G:\Statistiske grundbegreber-v8\s1v8-forside.wpd

4 ESTIMATER OG
KONFIDENSINTERVALLER
4.1 Punktestimation.
Vi har i kapitel 2 ofte udtaget en stikprøve, og ud fra denne og en forudsætning om at populationen
er normalfordelt søgt at give et skøn (er estimat) for populationens “parametre” middelværdi og
spredning. For en normalfordelt variabel X har vi således som estimat for middelværdien µ sat
stikprøvens gennemsnit x , og som et estimat for spredningen σ sat stikprøvens spredning s.
Generelt vil vi sige, at hvis en stokastisk variabel X har en tæthedsfunktion f (x) som er karakteriseret
ved en ukendt parameter θ , og hvis X1, X2,..., Xn, er en stikprøve af størrelsen n fra X, så kaldes
funktionen Θ=hX ( 1, X2,..., Xn) en punktestimator for θ . Eksempelvis er
X1 + X2 + ... + Xn
X =
en punktestimator for middelværdien µ .
n
Kriterier for gode estimatorer. For en given parameter kan der tænkes foreslået flere punktestima-
n
2
n
2
2 ( Xi−X) 2 ( Xi−X) torer. Eksempelvis kunne både S =
og S1
=
tænkes som estiman
− 1
n
=∑ 1
i
torer for variansen σ . Der er derfor behov for at have kriterier for hvilke estimatorer der er gode,
2
og blandt de gode estimatorer kunne afgøre hvilken der er den bedste.
I “Supplement til statistiske grundbegreber” afsnit 4A er angivet sådanne kriterier, og der bevises
her, at de estimatorer vi hidtil har benyttet er gode estimatorer.
Der gælder således:
X1 + X2 + ... + X
X =
n
n
2 ( Xi−X) S =
n − 1
S
2
µ
=
i
=∑ 1
i
n
=∑ 1
( X i − µ )
n
2
n
2
44
=∑ 1
er en god estimator for middelværdien µ .
er en god estimator for variansen σ , og bedre end .
2 2
2 ( Xi−X) S1
=
n
er en god estimator for variansen σ , og forudsat X er normalfordelt, og
2
µ
S 2
2
er kendt, vil S µ være en bedre estimator end .
i
n
=∑ 1
i