G:\Statistiske grundbegreber-v8\s1v8-forside.wpd

Bevis: At U også er normalfordelt vises ikke her.
∞
∞
∞
⎛ X − µ ⎞ x − µ 1 µ
1 µ
EU ( ) = E⎜ ⎟ = f( xdx ) = x⋅ f( xdx ) − f( xdx ) = E( X)
− = 0
⎝ σ ⎠ ∫−∞
σ σ∫−∞
σ∫−∞ σ σ
∞ 2
∞
⎛ X − µ ⎞ ⎛ x − µ ⎞
1
2 V( X)
VU ( ) = V⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ f ( x) dx = ( x − µ ) ⋅ f ( x) dx = = 1
⎝ σ ⎠ ∫−∞⎝
σ ⎠
2
σ ∫
2
−∞
σ
U har derfor middelværdi 0 og spredning 1.
X − b
b b
Endvidere fås P( X ≤ b) = P ≤ PU og
−
⎛
⎞
⎜
⎟ = ≤
⎝
⎠
− ⎛
µ µ
µ ⎞ ⎛ − µ ⎞
⎜ ⎟ = Φ⎜
⎟
σ σ ⎝ σ ⎠ ⎝ σ ⎠
Pa X b P a ⎛ − µ b−µ ⎞ ⎛ b−µ ⎞ ⎛ a−µ
⎞
( < ≤ ) = ⎜ < U≤ ⎟ = Φ⎜⎟−Φ⎜⎟ ⎝ σ σ ⎠ ⎝ σ ⎠ ⎝ σ ⎠
Der gælder følgende sammenhæng mellem fraktiler for X og fraktiler for U:
xp = up
⋅ σ + µ
⎛ x p − ⎞ x p
Bevis: P( X ≤ xp) = p⇔
⎜ ⎟ = p ⇔ up xp up
⎝ ⎠
−
µ
µ
Φ
= ⇔ = ⋅ σ + µ
σ
σ
2 og 3 σ -grænser ved normalfordeling.
31
2.2 Definition og beregning.
I afsnit 1 forudsagde vi, at for normalfordelte variable vil sandsynligheden for at ligge indenfor
“2 σ grænserne” µ − 2 ⋅ σ og µ + 2 ⋅σvære
ca. 95% , men sandsynligheden for at ligge indenfor
“3 σ grænserne “ µ − 3 ⋅ σ og µ + 3⋅
σ vil være ca. 99%.
Dette kan vi nu bevise:
⎛ µ + 2⋅σ − µ ⎞ ⎛ µ −2⋅σ − µ ⎞
P( µ −2⋅ σ < X ≤ µ + 2⋅
σ)
= Φ⎜⎟−Φ⎜⎟ = Φ( 2) − Φ(
− 2) = 9545% .
⎝ σ ⎠ ⎝ σ ⎠
⎛ µ + 3⋅σ − µ ⎞ ⎛ µ −3⋅σ − µ ⎞
P( µ −3⋅ σ < X ≤ µ + 3⋅
σ)
= Φ⎜⎟−Φ⎜⎟ = Φ( 3) − Φ(
− 3) = 9973% .
⎝ σ ⎠ ⎝ σ ⎠
Dette benyttes, som vi vil se i Statistik II kapitel 14, blandt andet ved opstillingen af kontrolkort i
forbindelse med den statistiske proceskontrol (jævnfør også det følgende eksempel 2.3).
(2.1)