved
〈A,B〉 =
m
n
i=1 j=1
aijbij. ⊳
Eksempel 14 (C[a, b]) Et eksempel p˚a et indre produkt for f,g ∈ C[a,b]
er
〈f,g〉 =
b
a
f(x)g(x)dx.
Hvis en funktion w(x) er kontinuert p˚a [a,b] kan et indre produkt ogs˚a
defineres som
〈f,g〉 =
b
a
f(x)g(x)w(x)dx. ⊳
Eksempel 15 (Pn) Lad x1,x2,...,xn være forskellige skalarer. For ethvert
par af polynomier af mindre grad end n kan man definere:
n
〈p,q〉 = p(xi)q(xi). ⊳
ved:
i=0
Der gælder, at normen af en vektor i et indre produkt rum kan defineres
||x|| = 〈x,x〉.
Definition 14 (Projektion) Lad u og v være vektorer i et indre produkt
rum. Projektionen af u p˚a v er
uv = 〈u,v〉
2 v. ⊳
||v||

4 ORTOGONALISERING 19
4.3 Ortonormale systemer
Definition 15 (Ortogonalt system) Lad v1,v2,...,vn være vektorer for-
skellig fra nulvektoren i et indre produkt rum V . Hvis 〈vi,vj〉 = 0, n˚ar i = j,
s˚a er basen {v1,v2,... ,vn} et ortogonalt system. ⊳
Definition 16 (Ortonormalt system) Et ortonormalt system af vekto-
rer er et ortogonalt sæt af enhedsvektorer. ⊳
Et system u1,u2,... ,un er s˚aledes ortonormalt, hvis og kun hvis
1 hvis i = j
〈ui,uj〉 =
0 hvis i = j .
Hvis man har et ortogonalt system {v1,v2,...,vn} kan man definere
ui = vi
||vi|| .
Da udgør {u1,u2,...,un} er ortonormalt system.
Her følger tre sætninger ang˚aende ortonormale baser:
Sætning 10 Lad u1,u2,... ,un være en ortonormal basis for et indre pro-
dukt rum V . Hvis
s˚a er
v =
n
ciui,
i=1
ci = 〈v,ui〉. ⊳
Af denne sætning følger det, at hvis man ønsker at skrive en vektor, som
x = c1u1 + c2u2 + ... + cnun,
hvor u1,u2,... ,un er en ortonormal basis, s˚a er ci givet ved
ci = 〈x,ui〉.
Sætning 11 Lad u1,u2,... ,un være en ortonormal basis for et indre pro-
dukt rum V . Hvis u = n
i=1 aiui og v = n
i=1 biui, s˚a er
〈u,v〉 =
n
aibi. ⊳
i=1

4 ORTOGONALISERING 20
Sætning 12 (Parseval’s formel) Hvis u1,u2,...,un er en ortonormal ba-
sis for et indre produkt rum V og v = n
i=1 ciui, s˚a er
||v|| 2 =
n
c 2 i. ⊳
Eksempel 16 Lad {u1,u2,u3} være en ortonormal basis for et indre pro-
dukt rum V . Betragt de to vektorer,
Ifølge sætning 11 er
Og ifølge Parseval’s formel er
i=1
u = u1 + 2u2 + 2u3,
v = u1 + 7u3.
〈a,b〉 = 1 · 1 + 2 · 0 + 2 · 7 = 15.
||u|| = 12 + 22 + 22 = 3,
||v|| = 12 + 72 = 5 √ 2.
Om vinklen mellem de to vektorer gælder:
cos θ = 〈a,b〉 15
=
||a|| ||b|| 3 · 5 √ 1
= √ .
2 2
Hermed er θ = π
4 . ⊳
4.4 Ortogonale matricer
Definition 17 (Ortogonal matrix) En reel matrix Q er en ortogonal ma-
trix, hvis søjlevektorerne i Q udgør et ortonormalt sæt i R n . ⊳
Sætning 13 En n × n matrix Q er ortogonal, hvis og kun hvis
Af denne sætning følger umiddelbart, at Q T = Q −1 .
Q T Q = I. ⊳
I øvrigt gælder altid, at 〈Qx,Qy〉 = 〈x,y〉. Hvis 〈x,y〉 = x T y gælder
desuden, at ||Qx|| = ||x||.

4 ORTOGONALISERING 21
Sætning 14 Hvis A er en reel symmetrisk matrix, s˚a findes der en ortogonal
matrix U, som diagonaliserer A. Dvs.,
D = U T AU,
hvor D er en diagonalmatrix. ⊳
En symmetrisk matrix er opfylder, at A T = A.
Hvis A er en reel n × n matrix, s˚a er følgende betingelser ækvivalente:
1. Der findes en orthonormal basis for R n best˚aende af egenvektorer for
A.
2. Der findes en matrix U, s˚a U T AU er diagonal med egenværdier for A
i diagonalen (U kan bestemmes ved at køre Gram-Schmidt p˚a egen-
vektorerne i A. Søjlevektorerne i U er da vektorerne i den ortonormale
basis).
3. A er symmetrisk; dvs., A T = A.
4.5 Gram-Schmidt ortogonalisering
I dette kapitel beskrives Gram-Schmidt ortogonaliseringsmetoden. Ved hjælp
af denne metode kan man ud fra enhver basis,
danne en ortonormal basis,
som opfylder, at
[x1,x2,...,xn],
[u1,u2,... ,un] ,
span{[u1,u2,...,un]} = span{[x1,x2,... ,xn]}.
Den første vektor i den ortonormale basis f˚as ved at normere x1:
u1 = x1
||x1|| .

