G:\Statistiske grundbegreber-v8\s1v8-forside.wpd

93
7.3 Binomialfordelingen
TI 89 benytter netop denne formel i sin beregning, dvs. man skal altid her først undersøge om
forudsætningen er opfyldt.
APPS\STATS/List\F7\5:1-PropZInt\ENTER
Menuen udfyldes med x: 85 n: 100 C-level: 0.95 ENTER
Resultat: C Int : [0.78 ; 0.92 ]
Direkte metode til beregning.
Hvis betingelserne for approksimation med normalfordeling ikke er opfyldt, må man benytte binomialfordelingen direkte.
Eksempel 7.7. Beregning af konfidensinterval hvis betingelserne ikke er opfyldt
I forbindelse med et reklamefremstød ønskede man at undersøge om borgerne i en mindre by havde set en bestemt
reklame. Man spurgte et antal tilfældigt udvalgte husstande, og af 45 svar havde 9 set reklamen.
Opstil et 95% konfidensinterval for sandsynligheden p for at man har set reklamen.
Løsning:
9
Vi har, at $p = = 20%
45
Da n⋅p$ ⋅= 9< 10 er betingelsen ikke opfyldt.
Udenfor et 95% konfidensinterval ligger 5%, og af symmetrigrunde ligger der 2,5% på hver side. (jævnfør figuren)
Jo større den sande værdi p er i forhold til 0.20 jo mindre bliver sandsynligheden for at få 9 svar eller færre. Vi leder derfor
i grænsen efter et p > 0.20 , så P( X ≤ 9)
= 0.025.
solve(binomCdf(45, p,0,9)=0.025,p) x > 0 Resultatet blev p = 0.346.
Dernæst findes nedre grænse ved at lade p falde, indtil P( X ≥ 9) ≈ 0. 025
Heraf fås solve(binomCdf(45, p,9,45)=0.025,p) x > 0 Resultatet blev p = 0.0958.
Konfidensinterval: [0.096; 0.346]
Bemærk, at konfidensintervallet her ikke ligger symmetrisk omkring 0.20, da binomialfordelingen i netop disse situationer
netop ikke er symmetrisk omkring 0.20
7.4 POISSONFORDELINGEN
Ved udførelsen af Binomial-eksperimenter med lille sandsynlighed p, men stort n, er n undertiden
ukendt: Man kan registrere antal gange en hændelse forekommer, men ikke eller kun meget
approksimativt antal gange hændelsen ikke forekommer. Eksempler: Antal α partikler et radioaktivt
præparat udsender pr. tidsenhed, antal trafikuheld på en bestemt vejstrækning i løbet af et år, antal
støvpartikler i et bestemt lille volumen, antal defekte pr. km kabel, og antal varevogne der ankommer
pr time til et stort varehus.
Under sådanne omstændigheder kan man ofte benytte den i det følgende omtalte Poissonfordeling
som statistisk model for antallet af "impulser" pr. tidsenhed eller volumenenhed eller længdeenhed
o.s.v.