G:\Statistiske grundbegreber-v8\s1v8-forside.wpd

Normalfordelingen.
På større lommeregnere eller ved hjælp af regneark som Excel eller statistikprogrammer som
Statgraphics kan man efter indtastning af middelværdi og spredning få beregnet den ønskede
sandsynlighed (jævnfør eventuelt appendix 2).
På TI 89 findes således de ønskede funktioner ved tryk på CATALOG
P( X ≤ 72 . ) = normCdf( − ∞ , 7.2, 7.29, 0.134) = 0.2509
1) I angelsaksiske lande ofte Z og Z-fordelingen.
2
x06 . =
invnorm(0.6, 7.29, 0.134) = 7.324
Har man ikke disse hjælpemidler til rådighed, må man benytte tabel. Den normalfordeling, hvis
fordelingsfunktion er tabellagt, er den såkaldte normerede normalfordeling. Den er bestemt ved
at have middelværdien 0 og spredningen 1. En stokastisk variabel, der er normalfordelt n (0,1),
kaldes sædvanligvis U og dens fordeling U-fordelingen1) . Dens tæthedsfunktion2 benævnes ϕ og
3 dens fordelingsfunktion Φ .
I tabel 1 sidst i dette notat, er anført værdier af funktionen Φ , og i tabel 2 er anført ofte benyttede
værdier af U-fordelingens p-fraktiler up. Eksempel 2.2. Beregning af sandsynligheder i U-fordelingen ved benyttelse af tabel
Beregn sandsynlighederne
LØSNING:
Vi får ved hjælp af tabel 1:
PU ( ≤ 124 . ), PU ( > 083 . ) og P( − 112 . < U ≤145
. ) .
PU ( ≤ 124 . ) = Φ(
124 . ) = 89. 25%
PU ( > 083 . ) = 1− PU ( ≤ 083 . ) = 1− Φ(
083 . ) = 1− 07967 . = 2033% .
P( − 112 . < U ≤ 145 . ) = P( U ≤145 . ) − P( U ≤− 112 . ) = Φ( 145 . ) −Φ ( −112
. ) = 0. 9265− 01314 . = 0. 7951 = 79. 51%
Funktionen Φ benyttes også ved beregning af sandsynligheder vedrørende en stokastisk variabel X med normalfordelin-
gen n( µ , σ ) . Der gælder nemlig følgende sætning:
SÆTNING 2.2. (normering af normalfordeling). Når X er normalfordelt n( µ , σ ) er
den variable U normalfordelt , og der gælder
X − µ
=
n( 01 ,)
σ
⎛ b − µ ⎞
P( X ≤ b)
= Φ⎜
⎟
⎝ σ ⎠
og
⎛ b−µ ⎞ ⎛ a−µ
⎞
Pa ( < X≤ b)
= Φ⎜⎟−Φ⎜⎟. ⎝ σ ⎠ ⎝ σ
⎠
Bemærk, at det for de to formler er ligegyldigt, om ulighederne er med eller uden lighedstegn.
1
ϕ(
u) = e
2⋅
π
2
u
−
2
for ethvert u
3 1 u −
Φ ( u) = ⋅ e 2 dt
2 ⋅ π ∫∞
t
2
30