4 ORTOGONALISERING 22
For at konstruere den anden vektor i den ortonormale basis opskrives pro-
jektionen af x2 p˚a nymodens u1 (Denne vektor kaldes p1):
p1 = 〈x2,u1〉u1
Der m˚a af geometriske ˚arsager gælde, at (x2 − p1) ⊥ u1. Ved at normere
x2 −p1 denne kan man s˚aledes danne en ny vektor i den ortonormale basis:
u2 = x2 − p1
||x2 − p1|| .
Den tredje vektor i den ortonormale basis kan konstrueres ved at definere
vektoren,
og s˚a er
p2 = 〈x3,u1〉u1 + 〈x3,u2〉u2,
u3 = x3 − p2
||x3 − p2|| .
Følgende sætning beskriver Gram-Schmidt Ortogonaliseringsmetoden:
Sætning 15 (Gram-Schmidt) Lad [x1,x2,... ,xn] være en ortogonal ba-
sis for et indre produkt rum V . Lad
og definer u2,u3 ...,un rekursivt ved
hvor
u1 = x1
||x1||
uk+1 = xk+1 − pk
||xk+1 − pk|| ,
pk = 〈xk+1,u1〉u1 + 〈xk+1,u2〉u2 + ... + 〈xk+1,uk〉uk
er projektionen af xk+1 p˚a spannet af [u1,u2,... ,uk].
Der gælder, at [u1,u2,... ,un] er en ortonormal basis for V . ⊳
Bemærk at i udledning af Gram-Schmidt-metoden anvendte vi vores
geometriske intuition om vektorer i R n . Metoden er dog ikke begrænset til
vektorer i R n , men kan anvendes i alle abstrakte vektorrum.

5 FOURIERANALYSE 23
5 Fourieranalyse
5.1 Ortonormal basis
I dette delafsnit forklares den teoretiske baggrund for fourierrækker.
Betragte et indre produkt rum, hvor det indre produkt mellem to funk-
tion f og g er defineret ved
〈f,g〉 ≡ 2
L
L
0
f(x)g(x)dx.
Betragt funktionerne
2πr
cos
L x
2πs
, cos
L x
2πr
, sin
L x
2πs
, sin
L x
,
hvor r og s er ikke-negative heltal og L er en skalar. Ved at udregne indre
produkter f˚as:
2πr
cos
L x
2πs
,sin
L x
= 2
L
L
0
2πr
cos
L x
2πs
sin
L x
dx
= 0,
2πr
cos
L x
2πs
,cos
L x
= 2
L
2πr
cos
L 0 L x
2πs
cos
L x
dx
⎧
⎪⎨ 2 for r = s = 0
= 1 for r = s > 0
⎪⎩
0 for r = s
2πr
sin
L x
2πs
,sin
L x
= 2
L
2πr
sin
L 0 L x
2πs
sin
L x
dx
⎧
⎪⎨ 0 for r = s = 0
= 1 for r = s > 0
⎪⎩
0 for r = s
Ud fra de netop udregnede indre produkter ses det, at enhver funktion (der
er uendeligt mange gange differentiabel) kan opskrives i en ortonormal basis
s˚aledes
f(x) = a0
2 +
∞
2πr
ar cos
L x
2πr
+ br sin
L x
,
r=1

5 FOURIERANALYSE 24
hvor de r’e koefficienter er givet ved projektionen af f p˚a de r’e basisvektorer
s˚aledes:
ar =
br =
2πr
f,cos
L x
= 2
L
2πr
f,sin
L x
= 2
L
x0+L
x0
x0+L
x0
2πr
f(x)cos
L x
dx
2πr
f(x)sin
L x
dx.
I det næste delafsnit opskrives dette resultat p˚a mere stringent vis.
5.2 Fourierrækker
En funktion f kan udvikles vha. fourierrækker, hvis den opfylder Dirichlets
betingeler:
i) f er periodisk,
ii) f skal være kontinuert. Dog er det tilladt med et endeligt antal disko-
ninuitetspunkter,
iii) f skal have et endeligt antal maksimum- og minimumpunkter inden for
en enkelt periode,
iv) Integralet over en periode af |f(x)| skal konvergere.
Hvis Dirichlets betingelser er opfyldt er fourierrækken for f givet ved
f(x) = a0
2 +
∞
2πr
ar cos
L x
2πr
+ br sin
L x
,
r=1
hvor Fourier koefficienterne er givet ved
ar = 2
x0+L
2πr
f(x)cos
L x0
L x
dx
br = 2
x0+L
2πr
f(x)sin
L
L x
dx.
Lige og ulige funktioner
For en funktion f gælder:
x0
hvis f er lige er f(−x) = f(x)
hvis f er ulige er f(−x) = −f(x)

5 FOURIERANALYSE 25
Eksempelvis er f(x) = x 2 en lige funktion og f(x) = x 3 er en ulige funktion.
For enhver funktion gælder:
f(x) = 1
1
[f(x) + f(−x)] + [f(x) − f(−x)]
2 2
= flige(x) + fulige(x)
For en fourierrække repræsenterer ar de lige led (I ar indg˚ar cosinus og
cosinus er en lige funktion) og br repræsentere de ulige led (I br indg˚ar sinus
og sinus er en ulige funktion).
For en ulige funktion er alle a-leddene s˚aledes 0 og tilsvarende er alle
b-leddene 0 for en lige funktion. For en maclaurin-række gælder i øvrigt det
samme.
5.3 Fouriertransformation
Den fouriertransformerede af en funktion f(t) er givet ved
Den inverse er:
˜f(ω) = 1
√ 2π
∞
−∞
f(t) = 1
∞
√
2π −∞
f(t)e −iωt dt.
˜f(ω)e iωt dω.