G:\Statistiske grundbegreber-v8\s1v8-forside.wpd

Estimater og konfidensintervaller
SÆTNING 4.2 ( 100 ⋅( 1 −α)
% prædiktionsinterval for en enkelt observation ).
Et 100 ⋅( 1 −α)
% prædiktionsinterval for en enkelt fremtidig observation Xn+1 er bestemt ved
1
1
x −t α ( n−1) ⋅s⋅ 1+
≤ µ ≤ x + t α ( n−1) ⋅s⋅ 1+
.
− n
−
n
1 2
Bevis: Lad X n+1 være en enkelt fremtidig observation. Eftersom X n+1 er uafhængig af de øvrige X’er, er X n+1 også
uafhængig af X .
2
σ 2 2
Variansen af differensen X − Xn+1er følgelig V( X − Xn ) = V( X) + V( Xn
) = + =
⎛ 1
⎜ +
⎞
+ 1 + 1 σ σ 1 ⎟ .
n ⎝ n⎠
Idet E( X − X ) = E( X) − E( X ) = µ − µ = , og en linearkombination af normalfordelte variable igen er
n+ 1 n+
1 0
X − Xn+1−0
normalfordelt, er som anført i kapitel 3, T =
t - fordelt med f = n - 1 frihedsgrader.
S ⋅ 1+ n
1
Ved at foretage tilsvarende omskrivninger som i beviset for sætning 4.1, er sætningen bevist.
Eksempel 4.2. Konfidens- og prædiktions-interval for middelværdi af normalfordeling.
Ved fremstilling af et bestemt levnedsmiddel er det vigtigt, at et tilsætningsstof findes i levnedsmidlet
i en koncentration på 8.50 (g/l). For at kontrollere dette udtager levnedsmiddelkontrollen
6 prøver af levnedsmidlet. Resultaterne var:
Måling nr 1 2 3 4 5 6
koncentration x (g/l) 8.54 7.89 8.50 8.21 8.15 8.32
Idet man antager, på baggrund af tidligere lignende målinger, at resultaterne er normalfordelte,
skal man besvare følgende spørgsmål:.
a) Angiv et estimat for koncentrationens middelværdi og spredning.
b) Angiv et 95% konfidensinterval for koncentrationen, og vurder herudfra om kravet på 8.50
er opfyldt.
c) Angiv et 95% konfidensinterval for koncentrationen, idet det antages, at man fra de tidligere
målinger ved, at σ = 0.25. Vurder herudfra om kravet på 8.50 er opfyldt.
d) Angiv et 95% prædiktionsinterval for en enkelt ny måling af koncentrationen.
48
1 2