G:\Statistiske grundbegreber-v8\s1v8-forside.wpd

19
1.7 Usikkerhedsberegning
r
Bevis for ophopningsloven, Funktionen Y = Y( X)
tilnærmes ved sit 1. Taylorpolynomium med
r
udviklingspunkt i middelværdien :
µ
r r ∂Y
∂Y
∂Y
Y( X) ≈ Y(
µ ) + ⋅( X1
− µ 1)
+ ⋅( X 2 − µ 2)
+ ... + ⋅( X k − µ k),
∂X
∂X
∂X
1
r
hvor de partielle afledede er beregnet i middelværdien µ . Vi finder derfor
Y
Y X
X X
Y
X X
r ∂ ∂
∂Y
( ) ≈ konstant + ⋅ 1 + ⋅ 2 + ... + ⋅ X k ,
∂ ∂
∂X
1
⎛
∂Y
∂Y
∂Y
VY ( ) ≈ V⎜konstant
+ ⋅ X 1 + ⋅ X 2 + ... + ⋅ X
⎝ ∂X
∂X
∂X
1
2
2
2
Da X1, X2,..., Xker forudsat statistisk uafhængige, får vi ifølge kvadratreglen
Y
Y
Y
VY ( ) ≈ V( X ) V( X ) ... V( Xk)
X
X
X
⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⋅ +
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⋅ + +
⎝ ⎠
⎛
∂
∂
∂ ⎞
1
2 ⎜ ⎟ ⋅
∂
∂
⎝ ∂ ⎠
1
2
2
2
∂Y
∂Y
∂Y
σ ( Y)
≈ V( X ) V( X ) ... V( Xk)
∂X
∂X
∂X
.
⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⋅ +
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⋅ + +
⎝ ⎠
⎛ ⎞
1
2 ⎜ ⎟ ⋅
⎝ ⎠
1
2
2
2
Eksempel 1.8. Usikkerhedsberegning.
−1 −1
En ideal gas opfylder ligningen P ⋅ V = n ⋅ R ⋅ T , hvor R = 8314 . J⋅K⋅mol .
Man har målt P = 123400 Pa , V = 567 . m ,
3
T = 678 K
med usikkerheder σ ( P ) = 1000 Pa , σ ( V ) = 006 . m , .
3
σ ( T ) = 3K
Det kan antages, at måleresultaterne for P, V og T er statistisk uafhængige.
Find molantallet n, usikkerheden σ ( n) , samt den relative usikkerhed rel( n)
.
LØSNING:
Vi finder n mol
PV ⋅ 123400 ⋅ 5. 67
= =
= 12412 .
R ⋅ T 8. 314 ⋅ 678
Af ophobningsloven for usikkerheder fås usikkerheden på n:
2
∂n
∂n
∂n
σ( n) = σ(
n( P, V, T))
= σ ( P)
σ ( V ) σ ( T)
∂P
∂V
∂T
⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⋅ +
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⋅ +
⎝ ⎠
⎛
2
2 ⎞ 2
⎜ ⎟ ⋅
⎝ ⎠
k
k
k
2
2
k
k
⎞
⎟
⎠
2
k
2