G:\Statistiske grundbegreber-v8\s1v8-forside.wpd

Sandsynlighedsregning
SÆTNING 6.1 (om antallet af kombinationer). Antal måder hvorpå man - uden
mellemliggende tilbagelægning og uanset rækkefølgen - kan udtage i alt p elementer fra en
⎛ n
mængde med n elementer, hvor n≥p kaldes K ( n, p ) eller ⎜ (n over p).
⎝ p
⎞
⎟
⎠
Der gælder n ⎛ n
⎜
⎝ p p n p
⎞ !
⎟ =
⎠ !( ⋅ − )!
Bevis: Beviset knyttes for enkelheds skyld til et taleksempel, som let kan generaliseres.
Lad os antage, vi på tilfældig måde udtager 3 kugler af en kasse, der indeholder 5 kugler med
numrene k1, k2, k3, k4, k5.
Lad os først gå ud fra, at rækkefølgen hvori kuglerne trækkes ud er af betydning, Der er altså
eksempelvis forskel på k1, k3, k4
og k3, k1, k4.
Første kugle kan da udtages på 5 forskellige
måder, og for hver af disse 5 kugler kan den næste kugle udtages på 4 måder. I alt kan de to kugler
udtages på 5⋅4 måder. Den sidste kugle skal udtages blandt de resterende 3 kugler, så det kan
gøres på 3 måder. Hvis de 3 kugler udtages, så rækkefølgen spiller en rolle, kan det følgelig gøres
på 5⋅4⋅3 måder. Hvis de 3 kugler udtages, så rækkefølgen ikke spiller en rolle, har vi vedtaget,
⎛5
det kan gøres på ⎜ måder. Lad en af disse måder være . Disse 3 elementer kan ordnes
⎝3
⎞
⎟ k1, k3, k4
⎠
i rækkefølge på 3! = 3⋅2⋅1måder. 5
Vi har følgelig, at 543 eller
3 3
⋅ ⋅ =⎛⎜
⎝
⎞ ⎛5
543 54321 5
⎟ ⋅ ! ⎜
⎠ ⎝3
3 3 2 1 3 2
⎞
⎟ =
⎠
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ !
= =
! ! ⋅ ⋅ ! ⋅ !
⎛ n
TI - 89 : Beregning af tallet ⎜ : MATH\Probability\nCr(n,p)
⎝ p
⎞
⎟
⎠
Eksempel: 5 ⎛
⎜ 53 10
⎝3
⎞
⎟ = nCr( ,) =
⎠
80