G:\Statistiske grundbegreber-v8\s1v8-forside.wpd

47
4.2 Konfidensinterval
Vi vil sædvanligvis beregne 95%, 99% eller 99.9% konfidensintervaller svarende til α = 0.05, 0.01
og 0.001. Andre værdier kan naturligvis tænkes, men det kræver mere omfattende tabeller, eller
anvendelse af edb.
I de fleste tilfælde er σ ikke kendt, og må erstattes af s. For n ≥ 30 vil ovenstående formel dog
stadig kunne anvendes, men for n < 30 bliver usikkerheden på s så stor, at man, som det vil fremgå
af sætning 4.1, må erstatte normalfordelingskurven med den bredere t-fordeling. Denne er gennemgået
i kapitel 3.
Ved t f forstås − fraktilen i t- fordelingen med f = n - 1 frihedsgrader.
α
1− 2
α ( ) 1 2
SÆTNING 4.1 ( 100 ⋅( 1 −α
) % konfidensinterval for µ ). Et 100 ⋅ ( 1 − α ) % konfidensinterval
s
s
for µ er bestemt ved x − t α ( f ) ⋅ ≤ µ ≤ x + t α ( f )
⋅
n
n , f = n - 1.
− −
X − µ
Bevis: I kapitel 3 anførte vi, at T = er t - fordelt med f = n - 1 frihedsgrader.
S
n
Da t- fordelingen er symmetrisk omkring 0 ligesom u-fordelingen, har vi følgelig, (jævnfør figur 4.1)
⎛
⎞ α
at P⎜−t α f ≤T ≤t
α f ⎟ = 1−
eller
⎝ − − ⎠ 2
1 2
⎛
⎞
⎜
X − µ ⎟ α
( ) ( ) P⎜−t α( f ) ≤ ≤ t α(
f ) ⎟ = 1−
1− 1 ⎜
S 1− 2
2
2
⎜
⎟ 2
⎟
⎝
n ⎠
x − µ
Idet −t α ( f ) ≤ ≤t α ( f ) ⇔ −t α ( f ) ⋅
1− s 1− 1− 2
2
2
n
s
≤ x − µ ≤t α ( f ) ⋅
n
1− 2
⇔ x −t α ( f ) ⋅
−
s
≤ µ ≤ x + t α ( f ) ⋅
n
−
s
er sætningen bevist.
n
1 2
1 2
1 2
I appendix 4.1 findes en oversigt over 6 forskellige typer konfidensintervaller, hvoraf de to sidste
først vil blive omtalt i kapitel 7. De formler der indgår i beregningerne vil blive bevist i “Supplement
til statistiske grundbegreber” afsnit 4B.
Prædiktionsinterval. Ved mange anvendelser ønsker man at forudsige, hvor værdien af en kommende
observation af den variable med 95%”sikkerhed” vil falde, snarere end at give et 95%
konfidensinterval for middelværdien af den variable. Man siger, at man ønsker at bestemme et 95%
prædiktionsinterval (forudsigelsesinterval).
1 2
s
n