G:\Statistiske grundbegreber-v8\s1v8-forside.wpd

89
7.3 Binomialfordelingen
DEFINITION af binomialfordeling.
1) Lad et tilfældigt eksperiment have 2 udfald “succes” og “fiasko”
2) Lad eksperimentet blive gentaget n gange uafhængigt af hinanden, og lad
sandsynligheden for succes være en konstant p
Lad X være antallet af succeser blandt de n gentagelser
X er en diskret stokastisk variabel med tæthedsfunktionen
⎛ n x n x
p ( p) f ( x)
=
⎜
⎝ x
x { , , ,..., n}
⎞ ⎧
−
⎪ ⎟ ⋅ ⋅ 1− ⎨ ⎠
⎪
⎩ 0
for
ellers
∈ 012
X siges at være binomialfordelt b ( n, p).
SÆTNING 7.1. (middelværdi og spredning for binomialfordeling).
Lad X være binomialfordelt b (n, p).
Der gælder da E ( X )= n ⋅ p og σ σ ( X ) = n ⋅ p ⋅ ( 1
− p ) .
Bevis: Lad os betragte et eksperiment, hvor resultatet “succes” har sandsynligheden p for at ske.
Lad os foretage n uafhængige gentagelser af eksperimentet. At gentagelserne er uafhængige
betyder, at udfaldet af et eksperiment ikke afhænger af udfaldet af de forrige eksperimenter.
Lad os betragte n stokastiske variable X1, X2,..., Xn, hvor X i = ⎧1 ⎨
⎩0
hvis i' te gentagelse af eksperimentet giver succes.
ellers
Vi har E( Xi) = ∑ xi f ( xi) = 1⋅ p+ 0⋅( 1−
p) = p,
og
i
2 2 2 2
V( Xi) = ∑ ( xi − µ ) f ( xi) = ( 1− p) ⋅ p+ ( 0− p) ⋅( 1− p) = p− p = p⋅( 1−
p)
i
Idet X = X1 + X2 + ... + Xner binomialfordelt b ( n, p) fås af linearitetsreglen (kapitel 1afsnit
5), at E( X) = E( X ) + E( X ) + E( X ) + ... + E( X ) = p+ p+ p+ ... + p= n⋅ p.
1 2 3
Endvidere fås af kvadratreglen i kapitel 1 afsnit 5, idet vi har uafhængige gentagelser, at
V( X) = V( X1) + V( X2) + ... + V( Xn) = p⋅( 1− p) + p⋅( 1− p) + ... + p⋅( 1−
p)
,
eller V( X) = n⋅ p⋅( 1 − p)
.
n