G:\Statistiske grundbegreber-v8\s1v8-forside.wpd

Normalfordelingen.
Eksempel 2.3. Normalfordeling.
En fabrik støber plastikkasser. Fabrikken får en ordre på kasser, som blandt andet har den
specifikation, at kasserne skal have en længde på 90 cm. Kasser, hvis længder ikke ligger mellem
89.2 og 90.8 cm bliver kasseret.
Det vides, at fabrikken producerer kasserne med en længde X, som er normalfordelt med en
spredning på 0.5 cm.
1) Hvis X har en middelværdi på 89.6, hvad er så sandsynligheden for, at en kasse har en længde,
der ligger indenfor specifikationsgrænserne.
2) Hvor stor er sandsynligheden for at en kasse bliver kasseret, hvis man justerer støbningen, så
middelværdien bliver den der giver den mindste procentdel kasserede (spredningen kan man
ikke ændre).
Fabrikanten finder, at selv efter den i spørgsmål 2 foretagne justering kasseres for stor en procentdel
af kasserne. Der ønskes højst 5% af kasserne kasseret.
3) Hvad skal spredningen σ formindskes til, for at dette er opfyldt?
4) Hvis det er umuligt at ændre σ , kan man prøve at få ændret specifikationsgrænserne.
Find de nye specifikationsgrænser (placeret symmetrisk omkring middelværdien 90,0) idet
spredningen stadig er 0.5, og højst 5% må kasseres.
En ny maskine indkøbes, og som et led i en undersøgelse af, om der dermed er sket ændringer i
middelværdi og spredning produceres 12 kasser ved anvendelse af denne maskine.
Man fandt følgende længder:
89.2 90.2 89.4 90.0 90.3 89.7 89.6 89.9 90.5 90.3 89.9 90.6.
5) Angiv på dette grundlag et estimat for middelværdi og spredning.
LØSNING:
På TI89 findes de benyttede sandsynlighedsfordelinger ved at trykke på CATALOG\
1) P( 89. 2 ≤ X ≤ 908 . ) = normCdf(89.2, 90.8, 89.6, 0.5)= 0.7700 = 77.99%
⎛ 908 . − 89. 6⎞
⎛ 89. 2 − 89. 6⎞
Tabel 1: P( 89. 2 < X ≤ 908 . ) = P( X ≤908 . ) − P( X ≤ 89. 2)
= Φ⎜⎟−Φ⎜⎟ ⎝ 05 . ⎠ ⎝ 05 . ⎠
= Φ(.) 2 4 − Φ(
− 08 .) = 0. 9918 − 0. 2119 = 77. 99%
2) Middelværdien justeres til midtpunktet 90.0
P( X > 908 . ) + P( X < 89. 2) = normCdf(90.8 , ∞ , 90, 0.5)+normCdf(- ∞ ,89.2, 90, 0.5)=
0.1096 = 10.96%
Tabel 1: P( X > 90. 8) + P( X < 89. 2) = 1− P( X ≤ 90. 8) + P( X < 89. 2)
⎛ 908 . − 90. 0⎞
⎛ 89. 2 − 90. 0⎞
= 1 − Φ⎜⎟ + Φ⎜⎟ = 1 − Φ(.) 16 + Φ(
− 16 .) = 1 − 0. 9452 + 0. 0548 = 10. 96%
⎝ 05 . ⎠ ⎝ 05 . ⎠
3) Da der ligger 5% udenfor intervallet, så må af symmetrigrunde 2,5% ligge på hver sin side
af intervallet. Vi har følgelig, at vi skal finde spredningenσ så P( X ≤ 89. 2) = 0. 025
08 .
Af relationen (2.1) fås 89. 2 = 0. 025 ⋅ + 90 ⇔ = .
−
u σ σ
u
32
0025 .
Da =−196 . ( findes af tabel 2 eller ved invNorm(0.025,0,1)) fås σ = 0. 408
u0. 025