G:\Statistiske grundbegreber-v8\s1v8-forside.wpd

1 ⎛ ( X − µ ) n⎞
P⎜ ⎟ →φ( u) for n→
∞
⎝ σ ⎠
33
2.2 Definition og beregning.
4) Kaldes den nedre specifikationsgrænse for a fås med samme begrundelse som under punkt
3 : P( X ≤ a)
= 0. 025.
Vi kan her benytte den “inverse” normalfordeling
a = invNorm(0.025, 90,0.05) = 89.02
Øvre grænse b = 90 +(90 - 89.02) = 90.08
5) Ved indtastning af de 12 tal i en lommeregner (se eventuelt eksempel 1.5)
findes x = 89. 97 og s = 0435 .
Den næste sætning er af stor betydning for anvendelserne, idet den løst sagt siger, at selvom man
ikke kender fordelingen for de n ensfordelte stikprøvevariable X1, X2,..., Xn, så vil gennemsnittet
være approksimativt normalfordelt blot n er tilstrækkelig stor (i praksis over 30) . 1
X
Sætning 2.3 (den centrale grænseværdi sætning). Lad som ovenfor X være gennemsnittet for
en stikprøve af størrelsen n taget fra en population med middelværdi µ og spredning σ .
StørrelsenU vil da for n gående mod være normeret normalfordelt.
X − µ
=
∞
σ
n
Eksempel 2.4. Fordeling af gennemsnit
Den tid, en kunde venter i lufthavnen ved en check-in disk, er givet at være en stokastisk variabel
med en middelværdi på 8.2 minutter og en spredning på 3 minutter. Udtages en stikprøve på 49
kunder, ønskes fundet sandsynligheden for at den gennemsnitlige ventetid for disse kunder er
mellem 7 og 9 minutter.
LØSNING:
Da antallet i stikprøven n= 49 er større end 30, kan vi antage at gennemsnittet er approksimativt
σ 3
normalfordelt med en middelværdi på 8.2 og en spredning på σ = = = 0. 429 .
x
49 7
P( 7< X < 9)
= normCdf(7, 9, 8.2, 3/7) = 0.9665 = 96.65%
⎛ 9−82 . ⎞ ⎛ 7−82 . ⎞
Tabel: P( 7< X < 9)
= Φ⎜⎟−Φ⎜⎟ = Φ(. 187) − Φ ( −280
. ) = 0. 9693 − 0. 0026 = 0. 9667 = 96. 67%
⎝ 0. 429 ⎠ ⎝ 0. 429 ⎠