G:\Statistiske grundbegreber-v8\s1v8-forside.wpd

Hypotesetestning (1 stokastisk variabel)
SÆTNING 5.1 (dimensionering). Lad X være en normalfordelt variabel med ukendt
middelværdi µ og kendt spredning σ . Lad en ensidet test med signifikansniveau α have
nulhypotesen :µ ≤ µ med den alternative hypotese H:µ µ , og lad være den mindste
H 0 0
x − µ 0
σ
Bevis: H0 accepteres på signifikansniveau α , hvis ≤u1−α ⇔ x ≤ µ 0 + u1−α
⋅ .
σ
n
n
Er den sande middelværdi µ 0 +∆, er U normalfordelt med middelværdi 0 og
x − ( µ + )
=
∆
n
spredning 1. Vi har derfor, at forudsat µ = µ + ∆ er
0
⎛ σ
u ( )
⎛
⎞
⎜ µ + ⋅ − +
⎞ ⎛
0 1−α µ 0 ∆
σ
⎟ ⎜
P( type II fejl ) = P x≤ + u ⋅
n
⎜ µ 0 1−α
⎟ = Φ⎜
⎟ = Φ⎜
u1−α
−
⎝
n ⎠ ⎜ σ
⎜
⎟
⎜
⎝
n ⎠ ⎝
⎞
∆
⎟
⎟ ≤ β
σ ⎟
n ⎠
Heraf fås u1−α
−
∆
σ
n
≤uβ
. Da uβ =−u1−β fås
∆ n
∆ n
u1−α
− ≤ −u1−β ⇔ u1−α + u1−β
≤ ⇔
σ σ
( u1−α + u1−β)
σ
n ≥
, hvoraf formlen fremkommer.
∆
Eksempel 5.2. Dimensionering.
Inden man i eksempel 5.1 begyndte at lave de dyre delforsøg, vil ingeniøren gerne have en
vurdering af, hvor mange driftsforsøg der er nødvendige, når det vides, at det først er økonomisk
rentabelt at gå over til den nye metode, hvis middeludbyttet er steget med mindst 0.5 kg.
1) Find stikprøvestørrelsen n, i det tilfælde, hvor ∆ = 0.5 kg og β = 10%. Det antages stadig,
at σ = 1.0 kg og signifikansniveauet er α = 5 %.
58
σ 0
> 0 ∆
stigning i middelværdien, som har praktisk interesse. I tilfælde af en stigning i udbyttet på mindst
∆ skal sandsynligheden for at acceptere H0 være mindre end et opgivet tal β
(P(type II fejl ) ≤ β ) .
Stikprøvestørrelsen n bestemmes da som det mindste hele tal n, for hvilket
⎛
⎜ u + u
n ≥ ⎜
⎜ ∆
⎝ σ
1−α 1−β
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
2
.