G:\Statistiske grundbegreber-v8\s1v8-forside.wpd

More documents

Recommendations

Info

$C:\mol\noter i mat+stat\Statistik\Statistiknoter\Videreg.ende statistik ...$

$C:\mol\noter i mat+stat\Statistik\Statistiknoter\Videreg.ende statistik ...$

7. Vigtige diskrete fordelinger 7.3 BINOMIALFORDELING Binomialfordelingen benyttes som model for antallet af "succeser" ved n uafhængige gentagelser af et eksperiment, som hver gang har samme sandsynlighed p for "succes". Problemstillingen fremgår af følgende eksempel. Eksempel 7.3. En binomialfordelt variabel. En drejebænk producerer 1 % defekte emner. Lad X være antallet af defekte blandt de næste 6 emner der produceres. Vi ønsker at finde sandsynligheden for at finde netop 2 defekte blandt disse 6, det vil sige P( X = 2) . LØSNING: Lad et eksperiment være at udtage et emne fra produktionen. Resultatet af eksperimentet har to udfald: defekt, ikke defekt. Eksperimentet gentages 6 gange uafhængigt af hinanden. Der er en bestemt sandsynlighed for at få en defekt, nemlig p = 0.01. Lad d være det udfald at få en defekt, og d være det udfald at få en fejlfri. Et af de ønskede forløb med 2 defekte vil eksempelvis være dddddd , , , , , . Dette forløb må have sandsynligheden 2 4 0. 01⋅( 1 −0. 01) ⋅0. 01⋅( 1 −0. 01) ⋅( 1 −0. 01) ⋅( 1 − 0. 01) = 0. 01 ⋅( 1 −0. 01) . Et andet gunstigt forløb kunne være dddddd , , , , , med sandsynligheden 2 4 ( 1 −0. 01) ⋅( 1 −0. 01) ⋅0. 01⋅( 1 −0. 01) ⋅0. 01⋅( 1 − 0. 01) = 0. 01 ⋅( 1 −0. 01) Vi ser, at alle gunstige forløb har samme sandsynlighed. Antal forløb må være lig antal måder man kan placere 2 d’er på 6 tomme pladser (eller antal måder man kan tage 2 kugler ud af en ⎛ 6 mængde på 6). Dette ved vi kan gøres på ⎜ måder. ⎝2 ⎞ ⎟ ⎠ Vi får følgelig, at p = ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ 6 2 4 ⎟ ⋅0. 01 ⋅( 1− 0. 01) = 0. 00144 2⎠ TI-89: CATALOG\F3\binomPdf(6, 0.01,2) = 0.00144 I eksemplet har vi “udledt” den såkaldte binomialfordeling, som er defineret på følgende måde: 88
89 7.3 Binomialfordelingen DEFINITION af binomialfordeling. 1) Lad et tilfældigt eksperiment have 2 udfald “succes” og “fiasko” 2) Lad eksperimentet blive gentaget n gange uafhængigt af hinanden, og lad sandsynligheden for succes være en konstant p Lad X være antallet af succeser blandt de n gentagelser X er en diskret stokastisk variabel med tæthedsfunktionen ⎛ n x n x p ( p) f ( x) = ⎜ ⎝ x x { , , ,..., n} ⎞ ⎧ − ⎪ ⎟ ⋅ ⋅ 1− ⎨ ⎠ ⎪ ⎩ 0 for ellers ∈ 012 X siges at være binomialfordelt b ( n, p). SÆTNING 7.1. (middelværdi og spredning for binomialfordeling). Lad X være binomialfordelt b (n, p). Der gælder da E ( X )= n ⋅ p og σ σ ( X ) = n ⋅ p ⋅ ( 1 − p ) . Bevis: Lad os betragte et eksperiment, hvor resultatet “succes” har sandsynligheden p for at ske. Lad os foretage n uafhængige gentagelser af eksperimentet. At gentagelserne er uafhængige betyder, at udfaldet af et eksperiment ikke afhænger af udfaldet af de forrige eksperimenter. Lad os betragte n stokastiske variable X1, X2,..., Xn, hvor X i = ⎧1 ⎨ ⎩0 hvis i' te gentagelse af eksperimentet giver succes. ellers Vi har E( Xi) = ∑ xi f ( xi) = 1⋅ p+ 0⋅( 1− p) = p, og i 2 2 2 2 V( Xi) = ∑ ( xi − µ ) f ( xi) = ( 1− p) ⋅ p+ ( 0− p) ⋅( 1− p) = p− p = p⋅( 1− p) i Idet X = X1 + X2 + ... + Xner binomialfordelt b ( n, p) fås af linearitetsreglen (kapitel 1afsnit 5), at E( X) = E( X ) + E( X ) + E( X ) + ... + E( X ) = p+ p+ p+ ... + p= n⋅ p. 1 2 3 Endvidere fås af kvadratreglen i kapitel 1 afsnit 5, idet vi har uafhængige gentagelser, at V( X) = V( X1) + V( X2) + ... + V( Xn) = p⋅( 1− p) + p⋅( 1− p) + ... + p⋅( 1− p) , eller V( X) = n⋅ p⋅( 1 − p) . n
Page 1:
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISK
Page 4 and 5:
INDHOLD Indhold 1 STATISTISKE GRUND
Page 6 and 7:
Indhold APPENDIX 2. STATISTISKE BER
Page 8 and 9:
1. Statistiske grundbegreber defini
Page 10 and 11:
1. Statistiske grundbegreber af et
Page 12 and 13:
1. Statistiske grundbegreber I viss
Page 14 and 15:
1. Statistiske grundbegreber 18 15
Page 16 and 17:
1. Statistiske grundbegreber LØSNI
Page 18 and 19:
1. Statistiske grundbegreber De to
Page 20 and 21:
1. Statistiske grundbegreber Fordel
Page 22 and 23:
1. Statistiske grundbegreber 1.6 LI
Page 24 and 25:
Statistiske grundbegreber 2 2 Vi vi
Page 26 and 27:
Statistiske grundbegreber = = 2 2
Page 28 and 29:
Statistiske grundbegreber Opgave 1.
Page 30 and 31:
Statistiske grundbegreber 1) Grupp
Page 32 and 33:
2 NORMALFORDELINGEN 2.1 INDLEDNING
Page 34 and 35:
Normalfordelingen. 2.2 DEFINITION O
Page 36 and 37:
Normalfordelingen. På større lomm
Page 38 and 39:
Normalfordelingen. Eksempel 2.3. No
Page 40 and 41:
Normalfordelingen. Vi nævner uden
Page 42 and 43:
Normalfordelingen. Opgave 2.4 (norm
Page 44 and 45: Statistiske testfunktioner 3 STATIS
Page 46 and 47: Statistiske testfunktioner 3.3 t-fo
Page 48 and 49: Statistiske testfunktioner TI-89 ha
Page 50 and 51: 4 ESTIMATER OG KONFIDENSINTERVALLER
Page 52 and 53: Estimater og konfidensintervaller S
Page 54 and 55: Estimater og konfidensintervaller S
Page 56 and 57: Estimater og konfidensintervaller E
Page 58 and 59: Estimater og konfidensintervaller O
Page 60 and 61: Hypotesetestning (1 stokastisk vari
Page 74 and 75: Hypotesetestning (1 variabel) Opgav
Page 82 and 83: Sandsynlighedsregning Vi har derfor
Page 84 and 85: Sandsynlighedsregning Produktsætni
Page 86 and 87: Sandsynlighedsregning SÆTNING 6.1
Page 88 and 89: Sandsynlighedsregning Opgave 6.3 (r
Page 90 and 91: Sandsynlighedsregning Opgave 6.8 (
Page 92 and 93: 7. Vigtige diskrete fordelinger ⎛
Page 96 and 97: 7. Vigtige diskrete fordelinger Eks
Page 98 and 99: 7. Vigtige diskrete fordelinger 1 V
Page 100 and 101: Vigtige diskrete fordelinger *) Pr
Page 102 and 103: Vigtige diskrete fordelinger LØSNI
Page 104 and 105: Vigtige diskrete fordelinger 7.7 AP
Page 106 and 107: Vigtige diskrete fordelinger Eksemp
Page 108 and 109: Vigtige diskrete fordelinger OPGAVE
Page 110 and 111: Vigtige diskrete fordelinger Opgave
Page 118 and 119: 8.Andre kontinuerte fordelinger 8 A
Page 120 and 121: 8.Andre kontinuerte fordelinger 8.3
Page 122 and 123: Andre kontinuerte fordelinger Levet
Page 124 and 125: Andre kontinuerte fordelinger 8.5 D
Page 126 and 127: Andre kontinuerte fordelinger OPGAV
Page 128 and 129: Bjarne Hellesen: 9 FLERDIMENSIONAL
Page 130 and 131: Flerdimensional statistisk variabel
Page 132 and 133: Flerdimensional statistisk variabel
Page 134 and 135: Flerdimensional stokastisk variabel
Page 142 and 143: Appendix 2: Statistiske beregninger
Page 144 and 145:
Appendix 2: Statistiske beregninger
Page 146 and 147:
Page 148 and 149:
Page 150 and 151:
APPENDIX 5.1 APPENDIX 5.1. Test af
Page 152 and 153:
Page 154 and 155:
Page 156 and 157:
APPENDIX 7.1 APPENDIX 7.1. Oversigt
Page 158 and 159:
Statistiske tabeller Tabel 1 Fordel
Page 160 and 161:
Statistiske tabeller Tabel 2 Frakti
Page 162 and 163:
Statistiske tabeller 2 Tabel 3 (for
Page 164 and 165:
Statistiske tabeller Tabel 5 95%-fr
Page 166 and 167:
P( X x) Statistiske tabeller ≤ i
Page 168 and 169:
Page 170 and 171:
Tabel 7 Kumulerede sandsynligheder
Page 172 and 173:
Statistiske tabeller P( X x) ≤ i
Page 174 and 175:
Page 176 and 177:
Facitliste FACITLISTE KAPITEL 1 1.1
Page 178 and 179:
Facitliste 7.12 8.72% 7.13 (1) 66.4
Page 180 and 181:
Stikord STIKORDSREGISTER A absolut
Page 182:
Stikord random variable 1 rektangul
show all

G:\Statistiske grundbegreber-v8\s1v8-forside.wpd

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?